指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)(有詳細(xì)知識(shí)點(diǎn)和習(xí)題詳-解)--補(bǔ)課

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)第六講指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)都是基本初等函數(shù)，是高中必須掌握的， 在高考中， 主要是考查基礎(chǔ)知識(shí)。要求掌握擴(kuò)充后指數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。一、指數(shù)的性質(zhì)（一）整數(shù)指數(shù)冪1整數(shù)指數(shù)冪概念：annaaaa個(gè))(nn010aa10,nnaanna2整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）,mnm naaam nz（2）,nmmnaam nz（3）nnnababnz其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb3a的n次方根的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)的n次方等于annn, 1，那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根，即：若axn，則x叫做a的n次方根

2、，nnn, 1例如： 27 的 3 次方根3273，27的 3 次方根3273，32 的 5 次方根2325，32的 5 次方根2325說明：若n是奇數(shù)，則a的n次方根記作na； 若0a則0na，若oa則0na；若n是偶數(shù)，且0a則a的正的n次方根記作na，a的負(fù)的n次方根，記作：na；（例如：8 的平方根22816 的 4 次方根2164）若n是偶數(shù)，且0a則na沒意義，即負(fù)數(shù)沒有偶次方根；nnnn, 10000n；式子na叫根式，n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù)。nnaa4a的n次方根的性質(zhì)一般地，若n是奇數(shù)，則aann；若n是偶數(shù)，則00aaaaaann5例題分析：例計(jì)算：407407解：407

3、40752)25()25(22（二）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：10510250aaaa12312430aaaa即當(dāng)根式的被開方數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式；名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)冪的運(yùn)算性質(zhì)nmmnaa對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也適用，例如：若0a，則3223233aaa，4554544aaa， 2323aa4545aa規(guī)定： （1）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是0,1mnmnaaam nnn；（2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是110,1mnmnmnaam nnnaa2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也同樣適用，即：10, ,rsrsa aaar sq20, ,srrsaaa

4、r sq30,0,rrraba babrq說明： （1）有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用；（2） 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒意義。3例題分析：【例 1】用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，a a. 解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；a a=1113322224a aaa 【例 2】計(jì)算下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）（1）211511336622263a ba ba b；（2）83184m n；解（ 1）211511336622263a ba ba b（2）83184m n=883184mn=2233mm

5、nn=211115326236263ab=044aba；例 3計(jì)算下列各式：（1）3451255（2）2320aaaa解： （1）3451255=231324555=213134245555（2）232aaa=526562132aaaa a=5512455=512455 5；名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)【例 3】已知13xx，求下列各式的值： （1）1122xx； （2）3322xx.解： （1）11222()xx1111222222()2()xx xx112xx325，11225xx，又由13xx得0 x，11220 xx，所以11225xx.（2） （法一）3322xx113322)()xx（111

6、11122222222()()() xxxx xx11122()()1xxxx5(31)2 5，（法二）33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()()3xxxx23(33)1833222()20 xx，又由130 xx得0 x，33220 xx，所以3322202 5xx. 二、指數(shù)函數(shù)1指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)xya（0a且1a）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a叫底數(shù)，函數(shù)定義域是r2指數(shù)函數(shù)xya在底數(shù)1a及01a這兩種情況下的圖象和性質(zhì)：1a01a圖象性質(zhì)（1）定義域：r（2）值域：(0,)（3）過定點(diǎn)(0,1)，

7、即0 x時(shí)1y（4）在r上是增函數(shù)（ 4）在r上是減函數(shù)名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)【例 1】求下列函數(shù)的定義域、值域：（1）1218xy（2）11( )2xy（3）3xy（4）1(0,1)1xxayaaa解： （1）210 x12x原函數(shù)的定義域是1,2x xr x，令121tx則0,ttr8 (,0)tytr t得0,1yy，所以，原函數(shù)的值域是0,1y yy（2）11( )02x0 x原函數(shù)的定義域是0,，令11( )2xt(0)x則01t，yt在0,1是增函數(shù)01y，所以，原函數(shù)的值域是0,1（3）原函數(shù)的定義域是r，令tx則0t，3ty在,0是增函數(shù)，01y，所以，原函數(shù)的值域是0,1（4）原

