彈性力學(xué)講義學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1彈性力學(xué)彈性力學(xué)(l xu)講義講義第一頁，共70頁。第七章 空間問題的基本(jbn)理論 在空間(kngjin)問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個(gè)，且均為x,y,z的函數(shù)。 空間問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解(qi ji)和按應(yīng)力求解(qi ji)的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。第1頁/共69頁第二頁，共70頁。取出微小(wixio)的平行六面體， ，zyxvdddd 考慮(kol)其平衡條件:, 0 xF, 0yF; 0zF, 0 xM,0yM. 0zM(a) (b)平衡條件7-1 7-1 平微平微第2頁/共69頁第三頁，共

2、70頁。第3頁/共69頁第四頁，共70頁。 由x 軸向投影(tuyng)的平衡微分方程 , )( ),( . 0czyxfzyxxzxyxx平衡(pnghng)微分方程0 xF得因 x , y , z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L(zhǎng)，所以x , y , z 坐標(biāo)具有對(duì)等性，其方程也必然具有對(duì)等性。所以式(a)的其余(qy)兩式可通過式(c)的坐標(biāo)輪換得到。第4頁/共69頁第五頁，共70頁。由三個(gè)力矩方程(fngchng)得到三個(gè)切應(yīng)力互等定理， 0 xMzyyz，。(x, y , z) (d) 空間問題(wnt)的平衡微分方程精確到三階微量。)dd(dzyx平衡(pnghng)微分方程第5頁/

3、共69頁第六頁，共70頁。思考題 在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)力分量(fn ling)為 ，試表示點(diǎn)A , B的正應(yīng)力分量(fn ling)。xxd zd xAd yoyBz第6頁/共69頁第七頁，共70頁。 在空間問題(wnt)中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量 ，來求出斜面(法線 ）上的應(yīng)力。xyz斜面(ximin)應(yīng)力n第7頁/共69頁第八頁，共70頁。斜面(ximin)全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：),(zyxppppp沿坐標(biāo)沿坐標(biāo)(zubio)向分量向分量:p沿法向和切向分量沿法向和切向分量(fn ling):斜面應(yīng)力),(nnp第8頁/共69頁第九頁，共70頁。 取出如圖的包含(b

4、ohn)斜面的微分四面體，斜面面積為ds, 則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。 由四面體的平衡條件 ，得出坐標(biāo)向的應(yīng)力(yngl)分量,1. 求),(0zyxFx)(),( . azyxnmlpzxyxxx),(zyxppppzyxppp第9頁/共69頁第十頁，共70頁。第10頁/共69頁第十一頁，共70頁。2. 求),(nnp將),(zyxpppp向法向 投影(tuyng)，即得zyxnnpmplpnn)( . 222222blmnlmnnmlxyzxyzzyx, 222222nnzyxpppp)( . 22222cpppnzyxnn第11頁/共69頁第十二頁，共70頁。

5、 從式(b)、(c )可見,當(dāng)六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定之后(zhhu)，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。nn第12頁/共69頁第十三頁，共70頁。 設(shè)在 邊界上，給定了面力分量 則可將微分四面體移動(dòng)到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。這時(shí)，斜面應(yīng)力分量 應(yīng)代之為面力分量 ，從而(cng r)得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:3. 在 上的應(yīng)力(yngl)邊界條件s,zyxfffs),(zyxppp),(zyxfff)( )( ),( . )(dSzyxfnmlxszxyxx上在應(yīng)力(yngl)邊界條件第13頁/共69頁第十四頁，共70頁。 式(b), (c) 用于V內(nèi)任一點(diǎn)，表示(biosh)斜面應(yīng)力

