數(shù)列知識點和常用的解題方法歸納

1、優(yōu)秀教案歡迎下載數(shù)列知識點和常用的解題方法歸納一、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定 義 ：為 常 數(shù)，aad daandnnn111()等差中項：， 成等差數(shù)列xayaxy2前 項和nsaannan ndnn11212性質(zhì)：是等差數(shù)列an（ ）若，則；1mnpqaaaamnpq（） 數(shù) 列，仍 為 等 差 數(shù) 列 ；2212aak abnnnsssssnnnnn，仍為等差數(shù)列；232（ ）若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為， ，；3adaad（）若，是等差數(shù)列，為前項和，則；42121abstnabstnnnnmmmm（ ）為等差數(shù)列（ ， 為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項為52asanbnabnnn0 的二次函數(shù)）ss

2、anbnannn的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負分界2項，即：當，解不等式組可得達到最大值時的值。adaasnnnn110000當，由可得達到最小值時的值。adaasnnnn110000如：等差數(shù)列，則asaaasnnnnnn1831123（由，aaaaannnnn12113331又，saaaa31322233113saanaannnnn12122131218n27）優(yōu)秀教案歡迎下載二、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：（ 為常數(shù)，），aaqqqaa qnnnn1110等比中項：、 成等比數(shù)列，或xgygxygxy2前 項和：（要注意 ）nsnaqaqqqnn111111()()!性質(zhì)：是

3、等比數(shù)列an（ ）若，則1mnpqaaaamnpq（），仍為等比數(shù)列2232sssssnnnnn三、求數(shù)列通項公式的常用方法1、公式法2、nnas 求由；（時，時，）nasnassnnn121113、求差（商）法如：滿足aaaannnn121212251122解：naa1122151411時，naaannn2121212215212211時，12122得：nna，ann21，annnn141221()()練習數(shù)列滿足，求assaaannnnn111534（注意到代入得：assssnnnnn1114又，是等比數(shù)列，sssnnn144nassnnnn23411時，4、疊乘法例如：數(shù)列中，求aaaa

4、nnannnn1131優(yōu)秀教案歡迎下載解：aaaaaannaannnn213211122311，又，aann1335、等差型遞推公式由，求，用迭加法aaf naaannn110( )naafaafaaf nnn22321321時，兩邊相加，得：( )( )( )aafff nn123( )( )( )aafff nn023( )( )( )練習數(shù)列，求aaaanannnnn111132（）ann12316、等比型遞推公式acad cdccdnn 1010、 為常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)axc axnn 1acacxnn 11令，()cxdxdc11是首項為， 為公比的等比數(shù)列adcadccn1

5、11adcadccnn1111aadccdcnn1111練習數(shù)列滿足，求aaaaannnn11934優(yōu)秀教案歡迎下載（）ann843117、倒數(shù)法例如：，求aaaaannnn11122，由已知得：1221211aaaannnn11121aann，111121aan為等差數(shù)列，公差為11112121annn，ann21三、求數(shù)列前n 項和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 項和公式2、裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。如：是公差為的等差數(shù)列，求ada ankkkn111解：由11111011aaaaddaadkkkkkk11111111a adaakkknkkk

6、n11111111111223111daaaaaadaannn練習求和：111211231123n（，）asnnn2113、錯位相減法：若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列（差比數(shù)列）前項aba bnnnnn和，可由求，其中為的公比。sqssqbnnnn如：sxxxnxnn12341231優(yōu)秀教案歡迎下載xsxxxxnxnxnnn234122341121121：x sxxxnxnnnxsxxnxxnnn11112時，xsnn nn112312時，4、倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。saaaasaaaannnnnn121121相加21211saaaaaannnn 練習已知，

7、則f xxxfffffff( )( )( )( )( )2211212313414（由 f xfxxxxxxxx( )1111111112222222原式fffffff( )( )( )( )121231341412111312）例 1 設(shè)an是等差數(shù)列，若a2=3，a7=13，則數(shù)列 an前 8 項的和為（）a128 b 80 c64 d56 （福建卷第3 題）略解：a2 +a7= a1+a8=16，an 前 8 項的和為64，故應(yīng)選c例 2 已知等比數(shù)列na滿足122336aaaa，則7a（）a 64 b 81 c 128 d243 （全國卷第7 題）答案： a例 3 已知等差數(shù)列na中，