8、函數(shù)的定義域是r，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0 xa101yy，11y，所以，原函數(shù)的值域是1,1說明：求復(fù)合函數(shù)的值域通過換元可轉(zhuǎn)換為求簡(jiǎn)單函數(shù)的值域。【例 2】當(dāng)1a時(shí)，證明函數(shù)11xxaya是奇函數(shù)。證明：由10 xa得，0 x，故函數(shù)定義域0 x x關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa( )f x()( )fxfx所以，函數(shù)11xxaya是奇函數(shù)。名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)三、對(duì)數(shù)的性質(zhì)1對(duì)數(shù)定義：一般地，如果a（10aa且）的b次冪等于n, 就是nab，那么數(shù)b 叫做 a 為底n的對(duì)數(shù)，記作bnalog，a 叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，n 叫做真

9、數(shù)。即ban，loganb。anb指數(shù)式nab底數(shù)冪指數(shù)對(duì)數(shù)式bnalog對(duì)數(shù)的底數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)說明： 1在指數(shù)式中冪n 0，在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)n 0 （負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)）2對(duì)任意0a且1a, 都有01alog 10a，同樣：log1aa3如果把ban中的b寫成logan， 則有l(wèi)oganan（對(duì)數(shù)恒等式） 2對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互換例如：2416，4log 162；210100，10log1002；1242，41log 22；2100.01，10log0.012?！纠?1】將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：（1）4525；（2）61264；（ 3）327a；（4）15.373m解： （1）5log 6254；（

10、2）21log664； （ 3）3log 27a；（4）13log 5.37m3介紹兩種常見的對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)：以10 作底10logn簡(jiǎn)寫成lg n；自然對(duì)數(shù)：以e作底為無理數(shù)，e= 2.71828，logen簡(jiǎn)寫成ln n【例 2】 （1）計(jì)算：9log 27，345log625解：設(shè)x9log 27則927x，2333x, 32x；令x3 45log625，345625x, 44355x, 5x（2）求x 的值：33log4x；2221log3211xxx解：3441327x；22232121200,2xxxxxxx但必須：2222102113210 xxxx，0 x舍去，從而2x（3）求

11、底數(shù)：3log 35x，7log 28x解：3535353(3)x533x；名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)77888722x, 2x4對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a 0 ， a 1， m 0 ， n 0，那么（1）log ()loglogaaamnmn；（2）loglog-logaaammnn；（3）loglog()naamnm nr【例 3】計(jì)算：（1）lg1421g18lg7lg37；（ 2）9lg243lg；（3）2 .1lg10lg38lg27lg解： （1）解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20

12、；解法二：18lg7lg37lg214lg27lg14lg( )lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2 .1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3 )lg 23lg10323 2lg32lg 2 12lg105換底公式：logloglogmamnna( a 0 , a 1 ；0,1mm) 證明：設(shè)loganx，則xan，兩邊取以m為底的對(duì)數(shù)得：loglogxmman，loglogmmxan，從而得：anxmmloglog，annmmalogloglog說明：兩個(gè)較為常用的

13、推論：（1）loglog1abba；（ 2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不為 1） 證明： （1）1lglglglgloglogbaababba；名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam【例 4】計(jì)算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32解： （1）原式= 0.251log3log3555151553；（2） 原式= 2345412log452log213log21232【例 5】已知18log9a，185b，求36log45（用a, b 表示）解：18log9a，a2log1218log1818，

14、18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36log45log45log181818181836【例 6】設(shè)1643tzyx，求證：yxz2111證明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11四、對(duì)數(shù)函數(shù)1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)xyalog) 10(aa且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。2對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域、值域：對(duì)數(shù)函數(shù)xyalog)10(aa且的定義域?yàn)?,0(，值域?yàn)?,(（2）圖象：由于對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象只須由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象作關(guān)于xy的對(duì)稱圖

