對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)(du sh hn sh)與指數(shù)函數(shù)的與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)第一頁(yè)，共18頁(yè)。一、復(fù)習(xí)(fx)與引入：1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義(dngy)與幾何意義.2.常見(jiàn)函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)公式.3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.5.由前面幾節(jié)課的知識(shí),我們已經(jīng)掌握了初等函數(shù)中的 冪函數(shù)、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但還缺少指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而這就是我們今天要新學(xué)的內(nèi)容.有了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),也就解決了初等函數(shù)的可導(dǎo)性.結(jié)合前一章節(jié)的知識(shí),我們可知,初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)而且可導(dǎo).第1頁(yè)/共17頁(yè)第二頁(yè)，共18頁(yè)。二、新課指、對(duì)函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)：1.對(duì)

2、數(shù)函數(shù)(du sh hn sh)的導(dǎo)數(shù):下面給出公式的證明,中間用到重要極限.)1(lim10exxx 證:);1ln(lnln)ln(,ln)(xxxxxxxxyxxfy 第2頁(yè)/共17頁(yè)第三頁(yè)，共18頁(yè)。證:利用對(duì)數(shù)的換底公式即得:.log1ln1)lnln()(logxexaaxxaa 2.指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)的導(dǎo)數(shù): 由于以上(yshng)兩個(gè)公式的證明,需要用到反函數(shù)的求導(dǎo)法則,這已經(jīng)超出了目前我們的學(xué)習(xí)范圍,因此在這里我們不加以證明,直接拿來(lái)使用.第3頁(yè)/共17頁(yè)第四頁(yè)，共18頁(yè)。三、例題(lt)選講：例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=ln(2x2+3x+1) (2

3、)y=lg (3)y=e2xcos3x (4)y=a5x21x 解:(1).13234) 132 (1321222 xxxxxxxy(2)法1:.1lg11lg)1(1lg22222 xexxxxexxey(2)法2:);1lg(211lg22xxy .1lg)1 (1lg21222 xexxxey(3).3sin33cos2()3sin3(3cos2222xxexexeyxxx (4).ln5)5(ln55aaxaayxx 第4頁(yè)/共17頁(yè)第五頁(yè)，共18頁(yè)。例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):;)1(22xxxxeeeey ;)( ;22)(2xxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeey 解:解:

4、設(shè)y=au,u=cosv,v=1/x,則:第5頁(yè)/共17頁(yè)第六頁(yè)，共18頁(yè)。解:.11) 121121(11)1(1122222xxxxxxxxxy 解:函數(shù)的定義域?yàn)?ln)1ln(), 0(2xxxy xxxxxy1)1(1122 xxxxx1)1 (11211 11222 .1111)1221(11222xxxxxxx 第6頁(yè)/共17頁(yè)第七頁(yè)，共18頁(yè)。例3:已知f(x)為可導(dǎo)函數(shù),試求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=f(lnx); (2)y=f( ); (3)y=f(ex) .2xe )(xfe解:(1).(ln1)(ln)(ln )(lnxfxxxfxfy (2).(2)()()()()

5、( )(22222222xxxxxxxefxexeefeefefy (3).()()()()()()( )()()()()()(xfefeefexfeefeeefeefeefyxxxxfxfxxfxxxfxxfx 解此類題應(yīng)注意:(1)分清是由哪些函數(shù)(hnsh)復(fù)合而成的.(2)用逐步的方法來(lái)進(jìn)行求導(dǎo).第7頁(yè)/共17頁(yè)第八頁(yè)，共18頁(yè)。練習(xí)1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):xxxyxyyyxxlnsin)sin(ln) 4(ln1) 3 (2) 2(;2) 1 (3log1答案:.22ln) 1 (12xxy第8頁(yè)/共17頁(yè)第九頁(yè)，共18頁(yè)。例4:設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 為 常數(shù),試求t=1/2時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

