三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用

1、專題3 銳角三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用解題技巧：1如果圖形不是直角三角形，一定要考慮添加適當(dāng)?shù)妮o助線（作平行線或作垂線），構(gòu)造直角三角形，然后選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)（正弦、余弦或正切）；2在求線段長(zhǎng)度的時(shí)候，如果不能直接求出長(zhǎng)度，可以考慮列方程求值。一 仰角、俯角問題1某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)課上測(cè)量學(xué)校旗桿的高度已知小亮站著測(cè)量，眼睛與地面的距離（AB）是1.7米，看旗桿頂部E的仰角為30°；小敏蹲著測(cè)量，眼睛與地面的距離（CD）是0.7米，看旗桿頂部E的仰角為45°兩人相距5米且位于旗桿同側(cè)（點(diǎn)B、D、F在同一直線上）（1）求小敏到旗桿的距離DF（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求旗桿EF的高

2、度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.4，1.7）2如圖所示，某古代文物被探明埋于地下的A處，由于點(diǎn)A上方有一些管道，考古人員不能垂直向下挖掘，他們被允許從B處或C處挖掘，從B處挖掘時(shí)，最短路線BA與地面所成的銳角是56°，從C處挖掘時(shí)，最短路線CA與地面所成的銳角是30°，且BC=20m，若考古人員最終從B處挖掘，求挖掘的最短距離（參考數(shù)據(jù)：sin56°=0.83，tan56°1.48，1.73，結(jié)果保留整數(shù)）3 (2014濰坊)如圖，某海域有兩個(gè)海拔均為200米的海島A和海島B，一勘測(cè)飛機(jī)在距離海平面垂直高度為1100米的空中飛行，飛行到點(diǎn)C處時(shí)測(cè)得正前方

3、一海島頂端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飛行1.99×104米到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得正前方另一海島頂端B的俯角是60°，求兩海島間的距離AB.4.一電線桿PQ立在山坡上，從地面的點(diǎn)A看，測(cè)得桿頂端點(diǎn)A的仰角為45°，向前走6m到達(dá)點(diǎn)B，又測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別為60°和30°，（1）求BPQ的度數(shù)；（2）求該電線桿PQ的高度（結(jié)果精確到1m）5.如圖，為了開發(fā)利用海洋資源，某勘測(cè)飛機(jī)測(cè)量一島嶼兩端A、B的距離，飛機(jī)以距海平面垂直同一高度飛行，在點(diǎn)C處測(cè)得端點(diǎn)A的俯角為60°，然后沿著平行于AB的方

4、向水平飛行了500米，在點(diǎn)D測(cè)得端點(diǎn)B的俯角為45°，已知島嶼兩端A、B的距離541.91米，求飛機(jī)飛行的高度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.73，1.41）6 (2015丹東10分)如圖，線段AB，CD表示甲、乙兩幢居民樓的高，兩樓間的距離BD是60米某人站在A處測(cè)得C點(diǎn)的俯角為37°，D點(diǎn)的俯角為48°(人的身高忽略不計(jì))，求乙樓的高度CD.(參考數(shù)據(jù)：sin37°，tan37°，sin48°，tan48°)7.如圖，一樓房AB后有一假山，其斜坡CD坡比為1：，山坡坡面上點(diǎn)E處有一休息亭，測(cè)得假山坡腳C與樓房水平距離BC

5、=6米，與亭子距離CE=20米，小麗從樓房頂測(cè)得點(diǎn)E的俯角為45°（1）求點(diǎn)E距水平面BC的高度；（2）求樓房AB的高（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)1.414，1.732）8如圖，某飛機(jī)于空中探測(cè)某座山的高度，在點(diǎn)A處飛機(jī)的飛行高度是AF3700米，從飛機(jī)上觀測(cè)山頂目標(biāo)C的俯角是45°，飛機(jī)繼續(xù)以相同的高度飛行300米到B處，此時(shí)觀測(cè)目標(biāo)C的俯角是50°，求這座山的高度CD.(參考數(shù)據(jù)：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.20)9.（2015荊門）如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方

6、向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無(wú)法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）10（2015達(dá)州）學(xué)習(xí)“利用三角函數(shù)測(cè)高”后，某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量了鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB，其測(cè)量步驟如下：（1）在中心廣場(chǎng)測(cè)點(diǎn)C處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)山頂A的仰角AFH=30°；（2）在測(cè)點(diǎn)C與山腳B之間的D處安置測(cè)傾器（C、D與B在同一直線上，且C、D之間的距離可以直接測(cè)得），測(cè)得此時(shí)山頂上紅軍亭頂部E的仰角EGH=45&

