三次函數(shù)的所有題型(1)

1、1 三次函數(shù)的基本題型 由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù) )0()(23adcxbxaxxf其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù): :， )0(23)(2/acbxaxxf判別式為：判別式為：= =，設(shè)，設(shè)的兩根為的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：，結(jié)合函數(shù)草圖易得： )3(412422acbacb0)(/xf1x2x(1)(1) 若若，則，則恰有一個實根；恰有一個實根； 032 ac

2、b0)(xf(2)(2) 若若, ,且且，則，則恰有一個實根；恰有一個實根； 032 acb0)()(21xfxf0)(xf(3)(3) 若若, ,且且，則，則有兩個不相等的實根；有兩個不相等的實根； 032 acb0)()(21xfxf0)(xf(4)(4) 若若, ,且且，則，則有三個不相等的實根有三個不相等的實根. . 032 acb0)()(21xfxf0)(xf說明說明:(1)(2):(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線含有一個實根的充要條件是曲線與與軸只相交一次，即軸只相交一次，即在在 r r 上為上為0)(xf)(xfy x)(xf單調(diào)函數(shù)（單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號或兩極值同號

3、） ，所以，所以（或或，且且）; ; 032 acb032 acb0)()(21xfxf(3)(3)有兩個相異實根的充要條件是曲線有兩個相異實根的充要條件是曲線與與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以0)(xf)(xfy x，且，且; ; 032 acb0)()(21xfxf(4)(4)有三個不相等的實根的充要條件是曲線有三個不相等的實根的充要條件是曲線與與軸有三個公共點，即軸有三個公共點，即有一個極有一個極0)(xf)(xfy x)(xf大值，一個極小值，且兩極值異號大值，一個極小值，且兩極值異號. .所以所以且且. . 032 acb0)()(21xfx

4、f【例題例題 1 1】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 13-31)(23+=xxxxf)(xf【變式變式 1 1】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 mxxxxf+=3-31)(23)(xf【變式變式 2 2】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 131)(23+=mxxxxf)(xf【變式變式 3 3】：設(shè)函數(shù)在（-，+）為單調(diào)函數(shù)，求 m 的取值范圍。 131)(23+=xmxxxfx【變式變式 4 4】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 1) 1(2131)(23+=mxxmxxf)(xf2 【變式變式 5 5】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 cxxmmxxf+=23) 1(2131)()(xf【變式變式 6

5、6】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 cxxmxxf232131)()(xf 【例題例題 2 2】：設(shè)函數(shù)，求的極值。 1331)(23xxxxf)(xf 【例題例題 3 3】：設(shè)函數(shù)，求在0,4的最值。 1331)(23xxxxf)(xf【變式變式 1 1】：【2005 高考北京文第 19 題改編】 已知函數(shù)f(x)=x33x29xa, 若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為 20，求它在該區(qū)間上的最小值 【變式 2 2】：【2012 高考北京文第 19 題改編】已知函數(shù)，。 2( )1(0)f xaxa3( )g xxbx當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍。 3,9ab ( )( )f

6、xg x ,2k28k 【例題例題 4 4】：設(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求 c 的取值范1331)(23xxxxf)(xfcxf)(圍。 【變式】：設(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求 c 的取值范圍。 1331)(23xxxxf)(xfcxf)( 【例題例題 5 5】：【2014 高考北京文第 20 題改編】已知函數(shù)3( )23f xxx.若過點(1, )pt存在 3 條直線與曲線( )yf x相切，求 t 的取值范圍； 【變式】 (1)已知函數(shù)3( )23f xxx.若過點(1, )pt存在 2 條直線與( )yf x相切，求 t 的取值范圍； (2)已知函數(shù)3( )23f xxx.若過點

7、(1, )pt存在 1 條直線與( )yf x相切，求 t 的取值范圍 (3）問過點 a(1，2)，b(2，10)，c(0，2)分別存在幾條直線與曲線 yf(x)相切？ 3 【變式】：已知函數(shù) f(x)=在處有極值. 3213xaxb2x（）求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； （）若函數(shù) f(x)在區(qū)間-3,3上有且僅有一個零點，求 b 的取值范圍。 【例題例題 6 6】：設(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范323( )1312f xxaxax( )f x1 , 4a圍； 【變式】已知函數(shù)1331(223xmmxxxf）(0)m .若函數(shù))(xf在區(qū)間(21,1)mm上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍

8、【例題例題 7 7】已知函數(shù)當(dāng)時，若在區(qū)間上不單調(diào)，3221( )(1)( ,)3f xxaxaxb a br0a ( )f x( 1,1)求的取值范圍 a 【例題例題 8 8】axxxxf22131)(23，若)(xf在),32(上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍； 【例題例題 9 9】已知函數(shù)，其中求( )f x在區(qū)間上的最小值 322( )2(2)13f xxxa x0a 2,3 4 答案：答案： 【例題例題 1 1】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 13-31)(23+=xxxxf)(xf解析：的定義域為 r， )(xf3-2)(2xxxf+=,此時為的單調(diào)遞增區(qū)間； 03-2)(2+=x

9、xxf），或（1,-3)- (+x)(xf，此時為的單調(diào)遞減區(qū)間。 03-2)(2+=xxxf），或（1,-3)- (+x)(xf，此時為的單調(diào)遞減區(qū)間。 03-2)(2+=xxxf-3,1)(x)(xf【老吳幫你解后反思老吳幫你解后反思】：變式變式 1 1 與例題的區(qū)別在于把三次函數(shù)的常數(shù)項換成參數(shù)與例題的區(qū)別在于把三次函數(shù)的常數(shù)項換成參數(shù) m m，但是不影響函數(shù)的，但是不影響函數(shù)的單調(diào)性。單調(diào)性。 【變式變式 2 2】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 131)(23+=mxxxxf)(xf解析：依題意可得 2( )2fxxxm當(dāng)即時,恒成立,故,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增; 440m 1m 220

10、xxm( )0fx( )f xr當(dāng)即時, 440m 1m 有兩個相異實根1244112mxm 211xm ，且2( )20fxxxm，故(, 11)( 11,)xmxm 或，此時為的21xx 12xx （2）m=1,即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增; 12xx =0)( xf( )f xr （3）m1,即- , 1)-m,) （或（為單調(diào)遞增，-1,-m（）為單調(diào)遞減； 12xx 1,m1,【變式變式 2 2】因為不能因式分解，不能確定方】因為不能因式分解，不能確定方程有根無根，所以要討論程有根無根，所以要討論的正負。的正負。 【變式變式 5 5】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 cxxmmxxf+=23

11、) 1(2131)()(xf解析：依題意可得 ， 2( )(1)1(1)(1)fxmxmxmxx （1）m=0,m=0,所以函數(shù)在- , 1) （單調(diào)遞減，在-1,)（單調(diào)遞增； ( )1fxx( )f x（2）m,=0,1211,xxm 02( )(1)1(1)(1)fxmxmxmxx m,1(, 1)-,)m 或（單調(diào)遞0減，1( 1,)m 單調(diào)遞增； 6 ，1(,)-1,)m 或（單調(diào)遞增，1(, 1)m單調(diào)遞減； 10m12xx m12xx 綜上可知， m,1(, 1)-,)m 或（單調(diào)遞減，1( 1,)m 單調(diào)遞增； 0 m=0,m=0, ,- , 1) （單調(diào)遞減，在-1,)（單調(diào)

12、遞增； ， 1(,)-1,)m 或（單調(diào)遞增，1(, 1)m單調(diào)遞減； 10m【老吳幫你解后反思老吳幫你解后反思】：這道題目與這道題目與【變式變式 4 4】區(qū)別在于，最高次前邊的系數(shù)不能確定，所以討論的第區(qū)別在于，最高次前邊的系數(shù)不能確定，所以討論的第一個分界點為一個分界點為 m=0，然后在討論兩個根的大小，然后在討論兩個根的大小，但是一定注意導(dǎo)函數(shù)圖像的開口方向，這是易錯點。但是一定注意導(dǎo)函數(shù)圖像的開口方向，這是易錯點。 【變式變式 6 6】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 cxxmxxf+=232131)()(xf提示：求導(dǎo)后，分析二次函數(shù)的最高冪系數(shù)不確定，所以要討論 m 與 0 的關(guān)系，在