8、26a，515a，若2nnba，則數(shù)列nb的前 5 項和等于（）a30 b45 c 90 d186 （北京卷第7 題）略解： a5-a2=3d=9， d=3 ，b1=26a， b5=a10=30，nb的前 5 項和等于90，優(yōu)秀教案歡迎下載故答案是 c例 4 記等差數(shù)列的前n項和為ns，若244,20ss，則該數(shù)列的公差d（）a2 b3 c 6 d 7 （廣東卷第4 題）略解：422412,3sssdd,故選 b. 例 5 在數(shù)列na中，542nan，212naaaanbn，*nn,其中,a b為常數(shù)，則ab （安徽卷第15 題）答案： 1例 6 在數(shù)列na中，12a，11ln(1)nnaan

9、，則na（）a 2ln n b2(1)lnnnc 2lnnn d1lnnn（江西卷第5 題）答案： a例 7 設(shè)數(shù)列na中，112,1nnaaan，則通項na_ （四川卷第16 題）此題重點考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，抓住11nnaan中1,nnaa系數(shù)相同是找到方法的突破口略解：112,1nnaaan111nnaan，1221nnaan，2331nnaan，3221aa，211 1aa，1211a將以上各式相加，得1232 11nannnn111122nnn nn，故應(yīng)填(1)2n n+1例 8 若(x+12x)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中x4項的系數(shù)為( ) a

10、 6 b 7 c 8 d9 ( 重慶卷第10 題) 答案： b使用選擇題、 填空題形式考查的文科數(shù)列試題，充分考慮到文、 理科考生在能力上的差異，側(cè)重于基礎(chǔ)知識和基本方法的考查，命題設(shè)計時以教材中學習的等差數(shù)列、等比數(shù)列的公式應(yīng)用為主， 如，例 4 以前的例題 例 5 考查考生對于等差數(shù)列作為自變量離散變化的一種特殊函數(shù)的理解；例6、例 7 考查由給出的一般數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式的能力；例 8 則考查二項展開式系數(shù)、等差數(shù)列等概念的綜合運用重慶卷第1 題，浙江卷第4題，陜西卷第4 題，天津卷第4 題，上海卷第14 題，全國卷第19 題等，都是關(guān)于數(shù)列的客觀題，可供大家作為練習例 9

11、已知 an是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點（1,nnaa） （nn* ）在函數(shù)y=x2+1優(yōu)秀教案歡迎下載的圖象上 . ()求數(shù)列 an的通項公式；()若數(shù)列 bn滿足 b1=1，bn+1=bn+2na，求證：bnbn+2b2n+1. （福建卷第20 題）略解： （）由已知，得an+1-an=1，又 a1=1,所以數(shù)列 an是以 1為首項，公差為1 的等差數(shù)列故an=1+( n-1)1=n. ()由 （）知，an=n，從而 bn+1-bn=2n， bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ （b2-b1） +b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1 . bn?bn+2-b21n=(2

12、n-1)(2n+2-1)-(2n+ 1-1)2= -2n 0, bnbn+2b21n對于第（）小題，我們也可以作如下的證明： b2=1,bn bn+2- b21n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b21n=2n+1 bn+1-2n bn+1-2n 2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0，bn-bn+2b2n+1.例 10 在數(shù)列na中，11a，122nnnaa （）設(shè)12nnnab證明：數(shù)列nb是等差數(shù)列； （）求數(shù)列na的前n項和ns （全國卷第19 題）略解： （）1nnbb=1122nnnnaa=12

13、2nnnaa=22nn=1，則nb為等差數(shù)列，11b，nbn，12nnan（）01211 22 2(1) 22nnnsnn，12121 22 2(1) 22nnnsnn兩式相減，得01121 222221nnnnnsnn=(1)21nn對于例 10 第 （）小題，基本的思路不外乎推出后項減前項差相等，即差是一個常數(shù) 可以用迭代法， 但不可由b2-b1=1，b3-b2=1 等有限個的驗證歸納得到nb為等差數(shù)列的結(jié)論，犯“以偏蓋全”的錯誤第（）小題的“等比差數(shù)列”，在高考數(shù)列考題中出現(xiàn)的頻率很高，求和中運用的“錯項相減”的方法，在教材中求等比數(shù)列前n 項和時給出，是“等比差數(shù)列” 求和時最重要的方

