關(guān)系映射反演原則的應(yīng)用0

1、關(guān)系映射反演原則的應(yīng)用 1 1、何謂、何謂“關(guān)系映射反演原則關(guān)系映射反演原則”？ 關(guān)系（relationship)映射（mapping)反演（inversion)原則簡(jiǎn)稱為RMI原則，是指一種分析處理問(wèn)題的普遍方法或準(zhǔn)則,對(duì)研究問(wèn)題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，采取映射和反演兩個(gè)步驟去解決問(wèn)題。 如在日常生活中，一個(gè)人對(duì)著鏡子梳頭 這是一種“化歸”策略，通過(guò)尋找適當(dāng)?shù)挠成溥M(jìn)行化歸。把不會(huì)解的，未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為會(huì)解的、已知問(wèn)題，或是說(shuō)把新問(wèn)題盡量轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這些思想其實(shí)都從屬于RMI原則的內(nèi)容，RMI原則實(shí)際上是把這些常見的感性上的認(rèn)識(shí)上升到了一種方法論意義上的理論高度，并具有普遍的指導(dǎo)意義。 RMI基本內(nèi)

2、容：令 表示一組原象的關(guān)系結(jié)構(gòu)（或原象系統(tǒng)），其中包含著待確定的原象 。令 表示一種映射（一一對(duì)應(yīng)法則），通過(guò)它的作用假定原象結(jié)構(gòu)系統(tǒng) 被映成映象關(guān)系結(jié)構(gòu) ，其中自然包括未知原象 的映 象 ，如果有辦法把 確定下來(lái)， 則通過(guò)反演即送映射 也就相應(yīng)地把 確定下來(lái)。R*RxMRx*x*x1MIx 上述結(jié)構(gòu)中， ， ， .等可賦予下述含義： 包含著實(shí)際問(wèn)題的事物關(guān)系系統(tǒng)； 包含著理論問(wèn)題的概念關(guān)系系統(tǒng)； 從事物關(guān)系到概念關(guān)系的形成過(guò)程； 從概念返回實(shí)際事物的逆過(guò)程； 實(shí)際問(wèn)題中的未知目標(biāo) 的映像。Rx*x*RM1 MI1MIR*RMR*RM*xx 解決實(shí)際問(wèn)題運(yùn)用RMI原則得到答案的運(yùn)用過(guò)程可用如下

3、框圖表示： 如拿破侖作戰(zhàn)步陣CR*R*Cx*x1MM1 MI2，數(shù)學(xué)中的RMI原則 我們?cè)趶氖聰?shù)學(xué)研究工作時(shí)，特別是企圖解決實(shí)際中提出的應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，為了得到待求的答案X，往往用到RMI原則。 因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門精確的科學(xué)，所以只要一進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，不管是任何方法或原則均可獲得比較確切的表述形式。下面我們認(rèn)識(shí)這一系列的名詞解釋。 1、數(shù)學(xué)對(duì)象 凡可表述為數(shù)學(xué)概念的事物（對(duì)象）個(gè)體稱之為數(shù)學(xué)對(duì)象 例如，數(shù)、量、數(shù)列、向量、變數(shù)、函數(shù)、方程等 特點(diǎn)：一意確定性，邏輯演繹性，客體背景存在性2、關(guān)系結(jié)構(gòu) 由一些數(shù)學(xué)對(duì)象構(gòu)成的集合稱之為無(wú)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如果在集合的元素（對(duì)象）間存在著某種或某些數(shù)學(xué)關(guān)系則稱為關(guān)系

4、結(jié)構(gòu) 條件：一是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中對(duì)象必須是數(shù)學(xué)對(duì)象，二是對(duì)象間的聯(lián)系必須是數(shù)學(xué)關(guān)系，三是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)具有某種整體性或可分解性。3、映射 凡是在兩類數(shù)學(xué)對(duì)象或兩個(gè)數(shù)學(xué)集合的元素之間建立了一種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，就定義了一個(gè)映射。特別的，如果是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱為可逆映射。 假如關(guān)系結(jié)構(gòu)S中包含一個(gè)未知性狀的對(duì)象x，是問(wèn)題中需要確定其形狀的目標(biāo)，則稱x為目標(biāo)原像，在映射a作用下，x*=a(x)便稱為目標(biāo)映像 如果目標(biāo)映像能通過(guò)確定的數(shù)學(xué)方法從映像關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S*中確定出來(lái)，則稱映射方法a為可定映映射數(shù)學(xué)中RMI原則過(guò)程框圖如下所示：全過(guò)程包括的步驟為： 關(guān)系映射定映反演得解關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)映像關(guān)系結(jié)構(gòu)S*S可定映映射

5、 目標(biāo)映像 目標(biāo)原像x*x逆映射13，若干較簡(jiǎn)單的例子 7131bap 原像關(guān)系7131bap 映像關(guān)系baplg71lg31lg求得映像的數(shù)值plg求得原像的數(shù)值p做加法乘法對(duì)數(shù)映像lg反對(duì)數(shù) RMI原則與數(shù)值計(jì)算例1、計(jì)算 的數(shù)值 RMI原則與微積分 例3、試求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 采用如下微商算子D的映射 則 變換成一個(gè)較簡(jiǎn)單的映像： 在原像 滿足 的限制下，映射D是一一對(duì)應(yīng)，其反演是.433221)(432xxxxS) 1(x,:fdxdDff)(xS).1log(.32)(32xxxxxSf0)0(fxdttggDg011.)(: 因此 的反演便給出了原像表達(dá)式 RMIRMI原則與幾何