13、0 的情況下，討m論的正負。的正負。 【例題例題 2 2】：設(shè)函數(shù)321( )313f xxxx，求( )f x的極值。 解析：定義域為xr，依據(jù)題意可知2( )23fxxx，令2( )230fxxx，121,3xx x (, 1) -1 ( 1,3) 3 (3,) ( )fx ( )fx0 0 ( )fx0 ( )f x 單調(diào)遞增 極大值8( 1)3f 單調(diào)遞減 極小值(3)8f 單調(diào)遞增 7 附圖： 【例題例題 3 3】：設(shè)函數(shù)321( )313f xxxx，求( )f x在0,4的最值。 解析：定義域為xr，依據(jù)題意可知2( )23fxxx，令2( )230fxxx， 11x （舍）23

14、x x 0 (0,3) 3 (3,4) 4 ( )fx ( )fx0 ( )f x (0)1f 單調(diào)遞減 極小值(3)8f 單調(diào)遞增 7(4)3f 通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為(0)1f，最小值(3)8f 【老吳幫你解后反思老吳幫你解后反思】：本題主要注意求出：本題主要注意求出 導(dǎo)數(shù)值為零點時，導(dǎo)數(shù)值為零點時，11x 不在給定范圍。 附圖： 【變式變式 1 1】：【2005 高考北京文第 19 題改編】 已知函數(shù)f(x)=x33x29xa, 若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為 20，求它在該區(qū)間上的最小值 解析： 依據(jù)題意，2( )369fxxx ，( )0fx，121,3xx （舍） 8 x

15、-2 ( 2, 1) -1 ( 1,2) 2 ( )fx ( )fx0 ( )f x ( 2)2fa 單調(diào)遞減 ( 1)5fa 單調(diào)遞增 (2)22fa 由表可知f(x)的最大值為(2)22fa=20，所以a=-2.f(x)的最小值為( 1)5fa =-7. 附圖： 【變式 2 2】：【2012 高考北京文第 19 題改編】已知函數(shù)，。 2( )1(0)f xaxa3( )g xxbx當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍。 3,9ab ( )( )f xg x ,2k28k解析： 依據(jù)題意，32( )( )( )391h xf xg xxxx，2( )369h xxx，12( )0,1

16、,3h xxx x (, 3) -3 ( 3,1) -1 ( 1,2) 2 ( )fx ( )fx0 0 ( )fx0 ( )f x 單調(diào)遞增 極大值( 3)28f 單調(diào)遞減 極小值( 1)12f 單調(diào)遞增 (2)3f 結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知，要使( )h x最大值為，必須使3k 。 28【老吳幫你解后反思老吳幫你解后反思】： 在解決函數(shù)問題時，一定要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值大致繪出函數(shù)圖像在解決函數(shù)問題時，一定要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值大致繪出函數(shù)圖像（如下圖（如下圖),),通過圖像一目了然就可以觀察出通過圖像一目了然就可以觀察出3k 。 9 【例題例題 4 4】：設(shè)函數(shù)321( )313f x

17、xxx，( )f x在0,4的滿足( )f xc恒成立，求 c 的取值范圍。 解析：定義域為xr，依據(jù)題意可知2( )23fxxx，令2( )230fxxx， 11x （舍）23x x 0 (0,3) 3 (3,4) 4 ( )fx ( )fx0 ( )f x (0)1f 單調(diào)遞減 極小值(3)8f 單調(diào)遞增 7(4)3f 通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為(0)1f，最小值(3)8f 在0,4的滿足( )f xc恒成立，必須使 c1. 【變式】：設(shè)函數(shù)321( )313f xxxx，( )f x在0,4的滿足( )f xc恒成立，求 c 的取值范圍。 解析：定義域為xr，依據(jù)題意可知2( )23fx