15、形，即可獲得。同樣：也分1a與10 a兩種情況歸納，以xy2log（圖 1）與xy21log（圖 2）為例。1 1 2xy2logyxyx（圖 1）1 1 1( )2xy12logyxyx（圖 2）名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（3）對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)列表：圖象1a01a性質(zhì)（1）定義域：(0,)（2）值域：r（3）過點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)1x時(shí)，0y（4）在（ 0，+）上是增函數(shù)（4）在(0,)上是減函數(shù)【例 1】求下列函數(shù)的定義域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya分析：此題主要利用對(duì)數(shù)函數(shù)xyalog的定義域(0,)求解。解： （1）由2x0 得0 x，函數(shù)2logxy

16、a的定義域是0 x x；（2）由04x得4x，函數(shù))4(logxya的定義域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函數(shù))9(log2xya的定義域是33xx【例 2】比較下列比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小：（1）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（2）5log 3，6log 3，7log 3解：（1）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.81.1log0.9（2）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3【例 3】求下列函數(shù)的值域：

17、（ 1）2log (3)yx； （2）22log (3)yx解： （1）令3tx，則2logyt，0t， yr，即函數(shù)值域?yàn)閞（2）令23tx，則03t，2log 3y， 即函數(shù)值域?yàn)?(,log 3【例 4】判斷函數(shù)22( )log (1)f xxx的奇偶性。解：21xx恒成立，故( )f x的定義域?yàn)?,)，22()log (1)fxxx(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x，所以，( )f x為奇函數(shù)?！纠?5】求函數(shù)2132log (32)yxx的單調(diào)區(qū)間。解：令223132(

18、)24uxxx在3,)2上遞增，在3(,2上遞減，又2320 xx，2x或1x，故232uxx在(2,)上遞增，在(,1)上遞減，又132logyu為減函數(shù)，所以，函數(shù)2132log (32)yxx在(2,)上遞增，在(,1)上遞減。名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)課堂練習(xí)題（1）1、填空：（3）31mmxx； （4）35()()yy；（5）23()()abab； （6）43( 2) ( 2)( 2)；2、 （ 1）若23maaa，則m； （2）若26naaa，則n；（3）若3ma，3nb，用,a b表示3m n，233mn；（2）（3）2()ma； （4）43()x；（5）32()ab； （ 6）3(2

19、)a；（7）3( 5 )b； （ 8）22()xy；（9）34( 2)x； （10）23(3)ab；2、判斷下列式子是否正確，若不對(duì)，請(qǐng)糾正：(1)22()mmaa；（2）22()mmaa；（3）mnm naaa；（4）mnmnaaa. 課后鞏固提高1、下列計(jì)算正確的是（）a.336xxxb.43xxxc.5510()xxd.235()x yxy2、8127 可以記為（）a.39b.63c.73d.1233、5a可以等于（）a.23()()aab.4() ()aac.23()aad.32() ()aa4、計(jì)算232()bb的結(jié)果是（）a.8bb.11bc.8bd.11b5、在等式2310()a

20、aa中，括號(hào)內(nèi)的代數(shù)式應(yīng)當(dāng)是（）名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)a.4ab.5ac.6ad.7a6、若n是正整數(shù)，當(dāng)1a時(shí)，221()nna等于（）a.1 b.1 c.0 d.1 或 1 7、計(jì)算2113()nnxxx的結(jié)果為 ( ) a.33nxb.36nxc.nx12d.66nx8、63()a，243()a，2 3(2)ab. 9、已知2ma3na，則m na；已知342xx，則 x= . 10、計(jì)算：（1）42x； （2）32yx； （ 3）432aa；11、下列各式中，正確的是（）a.448mmmb.55252mmmc.339mmmd.66yy122y12、下列各式中錯(cuò)誤的是( ) a.623yxy

21、xb. (22a)4=816ac.363227131nmnmd.33abba3613、已知 n 是大于 1 的自然數(shù) , 則11nncc等于 ( ) a.12ncb.nc2c.2ncd.nc214、下列運(yùn)算中與44aa結(jié)果相同的是 ( ) a.28aab.42ac.44ad.4422aa15、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算(1)5 .1)32(2000199919991 (2) 111111791( 1)91616、已知3 927mm163, 求 m 的值 .名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)17、若229216(2 )n，解關(guān)于x的方程42nx.18、若52m，62n，求nm 22的值2指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)1、將 b 寫成

