(完整word版)武漢大學(xué)12-13學(xué)年度第一學(xué)期數(shù)物A卷

1、武漢大學(xué) 2012 2013 學(xué)年度第 一 學(xué)期數(shù)學(xué)物理方法試卷（A）_ 學(xué)院_ 專業(yè)班 學(xué)號(hào)_姓名_分?jǐn)?shù)一、 （本題 10 分）寫出下列物理問題的定解問題1一長(zhǎng)度為二的桿，在 x=0 的一端溫度保持為零，而在另一端 x=：處保持絕熱，初始桿 上溫度梯度均勻，寫出此定解問題。2.散熱片的橫截面為矩形，邊長(zhǎng)分別為 a 和 b。它的一邊處于較高的溫度 U，其它三邊 處于冷卻介質(zhì)中因而保持低的溫度 uo,寫出該橫截面上的穩(wěn)定溫度滿足的定解問題。5 -Du =0 （0cxcl,t0）二、 （本題 10 分）定解問題丿 u=t2,ux= 2t，若要使邊界條件齊次化，求ut土 = 0其輔助函數(shù)，并寫出邊界

2、條件齊次化后相應(yīng)的定解問題。三、 （本題 10 分）利用分離變量法求解下列定解問題：兩端固定的弦的敲擊問題。L2u 社a u“ =0（0 ex 兀,t 0）uX=0= ux卻=0ut=0 =0utt=0=6（X-c） （0 vc5四、 （本題 10 分）一半徑為 R 的薄圓盤，若圓盤的上下面絕熱，圓盤邊緣的溫度分布為，Ur土=COS2，試求圓盤上穩(wěn)定的溫度分布?？б?口心=0（亠c x 址譏 0） （5 1）五、 （本題 15 分）一維無界波動(dòng)問題7=5 inxut t=0= -2cosx1） 試證u（x,t） = f,x-2t） f2（x 2t）是方程（5-1）的解，fj（x）和f2（x）兩

3、個(gè)任意函數(shù)。2）利用達(dá)朗貝爾公式求解此一維無界波動(dòng)問題。六、（本題 15 分）柱坐標(biāo)系中的熱傳導(dǎo)問題：有一無窮長(zhǎng)的圓柱體，半徑為 1,若柱表面的 溫度為 0,初始溫度分布為f(C=(1 J2)To，試：1)寫出此的定解問題；2)本征值和本 征值函數(shù)；3)分離變量后，關(guān)于T(t)滿足的方程和解；4)寫出圓形膜的通解；5)求柱 內(nèi)的溫度分布變化。注意：通工、電科、電工、光科、測(cè)控專業(yè)做第七到第八題。七、 (本題 15 分)計(jì)算和證明下列各題1.微分方程X (x) X(x) =0 C0)和邊界條件X(_a)=X(a)=0構(gòu)成本征值問題, 求相應(yīng)的本征值和本征函數(shù)。a 2a42. 證明 x J0( x

4、)dx = J0( () )，其中是J,x)=0的正根。0aJi2八、 (本題 15 分)1)計(jì)算積分x Pn(x)dx2)有一半徑為 a 的均勻球殼，其電勢(shì)分布為ucos2二，球殼內(nèi)、外無電荷，寫出此定解 問題，并求空間的電勢(shì)分布。注意：電波傳播專業(yè)做第九題到第十一題。九、(本題 10 分)計(jì)算和證明下列各題1.微分方程X(X)X(X)= 0 C0)和邊界條件X(-a)=X(a)=0構(gòu)成本征值問題, 求相應(yīng)的本征值和本征函數(shù)。a42a42. 證明 x3J0( x)dx = J0( (丄丄) )，其中丄是Jdx)0的正根。0a-十、(本題 10 分)有一半徑為 a 的均勻球殼，其電勢(shì)分布為u0

5、cos2r，球殼內(nèi)、外無電荷, 寫出此定解問題，并求空間的電勢(shì)分布。1一、(本題 10 分)半平面的 Dirichlet 問題J2u(x, y) = 0,(x a 0)u(0, y) = f(y)1)寫出二維 Dirichlet-Green 函數(shù)G(x, y, X0,y)滿足的定解問題;12）用電像法寫出半平面的 Dirichlet-Green 函數(shù)；3）計(jì)算 Dirichlet-Gerrn 函數(shù)在邊界點(diǎn)（0,0）點(diǎn)的法線方向的導(dǎo)數(shù);4）寫出定解問題的解。Legendre 方程(x2)dy(x) n(n 1)y(x)二 0dxdx(-1)k l(2l-2k)!x2 k!(l k)!(l 2k)!(l 1)Pl1(x)-(2l 1)xR(x) lR_1(x)=0，(l =0)12 Pk(x)Pl(x)kl2l 1整數(shù)階 Bessel 函數(shù)Jn(x)=f W 廠m=sm! (m+ n)!2 )(6) Besse 函數(shù)的遞推關(guān)系f xnJn(X)LxnJnj(x) dx廣義 Fourier 展開QOf(P)=E CmJn(k；P)m呂J*廣mm! (m n)!2)參考公式（1）球坐標(biāo)中 Lap lace 算符2的表達(dá)式1d丄r21：2I +-r2sin2：2柱坐標(biāo)中 Lap lace 算符2的表達(dá)式i2二丄一