7、#176;；（3）測(cè)得測(cè)傾器的高度CF=DG=1.5米，并測(cè)得CD之間的距離為288米；已知紅軍亭高度為12米，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求出鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB（取1.732，結(jié)果保留整數(shù)） 11（2015河南）如圖所示，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定測(cè)量小河對(duì)岸大樹BC的高度，他們?cè)谛逼律螪處測(cè)得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6米到達(dá)坡底A處，在A處測(cè)得大樹頂端B的仰角是48°，若坡角FAE=30°，求大樹的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°0.74，cos48°0.67，tan48°1.11，1.73） 12（2014河南

8、）在中俄“海上聯(lián)合2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測(cè)得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測(cè)得潛艇C的俯角為68°，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin68°0.9，cos68°0.4，tan68°2.5，1.7） 二 坡度、坡角問題13如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角BAE45°，壩高BE20米汛期來(lái)臨，為加大水壩的防洪強(qiáng)度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡BF的坡角F30°，求AF的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732

9、)114(2014山西)如圖，點(diǎn)A、B、C表示某旅游景區(qū)三個(gè)纜車站的位置，線段AB，BC表示連接纜車站的鋼纜，已知A，B，C三點(diǎn)在同一鉛直平面內(nèi)，它們的海拔高度AA，BB，CC分別為110米，310米，710米，鋼纜AB的坡度i112，鋼纜BC的坡度i211，景區(qū)因改造纜車線路，需要從A到C直線架設(shè)一條鋼纜，那么鋼纜AC的長(zhǎng)度是多少米？(注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)15（2015廣安）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和學(xué)生一起去測(cè)量學(xué)校升旗臺(tái)上旗桿AB的高度，如圖，老師測(cè)得升旗臺(tái)前斜坡FC的坡比為i=1：10（即EF：CE=1：10），學(xué)生小明站在離升旗臺(tái)水平距離為35m（即CE=35m）處

10、的C點(diǎn)，測(cè)得旗桿頂端B的仰角為，已知tan=，升旗臺(tái)高AF=1m，小明身高CD=1.6m，請(qǐng)幫小明計(jì)算出旗桿AB的高度 三 方向角問題16如圖，小島在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A處，貨船從港口P出發(fā)，沿北偏東45°方向勻速駛離港口P，4小時(shí)后貨船在小島的正東方向求貨船的航行速度（精確到0.1海里/時(shí)，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）17某海域有A、B兩個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里有一艘船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75°方向的C處求該船與B港口之間的距離即CB的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)

11、)18.如圖，要測(cè)量A點(diǎn)到河岸BC的距離，在B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在B點(diǎn)的北偏東30°方向上，在C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在C點(diǎn)的北偏西45°方向上，又測(cè)得BC150 m求A點(diǎn)到河岸BC的距離(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73)19.(2013年河南省)我國(guó)南水北調(diào)中線工程的起點(diǎn)是丹江口水庫(kù)，按照工程計(jì)劃，需對(duì)原水庫(kù)大壩進(jìn)行混凝土培厚加高，使壩高由原來(lái)的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖，其中原壩體的高為，背水坡坡角，新壩體的高為，背水坡坡角。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度.(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）答案1考點(diǎn):解直角三角形

12、的應(yīng)用-仰角俯角問題分析:（1）過點(diǎn)A作AMEF于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CNEF于點(diǎn)N設(shè)CN=x，分別表示出EM、AM的長(zhǎng)度，然后在RtAEM中，根據(jù)tanEAM=，代入求解即可；（2）根據(jù)（1）求得的結(jié)果，可得EF=DF+CD，代入求解解：（1）過點(diǎn)A作AMEF于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CNEF于點(diǎn)N，設(shè)CN=x，在RtECN中，ECN=45°，EN=CN=x，EM=x+0.71.7=x1，BD=5，AM=BF=5+x，在RtAEM中，EAM=30°=，x1=（x+5），解得：x=4+3，即DF=（4+3）（米）；（2）由（1）得：EF=x+0.7=4+0.74+3×1.7+0.

13、79.810（米）答：旗桿的高度約為10米點(diǎn)評(píng):本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用2分析:作ADBC交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，線段AD即為文物在地面下的深度設(shè)AD=x通過解直角ABD求得BD=；通過解直角ACD求得CD=x，由此列出關(guān)于x的方程，通過方程求得AD的長(zhǎng)度最后通過解直角三角形ABD來(lái)求AB的長(zhǎng)度即可解：作ADBC交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，線段AD即為文物在地面下的深度根據(jù)題意得CAD=30°，ABD=56°設(shè)AD=x在直角ABD中，ABD=56°，BD=在直角ACD中，ACB=30&