22、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：（1）34b；（2）25b；（3）24mnb. 2、將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫成根式的形式：（1）128；（2）1327；（3）324；（4）23125. 3、將根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：（1）32x；（2）31x；（3）34()ab； （ 4）322mn. 4、計(jì)算：名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（1）12100；（2）2364；（3）329；（4）1481 . 5、已知103，104，求10，10，210，510. 6、已知11223aa，求1aa，22aa. 3指數(shù)函數(shù)1、已知01mn，則指數(shù)函數(shù)1.xmy，2.xny的圖像為（）2、如圖是指數(shù)xxxxdycybyay,函數(shù)的圖像則dcba,的

23、關(guān)系是（）a.dcba1b.cdab1c. dcba1d.cdba13、已知0ba，則2 ,2,3aba的大小關(guān)系是（）a223abab232baac223baad232aab4、若aaaqpsa2 .0,2,2,01，則下列選項(xiàng)成立的是（）第 2 題名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)a.qpsb.sqpc.spqd.pqs5、設(shè)1.50.90.4812314,8,2yyy，則（）a.312yyyb.213yyyc.132yyyd.123yyy6、若xx310932，那么12x的值為（）a.1 b.2 c.5 d.1 或 5 7、已知8. 08. 09.08 .0,9.0,8.0cba則, ,a b c的大小

24、關(guān)系為 .8、解方程232 330 xx. 4.1 對(duì)數(shù)及其運(yùn)算1、把下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：（1）328（2）1122（3）31273（4）1( )5.733m2、把下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式：（1）3log 92（ 2）5log 1253（3）21log24（4）31log4813、求下列各式中x 的值：（1）642log3x（2）log 86x（3）lg100 x（4）2ln ex4、求下列各式的值：（1）5log 125（2）21log16（3）lg1000（4）lg 0.001名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（5）15log15（6）0.4log1（7）2log42（8）lg105105、基礎(chǔ)練習(xí)（1）l

25、g 2lg5（ 2）33log 18log 26、加強(qiáng)鞏固（ 1）315151515212loglog20log4og（2）lg 2lg 5lg8lg 50lg 40（ 3）71 142lglg 7lg183g（4）lg 4lg512lg 0.5lg8（ 5）2lg 2lg 2 lg5lg5（6）log2lg351010log 17、已知2logax，2logby，2logcz，請(qǐng)分別用, ,a b c表示式子22log ()x y，22log (9)xy，22log3x yz.名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)4.2換底公式1、求下列各式的值：(1) 13log27（2）9log 27（3）116log64

26、（4）lg 243lg9（5）89log 9 log 32（6）932log 16 log812、加強(qiáng)鞏固4log 1329(1)log2log 2744839(2)(log3log 3)(log2log 2)3、綜合應(yīng)用（1）設(shè)lg2a,lg3b，試用a、 b 表示6lg2，3log 4，5log 12. 名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（ 2）已知3436xy求21xy. 5 對(duì)數(shù)函數(shù)1、求下列函數(shù)的定義域：(1)2log (1)yx；（2）21log1yx；(3)3log1yx；（ 4）2logyx. 2、求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)2logyx；（2）12logyx；(3)3xy；（4）2yx；(5)

27、2log (1)yx；（6）25xy. 3、比較各題中各數(shù)的大小：(1)2log 3，2log 5；（2）0.2log2，0.2log0.1；(3) 2log 3，3log 2；（4）log 2a，log 3 (0,1)aaa. 名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)4、已知函數(shù)222,1( )log,1xxf xx x，則(2)ff. 5、已知函數(shù)1222,1( )log (1),1xxf xxx，且( )3f a，則(6)fa . 第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單元測(cè)試卷滿分 150 分，考試時(shí)間120 分鐘一、選擇題（每小題6 分，共 60 分 ）1已知 x，y 為正實(shí)數(shù)，則() alglglglg222xyxyblg()lglg222xyxyclglglglg222xyxydlg()lglg222xyxy2若函數(shù)yf(x)是函數(shù) yax(a0，a1)的反函數(shù)且f(2)1，則 f(x)() a12xb22xc12logxd2logx3已知3( )logf xx，則函數(shù)yf(x 1)在區(qū)間 2,8上的最大值與最小值分別為() a 2與 1 b3 與 1 c9 與 3 d8 與 3 4