(浙江專版)高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.4等比數(shù)列學(xué)案新人教A版必修5

1、1 2.4 等比數(shù)列 第一課時(shí) 等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式 藥習(xí)課本 P4850,思考并完成以下問題 _ 等比數(shù)列的定義是什么？如何判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列? (2) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？ (3) 等比中項(xiàng)的定義是什么？課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)扌能樓髙 2 （1） 若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列 （ ） （2） 等比數(shù)列的首項(xiàng)不能為零，但公比可以為零 （ ） （3） 常數(shù)列一定為等比數(shù)列（ ） （4） 任何兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)（ ） 解析：（1）錯(cuò)誤，根據(jù)等比數(shù)列的定義，只有比值為同一個(gè)常數(shù)時(shí)，該數(shù)列才是等比數(shù) 列. （2） 錯(cuò)誤，當(dāng)公比為零時(shí)，根據(jù)等比數(shù)列的定

2、義，數(shù)列中的項(xiàng)也為零. （3） 錯(cuò)誤，當(dāng)常數(shù)列不為零時(shí)，該數(shù)列才是等比數(shù)列. 錯(cuò)誤當(dāng)兩數(shù)同號時(shí)才有等比中項(xiàng)，異號時(shí)不存在等比中項(xiàng). 答案：(1) x (2) x (3) x x 2下列數(shù)列為等比數(shù)列的是 （ 2 2 A. 2,2 3X2， 1 1 1 B.a,孑 a3 C. s-1, (s- 1)2, (s- 1 2 3 D. 0,0,0， 解析：選 B A、C D 不是等比數(shù)列， A 中不滿足定義，C :、D 中項(xiàng)可為 0,不符合定義 9 12 3. 等比數(shù)列的首項(xiàng)為 石，末項(xiàng)為孑 公比為孑，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（ ） 8 3 3 A. 3 C. 5 解析：選 B 2 n 1 3 ， n 1

3、= 3， n= 4. a1 = 2,且 3( an+ an+2) = 10an+1,則公比 q= 1 22 I _ 1 因?yàn)閍1 = 2 且數(shù)列知為等比遞增數(shù)列，所以 q = 3. 3 1 答案：3 8 27 2 n 1 3 ， 4.已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列, 3 解析：設(shè)公比為 q,則 3( an+ anq ) = 10anq,即 3q 10q+ 3= 0,解得q= 3 或q= 3 又4 典例 在等比數(shù)列an中，ai =4 5, q= 2, an= 32,則項(xiàng)數(shù)n為( ) A. 3 C. 5 D. 6 (2)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且 a!= aio,2(an+ an+ 2) = 5a

4、n+1,則數(shù)列an的通項(xiàng)公 式 an = _ . . 1 1 . 1 1 n 1 - 解析(1)因?yàn)閍n= aq ，所以 f 2 = 32，即卩 2 = 2，解得n= 5. 2 1 2 9 _ 2q - 5q+ 2= 0? q= 2 或,由 a5= a10= ag 0? a10,又?jǐn)?shù)列 an遞增，所以q= 2. 2 4 2 9 n a5= a10? (aq) = ag ? a1= q= 2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an= 2 . 答案 (1)C (2)2 n 活學(xué)活用 在等比數(shù)列an中， (1) a4= 2, a7= 8，求 an； a2 + a5 = 18, a3 + & = 9,

5、 an= 1，求 n. B. 4 (2)由 2( an + an+2)= 5an+1 5 等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 (1) 根據(jù)已知條件，建立關(guān)于 a1, q的方程組，求出a1, q后再求an,這是常規(guī)方法. (2) 充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系，直接求出 q后，再求a1,最后求an,這種方法帶有一定 的技巧性，能簡化運(yùn)算. a2+ a5= aq + ag6= 18, 2 5 a3 + a6= aq + aq = 9, 1 由得q= ，從而a1= 32. a7= a1q , ag = 8, 3 3 l 3 由得 q= 4，從而 q= .4，而 aq = 2, 于是a1=W= 1 2 所以 an= an

6、 1 = 2 3 |. 6 1 又 an= 1，所以 32 x 2 n 1= 1 , 即 26n= 20,所以 n= 6. 1 法二：因?yàn)?as + a6 = q(a2+ a5)，所以 q = 2* 由 ag+ a1 q = 18,得 a1 = 32. 由 an= aq = 1,得 n = 6. 等比中項(xiàng) 1 典例 在等比數(shù)列an中，a1 =q= 2，則a4與a*的等比中項(xiàng)是( ) 8 A. 4 D. 已知b是a, c的等比中項(xiàng)，求證：ab+ be是a2+ b2與b2 + c2的等比中項(xiàng). 答案：A 證明：因?yàn)閎是a, e的等比中項(xiàng), 所以b2= ae,且a, b, e均不為零， 又(a2+

7、b2)( b2 + e2) = a2b2 + a2e2 + b4 + b2e2 = a2b2 + 2a2e2+ b2e2, (ab+ be)2= a2b2 + 2ab2e + b2e2= a2b2+ 2a2e2 + b2e2，所以(ab+ be)2 = (a2 + b2)( b2+ e2), 即ab+ be是a2 + b2與b2 + e2的等比中項(xiàng). G b 2 f (1) 由等比中項(xiàng)的定義可知 a= G? ab? G=ab所以只有a, b同號時(shí)，a, b的 等比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號時(shí)，沒有等比中項(xiàng). (2) 在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng) (有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)和 后一項(xiàng)的等

8、比中項(xiàng). (3) a, G, b成等比數(shù)列等價(jià)于 ab( ab0). 活學(xué)活用 1. 如果一 1, a, b, e， 9 成等比數(shù)列，那么( ) A. b= 3, ae= 9 B . b= 3, ae= 9B. 4 C. 解析 1 n 1 n4 一 (1)由 an= x2 = 2 知, a4= 1, a*= 24,所以a4與a*的等比中項(xiàng)為土 4. 7 C. b= 3, ac= 9 D . b= 3, ac= 9 解析：選 B 因?yàn)閎2= ( 1) x ( 9) = 9,且b與首項(xiàng)一 1 同號, 所以b= 3，且a, c必同號. 所以 ac= b2= 9. 2. _ 已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)依

9、次為 a 1, a+ 1, a+ 4，貝U an= _ 2 解析：由已知可得(a+ 1) = (a 1)( a+ 4), 解得 a= 5,所以 a1 = 4, a2= 6, 3 答案：4X 2 一嗣* 等比數(shù)列的判定與證明 典例 在數(shù)列an中，若an0,且an+1 = 2an+3(n N*).證明：數(shù)列an + 3是等比數(shù) 列. 證明：法一定義法 an0,. an+ 30. 又an + 1 = 2an+ 3, an+1 + 3 2an + 3 + 3 2 an+ 3 = = = 2. an+ 3 an+ 3 an+ 3 數(shù)列an+ 3是首項(xiàng)為a1 + 3,公比為 2 的等比數(shù)列. 法二等比中項(xiàng)

10、法 / an0 , an+ 30. 又 an+1 = 2an+ 3, an +2= 4an+ 9. - (an+2+ 3)( an + 3) =(4 an +12)( an+ 3) 2 =(2 an + 6) =(an+1+ 3) 即 an+ 3, an+1 + 3, an+2+ 3 成等比數(shù)列, 數(shù)列an+ 3是等比數(shù)列. 所以q= i= 3 2, 所以an= 4x n1 8 DO9 證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法 定義法： = q(q為常數(shù)且qz 0)或= q(q為常數(shù)且qz 0, n2)? an為等比 an an-1 數(shù)列. (2)等比中項(xiàng)法：al 1 = an an+2(anz0, n

11、N)? an為等比數(shù)列. 活學(xué)活用 (1) 已知各項(xiàng)均不為 0 的數(shù)列an中，ai, a2, a3成等差數(shù)列，比，a3, a4成等比數(shù)列， a3, a4, a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明： ai, a3, a5成等比數(shù)列. 1 (2) 已知數(shù)列an是首項(xiàng)為 2,公差為一 1 的等差數(shù)列，令bn= 2 an,求證數(shù)列b是等 比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式. 證明：(1)由已知，有 2a2= a1+ a3, 2 a3= a2 a4, 2 1 1 a = a + a. a4 a3 a5 由得a2=豈+吏 a1 + a3 a5 a3 = ，即 a3(a3 + a5)= a5(ai + a3). a3+ a5 化簡

12、，得a2= a1 a5.又a1, a3, a5均不為 0，所以a1, a3,空成等比數(shù)列. 依題意 an= 2 + (n 1) x ( 1) = 3 n, 于是bn= bn bn 1 數(shù)列 bn是公比為 2 的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為 bn= 2n3. 由得04= a3 + a5 a3 a5 ，所以 a4= 2a3 a5 a3 + a5 a1 + a3 2a3 a5 a3+ a5 =2. 將代入，得 課祈層級訓(xùn)練步步提升桂力 10 層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1. 2+3 和 2- 3 的等比中項(xiàng)是（ ） A. 1 B.- 1 C. 土 1 D . 2 解析：選 C 設(shè) 2+ 3 和 2 3 的等比中項(xiàng)為

13、 G 則 （2 + 3）（2 3） = 1, G= 1. 2. 在首項(xiàng)a1= 1，公比q = 2 的等比數(shù)列an中，當(dāng)an= 64 時(shí)，項(xiàng)數(shù)n等于（ ） A. 4 B . 5 C. 6 解析：選 D 因?yàn)閍n= aq 1,所以 1X2 1 = 64,即 2 1 = 26,得n 1 = 6,解得n= 7. 3. 設(shè)等差數(shù)列an的公差d不為 0,a1 = 9d,若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k等于（ ） A. 2 B . 4 C. 6 D. 8 解析：選 B /an = (n+ 8)d，又T a= a 血， ( k+ 8) d 2= 9d - (2 k+ 8) d, 解得k= 2(舍去)或k=

14、4. 4.等比數(shù)列an的公比為q,且| q|豐1, a = 1,若am= a a2 a3 a4 a5， 貝U m等 于（ ) A. 9 B . 10 C. 11 D . 12 解析：選 C / a1 a2 a3 2 a4 a5 = a1 aq aq 3 4 5 10 10 m aq aq = a1 q = q , am= ai q 1 m 1 =q ， 10 m 1 . _ . . q = q , 10 = m- 1, m= 11. 5.等比數(shù)列an中，|a| = 1, as= 8a2, asa2,貝U an等于( ) n 1 n 1、 A. ( 2) B . ( 2 ) C ( 2)n D

15、. ( 2) 解析：選 A 設(shè)公比為q,則ag4= 8aq, 3 又 a“0, qz0,所以 q = 8, q= 2, 又 a5a2,所以 a2v0, a50, n _ 1 從而 a1 0,即 a1= 1,故 an= ( 2). 6.等比數(shù)列 an中，a1 = 2, a3= 8，貝U an= _ 11 a? 2 2 8 解析： a；=qq = h=4, 即 q=2.12 當(dāng) q = 2 時(shí)，an = aiq = 2 x( 2) = ( 2)； 當(dāng) q = 2 時(shí)，an= aqn 1 = 2x2 1= 2. 答案：(一 2)n或一 2n 1 a$+ a9 7已知等比數(shù)列 g的各項(xiàng)均為正數(shù)，且孑它

16、3細(xì)成等差數(shù)列，則a6+ = - 解析：由題設(shè)ai, 2a3,2a2成等差數(shù)列可得 ai+ 2& = a3，即q2 2q 1 = 0,所以q= ：2 + a8+ a9 a8 1 + q ae+ a7= ae 1 + q 答案：3 + 2 2 &已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為 512,如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去 2,則此時(shí)的 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則原來的三個(gè)數(shù)的和等于 _ . 解析：依題意設(shè)原來的三個(gè)數(shù)依次為 a q, a, aq. M a a aq= 512, a= 8. q 又第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去 a q 2 + (aq2) = 2a, 2 1 - 2q 5q+ 2= 0,

17、 q= 2 或 q =刁 原來的三個(gè)數(shù)為 4,8,16 或 16,8,4. / 4+ 8+ 16= 16+ 8+ 4= 28, 原來的三個(gè)數(shù)的和等于 28. 答案：28 9.在四個(gè)正數(shù)中，前三個(gè)成等差數(shù)列，和為 48,后三個(gè)成等比數(shù)列，積為 8 000，求 這四個(gè)數(shù). 解：設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為 a d, a, a+ d,則有 (a d) + a+ ( a+ d) = 48,即 a= 16. b 設(shè)后三個(gè)數(shù)分別為q, b, bq,則有 b 3 q b bq= b = 8 000 , 即卩 b= 20, 這四個(gè)數(shù)分別為 m,16,20 , n, 202 m= 2x 16 20= 12, n=花花=25

18、. 即所求的四個(gè)數(shù)分別為 12,16,20,25.1, =q2 = 3+ 2 2. 2 后的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列, 4 13 5 5X 243 1 1 + 2a6= 5x3 ,二 a6= 2 = 607. 4. 如圖給出了一個(gè)“三角形數(shù)陣”.已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行 數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等, 1 1 2 410.已知遞增的等比數(shù)列an滿足a2 + a3+ a4= 28,且a3 + 2 是a?和a4的等差中項(xiàng)，求 an. 解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.依題意，知 2(a3+ 2) = a?+ a4, 二 a2 + a3 + a4 = 3a3 + 4 = 28, a3

19、= 8, a+ a= 20, 8 i q+ 8q= 20,解得 q= 2 或 q=空(舍去). 層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1設(shè) a1, a2, 2a1 + a2 a3, a4成等比數(shù)列，其公比為 2,則 2空+ a的值為（ ） 1 A.- 4 1 B. 1 C.8 解析: 選 A 原式= 2a1 + a2 2 q 2a1+ a2 2. 1 在等比數(shù)列an中，已知a1 = 3, a5 = 3,貝U a3=( A. C. D . 3 解析：選 A 由 a5= a1 q4 = 3,所以 q4 = 9,得 q = 3, 2 1 a3= a1 q = 3 x 3= 1. 3 3. 設(shè) a1 = 2, 數(shù)列1

20、+ 2an是公比為 3 的等比數(shù)a6等于（ ） A. 607.5 B . 608 C. 607 D . 159 解析：選 C 1 + 2an = (1 + 2a X3 n 1 14 4, 8，16 記第i行第j列的數(shù)為aj （i , j N），則a53的值為（ B.8 D.5 A A A 1 S 解析：選 C 第一列構(gòu)成首項(xiàng)為：，公差為二的等差數(shù)列，所以 a5i = - + （5 1） x -=-. 4 4 4 4 4 又因?yàn)閺牡谌衅鹈恳恍袛?shù)成等比數(shù)列， 而且每一行的公比都相等，所以第 5 行構(gòu)成首項(xiàng)為 5 - 5 1 c 5 4 公比為 2 的等比數(shù)列，所以 a53 = 5x 2 2=活

21、5若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且an= 2S 3，則的通項(xiàng)公式是 _ . 解析：由 an= 2Sn 3 得 an-1 = 2Si-1 3（ n2），兩式相減得 an an-1 = 2an（ n2）, an -an = an1(n2), = 1(n2). an 1 故an是公比為1 的等比數(shù)列, 令 n = 1 得 a1= 2a1 3,. a1= 3,故 an = 3 ( 1)n 1 答案：an= 3 ( 6.在等差數(shù)列an中，a1 = 2, a3= 6，若將 a, a4, a5都加上同一個(gè)數(shù)，所得的三個(gè)數(shù) 依次成等比數(shù)列，則所加的這個(gè)數(shù)為 解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,所求的數(shù)為 m a1=

22、2, 則 . d = 2,. a3= a1+ 2d= 6, a4= 8, a5= 10,T a1+ rq a4 + a5+ m成等比數(shù)列，二 2 m = (2 + m(1o + m，解得 m= 11. 2 (a4 + m) = (a1+ a5 + m)，即(8 + 答案：11 7.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 2 &，求證：數(shù)列 an是等比數(shù)列. 證明：.Sn= 2 ai，S+ 1 = 2 an + 1. -an + 1 = S + 1 Si= (2 an + 1) (2 an) = an an+ 1. 1 an + 1 = ?an. 又S = 2 a1, a1 = 1 工 0. 又由

23、 an+ 1 = 知 anM 0, 15 an + 1 1 石=2. 數(shù)列an是等比數(shù)列. IY 屁耳童踵 &已知數(shù)列an是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a2= 9, a4 = 81. (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an； 若bn= log 3an，求證：數(shù)列 bn是等差數(shù)列. 解：(1)求數(shù)列an的公比為q, 2 a4 81 T a2 = 9, a4= 81.貝U q =石=9, a2 9 又T an0,. q0,. q= 3, 故通項(xiàng)公式 an = a2qn_2= 9X3 n_2= 3n, nN*. (2) 證明：由(1)知 an = 3 , bn= log 3an= log 33 =

24、n, bn+1- bn= (n+1) n= 1(常數(shù))，n N,故數(shù)列bn是一個(gè)公差等于 1 的等差數(shù)列. 第二課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì) 諛前自卞寧習(xí)，第私才雄樓商 預(yù)習(xí)課本 P53 練習(xí)第 3、4 題，思考并完成以下問題 等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)是什么？ 新知初探 等比數(shù)列的性質(zhì) (1) 若數(shù)列an , bn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列， 則 an bn 也是等比數(shù)列.特別地， 若 an 是等比數(shù)列，c是不等于 0 的常數(shù)，則c an也是等比數(shù)列. (2) 在等比數(shù)列an中，若 n+ n= p + q,貝U anan= ap. (3) 數(shù)列an是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等，且等于首末兩項(xiàng)的積.

25、 (4) 在等比數(shù)列an中，每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得新數(shù)列仍為等比 數(shù)列，公比為qk+1.16 當(dāng)m n, p(m n, p N*)成等差數(shù)列時(shí)，am, an, ap成等比數(shù)列. 小試身手 1. 判斷下列命題是否正確.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“ x”) (1) 有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積 ( ) (2) 當(dāng)q1 時(shí)，an為遞增數(shù)列( ) (3) 當(dāng)q= 1 時(shí)，an為常數(shù)列( ) 解析：(1)正確，根據(jù)等比數(shù)列的定義可以判定該說法正確. (2) 錯(cuò)誤，當(dāng)q1, a10 時(shí)，an才為遞增數(shù)列. (3) 正確，當(dāng)q= 1 時(shí)，數(shù)列中的每一項(xiàng)都相

26、等，所以為常數(shù)列. 答案：(1) V (2) x (3) V 2. 由公比為q的等比數(shù)列a1, a2,依次相鄰兩項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列 a, a2a3, a3a4, 是() A. 等差數(shù)列 B. 以 q 為公比的等比數(shù)列 C. 以 q2為公比的等比數(shù)列 D. 以 2q為公比的等比數(shù)列 解析：選 C 因?yàn)槿?1弘+彳= q2為常數(shù)，所以該數(shù)列為以 q2為公比的等比數(shù)列. anan+1 an 3. 已知等比數(shù)列 an中，a4= 7, a6= 21,則 a8的值為( )A. 35 B. 63 C. 21 ,3 D . 21 :3 解析：選 B /an成等比數(shù)列. a4, a6, a8成等比數(shù)列 又 a4

27、a8 = 4, 2 2 2 - (a4 + a8) = a4 + a8 + 2a4a8 = 41 + 8 = 49, 數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)， -a6 a4 a8，艮卩 a8 21 =63. 4.在等比數(shù)列 an 中， 各項(xiàng)都是正數(shù), 解析： a6ae= a8, a3a5= a4, 2 2 a4 + a8 = 41, a6ae+ a3a5= 41, a4a$= 4，貝U a4 + a$= a4 + a8 = 7. 17 等比數(shù)列的性質(zhì) 典例 (1)在 1 與 100 之間插入n個(gè)正數(shù)，使這n+ 2 個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的 個(gè)數(shù)的積為( ) A. 10n B. n10 C. 100n D . n10

28、0 在等比數(shù)列an中，a3= 16, aia2a3aio= 265，則a?等于 解(1)設(shè)這n+ 2 個(gè)數(shù)為a1,比，an+1, an+2, 則 a2 a3 . an+1= (ai an+2) 2 = (100) 2= 10 . (2)因?yàn)?aa2a3a10= (a3a8)7 = 265，所以 a3a8= 21： 又因?yàn)閍3= 16 = 2，所以a8= 2. 5 因?yàn)閍8= a3 q，所以q= 2. 所以 a?= a8= 256. q 答(1)A (2)256 有關(guān)等比數(shù)列的計(jì)算問題，基本方法是運(yùn)用方程思想列出基本量 a1和q的方程組，先 解出a1和q,然后利用通項(xiàng)公式求解但有時(shí)運(yùn)算稍繁，而利

29、用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，卻簡 便快捷，為了發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，要充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用. 4 3 故 ai+ aio= 3+ a7 q = 7. 活學(xué)活用 1.已知an為等比數(shù)列，a4+ a?= 2, a5a6= 8，貝U a1+ a10=( ) A. 7 B . 5 C. 5 D . 7 解析：選 D 因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列， a4 + a = 2, 所以 a5a6 = a4a7= 8，聯(lián)立 a4a7= 8， a4= 4， a4= 2, 解得 或 a7= 2 a7= 4, 3 1 3 所以 q = 2或 q = 2, 題型一 18 q 2. 已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且 4a2a8= a4,