6、的速度v0. ,),sin(2 test解: )sin()sin()(22 tetesvttt故當(dāng)t=1/2時(shí),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度v0為:).2cos()2sin(21|210 esvt第9頁(yè)/共17頁(yè)第十頁(yè)，共18頁(yè)。例5:求曲線y=xlnx的平行于直線x-y+1=0的切線(qixin)方程.解:設(shè)該切線(qixin)與曲線相切的切點(diǎn)為(x0,x0lnx0).故曲線在點(diǎn)(x0,x0lnx0)處的切線(qixin)斜率為lnx0+1.由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切點(diǎn)為(1,0).所以所求切線方程為y-0=x-1,即x-y-1=0.答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0

7、.練習(xí)2:分別求曲線y=logxe; 在點(diǎn)(e,1)處 的切線方程.xeyexln 延伸:設(shè)點(diǎn)P是曲線y=ex上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線y=x的 最小距離.答案:.22第10頁(yè)/共17頁(yè)第十一頁(yè)，共18頁(yè)。四、小結(jié)(xioji)：對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)的導(dǎo)數(shù)是常用的導(dǎo)數(shù)公式中較 難的兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要熟記公式,會(huì)用公式,用活公式.(2)解決指、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,應(yīng)充分重視指數(shù)、對(duì) 數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的準(zhǔn)確使用,以保證變換過(guò)程(guchng)的等價(jià)性.(3)在求指、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過(guò)程中,要遵循先化簡(jiǎn),再 求導(dǎo)的原則;要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù) 的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).第11頁(yè)

8、/共17頁(yè)第十二頁(yè)，共18頁(yè)。第12頁(yè)/共17頁(yè)第十三頁(yè)，共18頁(yè)。例6:求下列(xili)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x).解:(1)兩邊(lingbin)取對(duì)數(shù),得lny=xlnx.由于y是x的函數(shù),由復(fù)合(fh)函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),可得:(2)兩邊取對(duì)數(shù),得lny=g(x)lnf(x),兩邊對(duì)x求導(dǎo),可得:說(shuō)明:(1)解法可能對(duì)lny求導(dǎo)不易理解,事實(shí)上,若u=lny, y=f(x),則).(1xfyyuuxyx 第13頁(yè)/共17頁(yè)第十四頁(yè)，共18頁(yè)。(2)本題(bnt)用的求導(dǎo)方法習(xí)慣上稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,即先兩 邊取對(duì)數(shù),再對(duì)x求導(dǎo).一般適用于

9、下列兩類函數(shù):形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函數(shù),取對(duì)數(shù)后,可 將積轉(zhuǎn)化為和的形式,或 ,取對(duì) 數(shù)后,可轉(zhuǎn)化為代數(shù)和的形式.)()()()(11nnbxbxaxaxy 無(wú)理(wl)函數(shù)或形如y=f(x)g(x)這類冪指函數(shù).(3)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的優(yōu)點(diǎn):一是可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化(積、商 變和、差,冪、根變積式),二是可使較復(fù)雜函數(shù)(hnsh)求 導(dǎo)變?yōu)榭赡?無(wú)求導(dǎo)公式變?yōu)橛星髮?dǎo)公式).例如我們利用上面例題中的(2)可知中的n的范圍可以擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù).)()(1Qnnxxnn 又如下面一題我們就有兩種不同的解法:第14頁(yè)/共17頁(yè)第十五頁(yè)，共18頁(yè)。方法二:由于(yuy)y0,故可以兩邊取對(duì)數(shù).題目:已知0 x0,故兩邊取對(duì)數(shù),得.ln2lnlnxxy 方法二:.2ln2ln2lnxxxxeexyx 第16頁(yè)/共17頁(yè)第十七頁(yè)，共18頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)計(jì)學(xué)。5.由前面幾節(jié)課的知識(shí)(zh shi),我們已經(jīng)掌握了初等函數(shù)中的。函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而這就是我們今天要新學(xué)的內(nèi)容.。證: