競賽專題培訓(xùn)中位線及其應(yīng)用

1、初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)中位線及其應(yīng)用中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線形， A， B， C，D分別是 AP，PB，BQ，QA的中點(diǎn)求證：段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明AC =B D中有著廣泛的應(yīng)用分析由于 A， B， C， D分別是四邊形APBQ的四條邊 AP，例 1 如圖 2-53 所示 ABC中， ADBC于 D，E， F，PB，BQ，QA的中點(diǎn)， 有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)知道A B CD是平行四邊形，A C與 BD則是它的對角線，從而四邊形ABCD應(yīng)該是矩形利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點(diǎn)ABC的面積分析由條件知， EF， EG分別是三角形ABD和

2、三角形 ABC的中位線利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，不難求出ABC的高 AD及底邊 BC的長例 4 如圖 2-58 所示在四邊形ABCD中，CD AB，E，F(xiàn) 分別是 AC，BD的中點(diǎn)求證：例 2 如圖 2 -54 所示 ABC中，B， C 的平分線 BE，CF相交于 O， AG BE于 G， AH CF于 H(1) 求證： GHBC；(2) 若 AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求 GH分析若延長 AG，設(shè)延長線交BC于M由角平分線的對稱性可以證明 ABG MBG，從而 G是 AM的中點(diǎn)；同樣，延長 AH交 BC于 N，H 是 AN的中點(diǎn)，從而 GH就是 AMN的中位

3、線，所以 GHBC，進(jìn)而，利用 ABC的三邊長可求出GH的長度分析 :在多邊形的不等關(guān)系中，容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不形中構(gòu)造中位線，為此，取AD中點(diǎn)例 5 如圖 2-59 所示梯形ABCD中， AB CD， E為 BC的中點(diǎn)， AD=DC+AB求證： DEAE例 3 如圖 2-57 所示 P分析本題等價(jià)于證明AED是直角三角形，是矩形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形 BCPQ是平行四邊其中 AED=90°在 E 點(diǎn)( 即直角三角形的直角頂點(diǎn)) 是梯形一3已知在 ABC中， ABAC，ADBC于D，E，F(xiàn)，G 分別是AB，腰中點(diǎn)的啟發(fā)下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，BC，AC

4、的中點(diǎn)求證：BFE=EGD該中位線是直角三角形AED的斜邊 ( 即梯形另一腰 ) 的一半，則問題獲解4在 ABC中，AHBC于 H，D，E，F(xiàn) 分別是 BC，CA，AB的中點(diǎn) ( 如圖 2-62 所示 ) 求證： DEF= HFE例 6 如圖 2-60 所示 ABC外一條直線 l ，D， E，F(xiàn) 分別是三邊的中點(diǎn)， AA1 ，F(xiàn)F1 ，DD1， EE1 都垂直 l 于 A1， F1 ，D1 ，E1求證：AA1+EE1=FF1 +DD1分析 顯然 ADEF是平行四邊形，對角線的交點(diǎn)O平分這兩條對角線， OO1 恰是兩個(gè)梯形的公6共中位線利用中位線定理可證5. 如圖 2-63 所示 D，E 分別在

5、 AB，AC上， BD=CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是 M， N，直線 MN分別交 AB，AC于 P，Q求證： AP=AQ練習(xí)部分1 已知 ABC中，D為 AB的中點(diǎn)， E 為 AC上一點(diǎn)， AE=2CE，CD，BE 交于 O點(diǎn)， OE=2厘米求BO的長6. 已知在四邊形ABCD中，ADBC， E ，F(xiàn) 分別是 AB， CD 的2已知 ABC中， BD，CE分別是 ABC， ACB的平分線， AHBD于 H， AF CE于 F若 AB=14 厘米， AC=8厘米， BC=18厘米，求 FH 的長作業(yè)部分：姓名：1如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形， AEBD 于 E，CFBD于 F（ 1）求證

6、： BE=DF；（ 2）若 M、N 分別為邊 AD、BC上的點(diǎn)，且 DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀（不必說明理由）5如圖，已知D 是ABC的邊 AB 上一點(diǎn)， CEAB，DE交 AC于點(diǎn) O，且 OA=OC，猜想線段CD與線段 AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明2如圖所示， ?AECF的對角線相交于點(diǎn)O，DB經(jīng)過點(diǎn) O，分別與AE， CF交于 B，D求證：四邊形ABCD是平行四邊形6如圖，已知， ?ABCD中， AE=CF，M、N 分別是 DE、BF 的中點(diǎn)求證：四邊形MFNE是平行四邊形3如圖，在四邊形ABCD中， AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分別為E， F（ 1）求證： ABECDF；（ 2）若 AC與 BD交于點(diǎn) O，求證： AO=CO7如圖平行四邊形ABCD中， ABC=60°，點(diǎn)BC的延長線上， AEBD，EFBF，垂足為點(diǎn)（ 1）求