6、與坐標(biāo)面應(yīng)力之間的關(guān)系； 注意注意(zh y): s 式(d)只用于 邊界點(diǎn)上，表示邊界面上的面力與坐標(biāo)(zubio)面的應(yīng)力之間的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。第14頁/共69頁第十五頁，共70頁。1.假設(shè)(jish) 面(l , m , n)為主面，則此斜面上n . , 0pnn斜面(ximin)上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為 代入 , 得到zyxppp,)(,anmlnmlnmlnmlyzxzzxyzyyzxyxx。. , ,npmplpzyx斜面(ximin)應(yīng)力第15頁/共69頁第十六頁，共70頁。考慮(kol)方向余弦關(guān)系式,有. 1222nml式(a) , (b)是求主應(yīng)力及其

7、方向余弦(yxin)的方程。(b)第16頁/共69頁第十七頁，共70頁。2. 求主應(yīng)力求主應(yīng)力 將式(a)改寫(gixi)為。0)(, 0)(, 0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx求主應(yīng)力第17頁/共69頁第十八頁，共70頁。 上式是求解l , m , n的齊次代數(shù)方程。由于l , m , n不全為0，所以其系數(shù)(xsh)行列式必須為零，得, 0zyzxzzyyxyzxyxx展開(zhn ki)，即得求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力第18頁/共69頁第十九頁，共70頁。23)(zyxxyzxyzyxxzzy)(222. 0)2(222xyzxyzxyzzxyyzxzyx( c )求

8、主應(yīng)力第19頁/共69頁第二十頁，共70頁。 設(shè)主應(yīng)力 的主向?yàn)?。代入式(a)中的前兩式，整理(zhngl)后得1111,nml)( 0)(, 0)(1111111111dlnlmlnlmxyzyyxzxyx。應(yīng)力(yngl)主向第20頁/共69頁第二十一頁，共70頁。由上兩式解出 。然后(rnhu)由式(b)得出1111,lnlm)(.)()(112112111elnlml應(yīng)力(yngl)主向再求出 及 。1m1n第21頁/共69頁第二十二頁，共70頁。4. 4. 一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相(h xing)(h xing)垂直垂直的主應(yīng)力的主應(yīng)力321,（證明(zhngm

9、ng)見書上）。第22頁/共69頁第二十三頁，共70頁。 若從式(c) 求出三個(gè)主應(yīng)力 ，則式(c)也可以用根式(gnsh)方程表示為，)( . 0)()(321f 因式(c) 和( f )是等價(jià)的方程，故 的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而(cng r)得出應(yīng)力(yngl)不變量321,第23頁/共69頁第二十四頁，共70頁。.2222321322213322123211xyzxyzxyzzxyyzxzyxxyzxyzyxxzzyzyx,(g)應(yīng)力(yngl)不變量第24頁/共69頁第二十五頁，共70頁。 分別稱 為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些(zhxi)不變量常用于塑性力學(xué)之中。 式(g)中的各式，

10、左邊是不隨坐標(biāo)(zubio)選擇而變的； 而右邊各項(xiàng)雖與坐標(biāo)(zubio)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)(zubio)選擇無關(guān)。 321,第25頁/共69頁第二十六頁，共70頁。6.關(guān)于(guny)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)。只要六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力 分量確定了，則通過(tnggu)此點(diǎn)的任何面上的 應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點(diǎn)存在著三個(gè)互相(h xing)垂直的應(yīng)力主面及 主應(yīng)力。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)第26頁/共69頁第二十七頁，共70頁。(3) 三個(gè)主應(yīng)力包含(bohn)了此點(diǎn)的最大和最小 正應(yīng)力。 （4）一點(diǎn)存在(cnzi)三個(gè)應(yīng)力不變量.321,（5）

11、最大和最小切應(yīng)力為 ， 作用于通過中間 主應(yīng)力、并且“平分(pngfn)最大和最小正應(yīng) 力的夾角”的平面上。231 321 設(shè)第27頁/共69頁第二十八頁，共70頁。思考題1.試考慮：對(duì)于平面問題若 則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力(yngl)均為 ,切應(yīng)力(yngl)均 為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力(yngl)。,212. 試考慮：對(duì)于(duy)空間問題若 則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為 ,切應(yīng)力均 為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。,321第28頁/共69頁第二十九頁，共70頁。 空間問題的幾何方程，可以(ky)從平面問題推廣得出：,xux.zvywyz),;,(wvuzyx(a)幾何(j h)方程第29頁/共69頁第

12、三十頁，共70頁。 從幾何方程同樣(tngyng)可得出形變與位移之間的關(guān)系： 若位移若位移(wiy)確定，則形變完全確定。確定，則形變完全確定。幾何(j h)方程 從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。第30頁/共69頁第三十一頁，共70頁。沿x , y , z 向的剛體(gngt)平移； 若形變?nèi)粜巫?xngbin)確定，則位移不完全確定確定，則位移不完全確定。 由形變(xngbin)求位移，要通過積分，會(huì)出現(xiàn)待定的函數(shù)。若 ，還存在對(duì)應(yīng)的位移分量為0yzx),(zyx .0yzuuzy),;,(wvuzyx(b)000,wvu幾何方程zyx,繞x , y , z軸的剛

13、體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。第31頁/共69頁第三十二頁，共70頁。 若在 邊界上給定了約束位移分量 ，則空間(kngjin)問題的位移邊界條件為uswvu,。uus)(),(wvu( c )位移(wiy)邊界條件第32頁/共69頁第三十三頁，共70頁。zyxzyxzzyyxxzyxdddddd)d)(dd)(dd(d1)1)(1)(1 (zyx.zyx(d)其中由于(yuy)小變形假定，略去形變的二、三次冪。體積(tj)應(yīng)變體積應(yīng)變體積應(yīng)變(yngbin)定義為定義為dvdvvd第33頁/共69頁第三十四頁，共70頁。 空間問題空間問題(wnt)的物理方程的物理方程 可表示為兩種形式：可表示為兩種形式： 應(yīng)

14、變用應(yīng)力表示應(yīng)變用應(yīng)力表示(biosh)，用于按位移求解，用于按位移求解方法：方法：),(1zyxxE。yzyzE)1(2( x ,y ,z ) (e)物理(wl)方程第34頁/共69頁第三十五頁，共70頁。 應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按應(yīng)力求解應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按應(yīng)力求解(qi ji)方法：方法：),21(1xxE.)1 (yzyzE (x ,y , z) ( f )由物理方程(fngchng)可以導(dǎo)出,21E（g） 是第一應(yīng)力不變量，又稱為(chn wi)體積應(yīng)力。21E 稱為體積模量。第35頁/共69頁第三十六頁，共70頁。 結(jié)論： 空間問題(wnt)的應(yīng)力，形變，位移等十五個(gè)未知函數(shù)，它們

15、都是(x ,y ,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)幾何方程及6個(gè)物理方程，并在邊界上滿足3個(gè)應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論(jiln)第36頁/共69頁第三十七頁，共70頁。思考題 若形變(xngbin)分量為零， 試導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的位移分量（7-17）。, )( 0 x,y,zyzx第37頁/共69頁第三十八頁，共70頁。 空間(kngjin)軸對(duì)稱問題 采用柱坐標(biāo)(zubio)表示。),(z軸對(duì)稱問題(wnt) 如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對(duì)稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對(duì)稱的。第38頁/共69頁第三十九頁，共70頁。 對(duì)于空間(kngjin)軸對(duì)稱問題

16、：所有物理量?jī)H為(,z)的函數(shù)。應(yīng)力(yngl)中只有,zz。0;0;0uzz(a)形變(xngbin)中只有,zz位移中只有,zuu軸對(duì)稱問題第39頁/共69頁第四十頁，共70頁。而由, 0F得出(d ch)為 。 )( 0 , 0, 0 , 0bfzFfzFzzzzZz。平衡平衡(pnghng)微分方程：微分方程：第40頁/共69頁第四十一頁，共70頁。 幾何幾何(j h)方程：方程：其中(qzhng), 00zu，幾何(j h)方程為)( , , ,czuuzuuuzzzz。第41頁/共69頁第四十二頁，共70頁。物理物理(wl)方程：方程：應(yīng)變用應(yīng)力(yngl)表示：。，（zzZEzE

17、)1 (2),)(1(d)第42頁/共69頁第四十三頁，共70頁。 應(yīng)力(yngl)用應(yīng)變表示：)( ,)1(2),)21(1eEzEzz，（其中(qzhng)。zuuuzz第43頁/共69頁第四十四頁，共70頁。邊界條件：邊界條件： 一般一般(ybn)用柱坐標(biāo)表示時(shí)，邊界面均用柱坐標(biāo)表示時(shí)，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡(jiǎn)單。為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡(jiǎn)單。 在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量 的量綱，方向性，坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)(xingyng)的方程不具有對(duì)等性。z ,第44頁/共69頁第四十五頁，共70頁。思考題 試由空間軸對(duì)稱問題的基本方程(fngchng)，簡(jiǎn)化導(dǎo)出平面

18、軸對(duì)稱問題的基本方程(fngchng)。第45頁/共69頁第四十六頁，共70頁。例題(lt)1例題(lt)2例題3第46頁/共69頁第四十七頁，共70頁。例題(lt) 1設(shè)物體(wt)的邊界面方程為F（x, y, z) = 0 , 試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力(ll)q(x, y, z), 應(yīng)力邊界條件是什么形式？第47頁/共69頁第四十八頁，共70頁。,/kFnxx（x, y, z)其中(qzhng)。2/1222,zyxxFFFkxFF解：當(dāng)物體的邊界面方程為F（x, y, z) = 0 時(shí)，它的表面(biomin)法線的方向余弦 為zyxnnn,第48頁/共69頁第

19、四十九頁，共70頁。當(dāng)面(dng min)力為法向分布拉力q時(shí)，.lqfx(x, y, z)因此(ync)，應(yīng)力邊界條件為)( . x,y,zqFFFFxszxzxyyxx代入應(yīng)力(yngl)邊界條件，得。 xszxzyxyxxfkFFF(x, y, z)第49頁/共69頁第五十頁，共70頁。例題(lt) 2 試求圖示彈性體中的應(yīng)力分量，(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布?jí)毫作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無摩擦力。(b)半無限大空間體，其表面受均布?jí)毫的作用。第50頁/共69頁第五十一頁，共70頁。qqooxxzz圖7-4第51頁/共69頁第五十二頁，共70頁。解：圖示的(a),(b

20、)兩問題(wnt)是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。對(duì)于(a)，有約束條件，；對(duì)于(b)，有對(duì)稱條件。而兩者的，因此，由物理方程，yx 0yxqz0yx第52頁/共69頁第五十三頁，共70頁。即可解出.11, 0)(1, 0)(1qEEzyxzxyyzyxx第53頁/共69頁第五十四頁，共70頁。例題(lt) 圖示的彈性體為一長(zhǎng)柱形體，在頂面z=0上有一集中力F作用于角點(diǎn)，試寫出z=0表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7-5P第54頁/共69頁第五十五頁，共70頁。解：本題是空間問題，z=0的表面是小邊 界，可以應(yīng)用圣維南原理列出應(yīng)力的邊界條件。即在z=0的表面

21、邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數(shù)值相等，方向(fngxing)一致。 由于面力的主矢量和主矩是給定的， 因此，應(yīng)力的主矢量和主矩的數(shù)值，應(yīng)等于面力的主矢量和主矩的數(shù)值；第55頁/共69頁第五十六頁，共70頁。 而面力主(l zh)矢量和主矩的方向，就是應(yīng)力主(l zh)矢量和主矩的方向。應(yīng)力主(l zh)矢量和主矩的正負(fù)號(hào)和正負(fù)方向，則根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)號(hào)和正負(fù)方向來確定。 對(duì)于一般的空間問題，列積分的應(yīng)力邊界條件時(shí)，應(yīng)包括(boku)六個(gè)條件。對(duì)于圖示問題這六個(gè)積分的邊界條件是：第56頁/共69頁第五十七頁，共70頁。. 0dd)()( :,dd)( :,dd)(