6、問(wèn)題原則與幾何問(wèn)題 思想方法可用框圖表示如下：思想方法可用框圖表示如下：)(xSxxxxdttxS0.)1log()1 ()1log()(幾何關(guān)系問(wèn)題 映射代數(shù)關(guān)系問(wèn)題 求出某些代數(shù)關(guān)系 確定某種 幾何關(guān)系 （解析表示）反演（翻譯回去）代數(shù)計(jì)算 課題目的4，較難一點(diǎn)的例子 RMI原則與差分方程 例1、求解差分方程 其初始條件為 引入映射 根據(jù)給定的原像關(guān)系連同初始條件得： 21nnnfff), 3 , 2( n. 2, 120ff .1)(10nnnntftFf.1)(1210nntftftftF).()(12tFtttF 從而得出映像關(guān)系 利用分項(xiàng)分式法 其中 則 可得出 的展開式 比較即得

7、 ).1/(1)(2tttF),1)(1 (12btattt.5121,5121ba,11111)(2btbatabatttF)(tF.1)(10011nnnnnnntftbabatF.2512515122nnnf RMIRMI原則與微分方程原則與微分方程 例3、求解微分方程 其初始條件為 應(yīng)用拉普拉斯變換作映射，即 對(duì)微分方程兩邊的函數(shù)同時(shí)做拉式變換，并顧及初始條件。利用初等微積分中的分部積分法，得出映像關(guān)系 ,32teyyy . 1)0(, 0)0(yy.)()()(0dttyetFtfst.11)(3)(21)(2ssYssYsYs 從映像關(guān)系求出映像，可得 求 的逆變換，利用拉式變換對(duì)

8、照表，可以得出 原像： 這便是微分方程的解 )3)(1)(1(2)(sssssY.)3(81) 1(41) 1(83sss)(sY)(sY).23(81)(3ttteeety5，用RMI原則分析“不可能性問(wèn)題” RMIRMI原則與尺規(guī)作圖原則與尺規(guī)作圖 例2、分析古希臘三大難題尺規(guī)作圖的不可能性，三大難題即作出長(zhǎng)度 、 的線段和把任意角三等分。 所謂尺規(guī)作圖法，按行數(shù)對(duì)應(yīng)的解析幾何觀點(diǎn)來(lái)看，無(wú)非是利用直線與直線相交、直線與圓周相交、圓與圓相交等截取交點(diǎn)的幾種基本方式來(lái)進(jìn)行的。尺規(guī)作圖數(shù)量是聯(lián)結(jié)任意兩個(gè)有理點(diǎn)經(jīng)過(guò)多次五則運(yùn)算+、-、 、 、 表示出來(lái)的數(shù)量。?32 其中 是超越數(shù)，知道 、 都不

9、符合尺規(guī)作圖準(zhǔn)則所規(guī)定的數(shù)量范圍。 三分角問(wèn)題，通過(guò)三角恒等式 求出 值就可用尺規(guī)作圖解決三分角問(wèn)題，以 為例，另 上式為 對(duì)三次方程求根，得出有一個(gè)正實(shí)根和兩個(gè)負(fù)實(shí)根，都必須用有理數(shù)的立方根表示出來(lái)，因而無(wú)法表示為尺規(guī)作圖準(zhǔn)則的數(shù)量形式。 綜上所述，三大難題尺規(guī)作圖解法的不可能性。 ?32xxxcos3cos43cos3xcos6020cosy. 021343 yy 以上推理過(guò)程可表示為如下框圖待做幾何量與可作幾何量的關(guān)系問(wèn)題待作解析量與可作解析量的關(guān)系問(wèn)題映射（形數(shù)對(duì)應(yīng)） 、等不是可作解析量尺規(guī)作圖不可能性?32反演（幾何解釋）6，關(guān)于RMI原則的補(bǔ)充說(shuō)明 凡是利用可定映映射 聯(lián)系起來(lái)的原像關(guān)系結(jié)構(gòu) 與映像關(guān)系結(jié)構(gòu) 便稱可定映系統(tǒng)。如果逆映射 具有某種能行性，即能將目標(biāo)原像的某種所需要的性狀經(jīng)有限步確定下來(lái)者，則稱該系統(tǒng)為可解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，簡(jiǎn)記為 . 數(shù)學(xué)手續(xù)數(shù)學(xué)手續(xù)凡是由數(shù)值計(jì)算、代數(shù)計(jì)算、解析計(jì)算（包括極限手續(xù)等）、邏輯演算以及數(shù)學(xué)論證等步驟作成的形式過(guò)程。S*S1);,(*SS 對(duì)于給定的一個(gè)具有目標(biāo)原像 的關(guān)系結(jié)構(gòu) ，如果有這樣的一個(gè)可逆映射 ，它 將 映成映像關(guān)系結(jié)構(gòu) ，在中通過(guò)某種形式的有限多步數(shù)學(xué)手續(xù)，能把目標(biāo)映像 的某種所需要的性狀確定下來(lái)的話，那么就稱 為可定映映射。如果 還具有能行性，則獲得