14、#176;，CD=AD=x，x=+20解得x18.97，AB=23答：從B處挖掘的最短距離為23米點(diǎn)評(píng):此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是正切、余弦概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算3【思路分析】首先，過點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFCD于點(diǎn)F，易得四邊形ABFE為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得ABEF，AEBF.由題意可知，AEBF1100200900米，CD1.99×104米，然后分別在RtAEC與RtBFD中，利用三角函數(shù)求得CE與DF的長(zhǎng)，繼而求得兩海島間的距離AB.解：如解圖，過點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFCD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.則四邊形ABFE為

15、矩形，ABEF，AEBF.由題意可知AEBF1100200900(米)，CD19900(米)在RtAEC中，C45°，AE900(米)，CE900(米)，在RtBFD中，BDF60°，BF900(米)，DF300(米)，ABEFCDDFCE19900300900(19000300)米答：兩海島之間的距離AB是(19000300)米4.考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題分析:（1）作PQAB交AB的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算；（2）設(shè)PQ=xm，根據(jù)正、余弦的定義表示出QH、BH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可解：（1）作PQAB交AB的延長(zhǎng)線于H，由題

16、意得，QBH=30°，PBH=60°，BQH=60°，PBQ=30°，BPQ=BQHPBQ=30°；（2）設(shè)PQ=xm，BPQ=PBQ，BQ=PQ=xm，QBH=30°，QH=BQ=x，BH=x，A=45°，6+x=xx，解得x=2+69答：該電線桿PQ的高度約為9m點(diǎn)評(píng):本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵5.考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題分析:過點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFCD于點(diǎn)F，設(shè)高度為x米，在RtAEC中可得CE=，在RtBFD中有DF=

17、x，根據(jù)AB=EF=CD+DFCE列出方程，解方程可求得x的值解：過點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFCD于點(diǎn)F，設(shè)高度為x米ABCD，AEF=EFB=ABF=90°，四邊形ABFE為矩形 AB=EF，AE=BF由題意可知：AE=BF=x米，CD=500米在RtAEC中，C=60°，CE=（米） 在RtBFD中，BDF=45°，DF=x（米） AB=EF=CD+DFCE，即500+xx=541.91解得：x=99答：飛機(jī)行飛行的高度是99米6【思路分析】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題中有角度沒直角三角形，先考慮過點(diǎn)C向AB作垂線CE構(gòu)造直角三角形，利用正切分別求得A

18、B、AE，最后利用線段和差關(guān)系求解即可解：過點(diǎn)C作CEAB交AB于點(diǎn)E ，則四邊形EBDC為矩形，BECD，CEBD60米(2分)根據(jù)題意可得，ADB48°，ACE37°.在RtADB中，tan48°，則ABtan48°·BD×6066(米)；(5分)在RtACE中，tan37°，則AEtan37°·CE×6045(米)，(8分)CDBEABAE664521(米)，乙樓的高度CD為21米(10分) 7.考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題分析:（1）過點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F在RtCEF中，求出C

19、F=EF，然后根據(jù)勾股定理解答；（2）過點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H在RtAHE中，HAE=45°，結(jié)合（1）中結(jié)論得到CF的值，再根據(jù)AB=AH+BH，求出AB的值解：（1）過點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F在RtCEF中，CE=20，EF2+（EF）2=202，EF0，EF=10答：點(diǎn)E距水平面BC的高度為10米（2）過點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H則HE=BF，BH=EF在RtAHE中，HAE=45°，AH=HE，由（1）得CF=EF=10（米）又BC=6米，HE=6+10米，AB=AH+BH=6+10+10=16+1033.3（米）答：樓房AB的高約是33.3米8 解：設(shè)ECx，在RtBCE中，

20、tanEBC，則BEx(米)，在RtACE中，tanEAC，則AEx(米)，ABBEAE，300xx，解得：x1800(米)，這座山的高度CDDEECAFCE370018001900(米)答：這座山的高度是1900米14【思路分析】對(duì)于解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，首先要考慮把要求的線段和已知線段、角放到直角三角形中求解如解圖，過點(diǎn)A作AECC于點(diǎn)E，交BB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BDCC于點(diǎn)D.分別在RtAFB和RtBDC中根據(jù)坡度求得AF，BD的長(zhǎng)度，再在RtAEC中，根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)度解：如解圖，過點(diǎn)A作AECC于點(diǎn)E，交BB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BDCC于點(diǎn)D.則AFB，BDC和AEC都是直角三角形，四邊形AABF，BBCD和BFED都是矩形BFBBFBBBAA310110200(米)，CDCCDCCCBB710310400(米)i112，i211，AF2BF400(米)，BDCD400(米)又FEBD400(米)，DEBF200(米)AEAFFE800(米)，第8題解圖CECDDE600(米)在RtAEC中，AC1000(米)答：鋼纜AC的長(zhǎng)度為1000米16.考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題分析:由已知可得AB