30、 a2= 1，貝U a6=( ) 典例(1)有四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列， 將這四個(gè)數(shù)分別減去 1,1,4,13 成等差數(shù)列，則這四 個(gè)數(shù)的和是 _ . (2)有四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為 216,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列， 且它們之和為 12，求這四個(gè)數(shù). 解析(1)設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為 a, aq, aq2, aq3，則 a 1, aq 1, aq2 4, aq3 13 成 等差數(shù)列即 2 2 aq 1 = a 1 + aq 4 , 2 3 2 aq 4 = aq 1 + aq 13 , 2 a q 1 = 3, 整理得 2 解得a= 3, q= 2.因此這四個(gè)數(shù)分別是 3,6,12,24，

31、其和 aq q 1 = 6, 為 45. 答案45 (2)解：法一：設(shè)前三個(gè)數(shù)為 a, a, aq, q “a 則- a aq= 216, q 所以a3= 216.所以a= 6. 因此前三個(gè)數(shù)為6, 6,6 q. q 由題意知第 4 個(gè)數(shù)為 12q 6. 2 所以 6+ 6q+ 12q 6= 12,解得 q= 3. 故所求的四個(gè)數(shù)為 9,6,4,2. 1 1 A.- B. 8 16 1 1 C D. 64 32 解析：選 B 由 4a2a8= a4,得 4a；= a4, q= 1 . 4 1 _2，a6= a2q = 16 甌型二 靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問題 19 1 2 1 2 法二：設(shè)后三個(gè)

32、數(shù)為 4 d,4,4 + d,則第一個(gè)數(shù)為-(4 d)，由題意知-(4 d) X (4 20 d) x4= 216,解得 4 d= 6.所以d= 2.故所求得的四個(gè)數(shù)為 9,6,4,2. 幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法 a (1)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為 -，a，aq. q 推廣到一般：奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為： a a 2 2, , a, aq, aq 四個(gè)符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為: q，aq, aq. M 推廣到一般：偶數(shù)個(gè)符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為: a a a 35 q5, q3, q, aq, aq , aq 四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號相同時(shí)，可設(shè)為: 2 3 a, aq, aq ,

33、aq. 活學(xué)活用 在 2 和 20 之間插入兩個(gè)數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入的 兩個(gè)數(shù)的和為( ) A. B . 4 或 35 C. 4 72 2 解析：選 B 設(shè)插入的第一個(gè)數(shù)為 a,則插入的另一個(gè)數(shù)為 |. 2 2 a a 由a, , 20 成等差數(shù)列得 2x = a+20. 2 a a20 = 0,解得 a= 4 或 a = 5. 2 a 當(dāng)a= 4 時(shí)，插入的兩個(gè)數(shù)的和為 a+ - = 4. 當(dāng)a = 5 時(shí)，插入的兩個(gè)數(shù)的和為 a2 35 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題 a+ 2= 2 典例某工廠 2016 年 1 月的生產(chǎn)總值為a萬元，計(jì)劃從 2016 年 2 月起

34、，每月生產(chǎn)總 值比上一個(gè)月增長 r%那么到 2017 年 8 月底該廠的生產(chǎn)總值為多少萬元？ 21 解設(shè)從 2016 年 1 月開始，第n個(gè)月該廠的生產(chǎn)總值是 an萬元，貝y an+1 = an+ a.n% . _ n 1 數(shù)列an是首項(xiàng)a1 = a,公比q= 1+ n%的等比數(shù)列.二 &= a(1 + n%). 2017 年 8 月底該廠的生產(chǎn)總值為 a20= a(1 + n%)201= a(1 + n%)19(萬元). CDOO 數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題常與現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)際中的具體事件相聯(lián)系， 建立數(shù)學(xué)模型是解決這 類問題的核心，常用的方法有：構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型，然后用數(shù)列的通項(xiàng)公式

35、或求 和公式解；通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解. 活學(xué)活用 如圖，在等腰直角三角形 ABC中，斜邊 BC= 2/2.過點(diǎn)A 作BC的垂線，垂足為 A ;過點(diǎn) A作AC的垂線，垂足為 A;過 點(diǎn)A作AC的垂線，垂足為 A ;，依此類推.設(shè) BA= a1 , AA =a2 , AA2= a3， AA = a7，貝V a7= _. 解析：等腰直角三角形 ABC中,斜邊BC= 2,2 所以AB= AC= a1= 2, AA= a2= ,：2, an=*an= 2X *n，故 a7 = 2x 乎 答案：4 1.等比數(shù)列x, 3x+ 3,6 x+ 6，的第四項(xiàng)等于（ ） A. 24 B. 0 C. 1