18、xx，令2( )230fxxx， 10 11x （舍）23x x 0 (0,3) 3 (3,4) 4 ( )fx ( )fx0 ( )f x (0)1f 單調(diào)遞減 極小值(3)8f 單調(diào)遞增 7(4)3f 通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為(0)1f，最小值(3)8f 在0,4的滿足( )f xc恒成立，必須使 c8 . 【老吳幫你解后反思老吳幫你解后反思】： 此類題目為恒成立問題，可以總結(jié)為此類題目為恒成立問題，可以總結(jié)為( )f xc恒成立，滿足min( )fxc；( )f xc恒成立，滿足max( )fxc。 【例題例題 5 5】：【2014 高考北京文第 20 題改編】已知函數(shù)3( )23f

19、xxx.若過點(1, )pt存在 3 條直線與曲線( )yf x相切，求 t 的取值范圍； 方法一： 11 方法二： 3200463xxt ，設(shè)32( )463g xxx，( )h xt ，則“過點(1, )pt存在 3 條直線與曲線( )yf x相切”等價于“( )( )yg xyh x與圖像12 有三個交點” 。g(x)12x212x12x(x1)當(dāng) x 變化時，g(x)與 g(x)的變化情況如下： x (，0) 0 (0，1) 1 (1，) g(x) 0 0 g(x) 單調(diào)遞增 3 單調(diào)遞減 1 單調(diào)遞增 所以，g(0)3 是 g(x)的極大值，g(1)1 是 g(x)的極小值 結(jié)合圖像

20、知，當(dāng) y=g(x)與( )yh x有 3 個不同交點時，有 1t3,即3t-1 或 t-3 (3)過點 a(1，2)存在 3 條直線與曲線 yf(x)相切； 過點 b(2，10)存在 2 條直線與曲線 yf(x)相切； 過點 c(0，2)存在 1 條直線與曲線 yf(x)相切 【老吳幫你解后反思老吳幫你解后反思】： 解法一是高考標(biāo)準(zhǔn)答案，解法二，運用分離參數(shù)法思想，分解成兩個函數(shù)，解法一是高考標(biāo)準(zhǔn)答案，解法二，運用分離參數(shù)法思想，分解成兩個函數(shù)，一個是三次函數(shù)且不含參數(shù)，一個是常見的常函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像（如圖一個是三次函數(shù)且不含參數(shù)，一個是常見的常函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像（如圖) )即可求解。即可

21、求解。 【變式】：已知函數(shù) f(x)=在 x=-2 處有極值. 3213xaxb（）求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； （）若函數(shù) f(x)在區(qū)間-3,3上有且僅有一個零點，求 b 的取值范圍。 13 解: （） 由題意知: ,得 a=-1， 2( )2fxxax( 2)440fa ，令，得 x0, 令，得-2x0, 2( )2fxxx( )0fx( )0fxf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-，-2）和（0，+） ，單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，0） 。 （）解法一：由（）知，f(x)= ， 3213xxbf(-2)=為函數(shù) f(x)極大值，f(0)=b 為極小值。 43b函數(shù) f(x)在區(qū)間-3,3上有且僅有一

22、個零點， 或或或或 ， ( 3)0(0)0ff(3)0( 2)0ff( 3)0(3)0ff( 2)0(3)0ff( 3)0(0)0ff即 ，即 b 的取值范圍是。 180403bb4183b 4 18,)3解法二：由（）知，f(x)= ，令=0，( )g xb ， （以下3213xxb3213xxb321( )3h xxx略解）求出在-3,3的最值與單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)圖像即可求解。 321( )3h xxx附圖： 【例題例題 6 6】：設(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范323( )1312f xxaxax( )f x1 , 4a圍； 14 【解析】【解析】 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 23313

23、31fxxaxaxxa f x1 , 4， (4)0f 4 ,a 【變式】已知函數(shù)1331(223xmmxxxf）(0)m .若函數(shù))(xf在區(qū)間(21,1)mm上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍 解析 由于0m，)(xf ，)(xf的變化情況如下表： x )3,(m m3 ),3(mm m ),(m )( xf + 0 0 + )(xf 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 所以函數(shù))(xf的單調(diào)遞增區(qū)間是(, 3 )m 和( ,)m . 【例題例題 7 7】已知函數(shù)當(dāng)時，若在區(qū)間上不單調(diào)，3221( )(1)( ,)3f xxaxaxb a br0a ( )f x( 1,1)求的取值范圍 a