22、 :;dd)( :, 0dd)( :, 0dd)( :0000000 yxyxMFayxxMFbyxyMFyxFyxFyxFzzxzaabbzyzzaabbzyzaabbzxzaabbzzzaabbzyyzaabbzxx第57頁/共69頁第五十八頁，共70頁。7-1 答案(d n).3231 ,3122nn7-2 提示： 原(x,y,z)的點(diǎn)移動(dòng)(ydng)到(x+u,y+v,z+w)位置，將新位置位置代入有關(guān)平面、直線、平行六面體和橢球面方程。7-3 見本書的敘述(xsh)。第58頁/共69頁第五十九頁，共70頁。7-4 空間軸對(duì)稱問題比平面(pngmin)軸對(duì)稱問題 增加了一些應(yīng)力、形變和

23、位移，應(yīng) 考慮它們?cè)趯?dǎo)出方程時(shí)的貢獻(xiàn)。7-5 對(duì)于一般的空間問題，柱坐標(biāo)中的全 部應(yīng)力、形變和位移分量都存在，且 它們(t men)均為 的函數(shù)。在列方程時(shí) 應(yīng)考慮它們(t men)的貢獻(xiàn)。z ,第59頁/共69頁第六十頁，共70頁。 (一)本章(bn zhn)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)及要求 1. 研究彈性力學(xué)問題(wnt),可以從一般問題(wnt)到特殊問題(wnt),如從空間問題(wnt)到平面問題(wnt)。也可以由特殊問題(wnt)到一般問題(wnt)。本書就是先研究平面問題(wnt)，然后再研究空間問題(wnt)的。這樣可以由淺入深，循序漸進(jìn)，便于理解。 第60頁/共69頁第六十一頁，共70頁。

24、彈性力學(xué)中的各種( zhn)問題，都具有相似性，其未知函數(shù)，基本方程和邊界條件，以及求解的方法都是類似的。我們可以把空間問題看成是平面問題的推廣。 2. 直角坐標(biāo)系(x,y,z)中一般(ybn)的空間問題，包含有15個(gè)未知函數(shù)（6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量及3個(gè)位移分量），且它們均為三個(gè)坐標(biāo)變量(x,y,z)的函數(shù)。區(qū)域內(nèi)的基本方程也是15個(gè)，即3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)幾何方程及6個(gè)物理方程。在邊界上的應(yīng)力邊界條件或位移邊界條件均為3個(gè)。這些第61頁/共69頁第六十二頁，共70頁。方程和邊界條件當(dāng)然(dngrn)可以根據(jù)有關(guān)條件導(dǎo)出，但也可以從平面問題推廣而來。 3.在柱坐標(biāo)系 中的空間軸對(duì)稱問題，也可以看成是平面軸對(duì)稱問題的推廣?？臻g軸對(duì)稱問題包含有十個(gè)未知函數(shù)（4個(gè)應(yīng)力分量，4個(gè)應(yīng)變分量及2個(gè)位移分量）,它們都是 的函數(shù)。在空間軸對(duì)稱問題中，區(qū)域內(nèi)共有(n yu)十個(gè)基本方程（2個(gè)平衡微分方程，4個(gè)幾何方程及4個(gè)物理方程），在邊界上個(gè)有兩個(gè)應(yīng)力或位移邊界條件。),(z),(z第62頁/共69頁第六十三頁，共70頁。 (二）本章(bn zhn)內(nèi)容提要 1. 直角坐標(biāo)系(x,y,z)中的一般空間問題，其基本方程及邊界條件具有對(duì)等性，可將下標(biāo)、導(dǎo)數(shù)和物理量等按（ x,y,z ）輪換的方式得出(d ch)其余表達(dá)式。 平衡(pnghng)