36、2 D. 24 解析：選 A 由題意知（3x + 3） = x（6x + 6），即x + 4x + 3= 0，解得x = 3 或x= 1（舍 去），所以等比數(shù)列的前 3 項(xiàng)是一 3, 6, 12,則第四項(xiàng)為一 24. 2對任意等比數(shù)列an，下列說法一定正確的是 （ ） A. a1, a3, a9成等比數(shù)列 B . a2, a3, a6成等比數(shù)列 C. a2,a4, as成等比數(shù)列 D. a3, a6, a9成等比數(shù)列 . a6 a9 3 an + 1 an =1 + m%. n A1An= an+1=sin7 22 解析：選 D 設(shè)等比數(shù)列的公比為 q,因?yàn)橐?一=q, a3 a623 2 即

37、a6= asa9，所以a3, st, a9成等比數(shù)列.故選 D. a5 3. 在正項(xiàng)等比數(shù)列 an中，an+ 1+ 2)( x2 nx+ 2) = 0 的四個(gè)根組成以 2 為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則 3 2 B. 2 或 3 D .以上都不對 2 2 _ 解析：選 B 設(shè)a,b,c,d是方程(x mx+ 2)( x nx+2) = 0 的四個(gè)根，不妨設(shè)acdb, 1 則a b= c d= 2， a= ，故b= 4，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到 c = 1，d= 2，貝U m= a+ b 9 9 m 3 2 =-，n= c+ d= 3，或 m= c+d= 3， n = a+ b= ;，卩一=;或；，故選

38、B. 2 2 n 2 3 5. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，lg( a3a8a13) = 6,則 a1 a15 的值為( )A. 100 B . 100 C 10 000 D . 10 000 解析選 C - a3a8a13= a8， lg( a3a8a13)= lg a8 = 3lg a8= 6. - - a8= 100.又 a1a15= a8 = 10 000，故選 C. 6在 3 和一個(gè)未知數(shù)間填上一個(gè)數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項(xiàng)減去 6,成等比數(shù) 列，則此未知數(shù)是 _ . 2a = 3 + b, 解析：設(shè)此三數(shù)為 3, a, b,則 2 a 6 = 3b, a= 3, a=

39、15, 解得 或 所以這個(gè)未知數(shù)為 3 或 27. A.5 解析：選 D 設(shè)公比為q,則由等比數(shù)列 an各項(xiàng)為正數(shù)且 an+ ian 知 0q1 的等比數(shù)列，若 a4, a5是方程 4x2 8x + 3= 0 的兩根，貝U a6 + a7= _ 1 3 a5 解析：由題意得a4= 2，a5=2q=04=3. 答案：18 &畫一個(gè)邊長為 2 厘米的正方形，再以這個(gè)正方形的對角線為邊畫第 2 個(gè)正方形，以 第 2 個(gè)正方形的對角線為邊畫第 3 個(gè)正方形，這樣一共畫了 10 個(gè)正方形，則第 10 個(gè)正方形 的面積等于 _ 平方厘米. 解析：這 10 個(gè)正方形的邊長構(gòu)成以 2 為首項(xiàng)， 2 為

40、公比的等比數(shù)列an(1 1 的等比數(shù)列，若 a2 015和比016是方程 4x2 8x+ 3 = 0 的兩根，則 a2 017 + a2 018 的值是 解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為 q. 2 a2 015和a2 016是方程 4x - 8x + 3= 0 的兩個(gè)根, 3 a2 015 + a2 016 = 2, a2 015 a2 016 =匚， 4 2 故由得, 2 2 1 + q 2_= 16 -q = 3=亍 4 又因?yàn)閝1，解得q= 3, 所以a2 017 + a2 018 = a2 015 q2 + a2 015 q . 2 2 =a2 015(1 + q) q = 2x3 = 18. 答案：18 6. 已知一 7, a1, a2, 1 四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，一 4, b1, b2, b3, 1 五個(gè)實(shí)數(shù)成等比 a a1 數(shù)列，則T- b2 1 7 2 a2 a1= 3 = 2