14、法一般地，數(shù)學學習中最為重要的內(nèi)容常常并不在結(jié)論本身，而在于獲得這一結(jié)論的路徑給予人們的有益啟示例 9、例 10 是高考數(shù)學試卷中數(shù)列試題的一種常見的重要題型，類似的題目還有浙江卷第 18 題，江蘇卷第19 題，遼寧卷第20 題等，其共同特征就是以等差數(shù)列或等比數(shù)列為依托構(gòu)造新的數(shù)列主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查推理與運算能力考慮到文、理科考生在能力上的差異，與理科試卷側(cè)重于理性思維，命題設(shè)計時以一般數(shù)列為主，以抽象思維和邏輯思維為主的特點不同；文科試卷則側(cè)重于基礎(chǔ)知識和基本方法的考查，以考查具體思維、演繹思維為主例 11 等差數(shù)列na的各項均為正數(shù)，13a，

15、前n項和為ns，nb為等比數(shù)列 , 11b，且2264,b s33960b s( )求na與nb； ()求和：12111nsss （江西卷第19優(yōu)秀教案歡迎下載題）略解： ( )設(shè)na的公差為d，nb的公比為q，依題意有22233(6)64,(93 )960.s bd qs bd q解之，得2,8;dq或6,540.3dq( 舍去，為什么？) 故132(1)21,8nnnannb（）35(nsnnn，1211111111 3243 5(2)nsssn n111111(123243511)2nn1111(1)2212nn32342(1)(2)nnn“裂項相消”是一些特殊數(shù)列求和時常用的方法使用解

16、答題形式考查數(shù)列的試題，其內(nèi)容還往往是一般數(shù)列的內(nèi)容，其方法是研究數(shù)列通項及前n 項和的一般方法，并且往往不單一考查數(shù)列，而是與其他內(nèi)容相綜合，以體現(xiàn)出對解決綜合問題的考查力度數(shù)列綜合題對能力有較高的要求，有一定的難度， 對合理區(qū)分較高能力的考生起到重要的作用例 12 設(shè)數(shù)列na的前n項和為22nnnsa，（） 求14,a a；（） 證明：12nnaa是等比數(shù)列； （）求na的通項公式 （四川卷第21 題）略 解 ： （ ） 1111,22asas， 所 以112,2as 由22nnnas知 ，11122nnnas112nnnas得，112nnnas222122226,8ass，3332328

17、216,24ass，443240as（）由題設(shè)和式知，11222nnnnnnaass122nn2n，12nnaa是首項為2，公比為2 的等比數(shù)列（）21112211222222nnnnnnnaaaaaaaa112nn此題重點考查數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求數(shù)列的特定項，通項公式等 推移腳標，兩式相減是解決含有ns的遞推公式的重要手段，使其轉(zhuǎn)化為不含ns的遞推公式，從而有針優(yōu)秀教案歡迎下載對性地解決問題在由遞推公式求通項公式時，首項是否可以被吸收是易錯點同時，還應(yīng)注意到題目設(shè)問的層層深入，前一問常為解決后一問的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，為求解下一問指明方向例 13 數(shù)列na滿足, 2,021aa222(1 c

18、os)4sin,1,2,3,22nnnnaan（ i ） 求43,aa， 并 求 數(shù) 列na的 通 項 公 式 ；（ ii ） 設(shè)1321kksaaa，242kktaaa，2(2kkkswkt)n， 求使1kw的所有 k 的值， 并說明理由 （ 湖南卷第 20 題）略解： （ i）22311(1 cos)4sin44,22aaa22422(1cos)4sin24,aaa一般地 , 當21()nkkn=時，22212121(21)(21)1cos4sin4,22kkkkkaaa即21214.kkaa所 以 數(shù) 列21ka是 首 項 為0、 公 差 為4 的 等 差 數(shù) 列 ， 因 此214(1).kak當2 ()nk kn=時，22222222(1 cos)4sin2,22kkkkkaaa所以數(shù)列2ka是首項為2 、 公 比 為