高中政治 第1課 生活在人民當家作主的國家 第2框 政治權利與義務參與政治生活的基礎課件 新人教版必修2 (1303)

1、2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標準方程主題主題1 1雙曲線的定義雙曲線的定義1.1.取一條拉鏈取一條拉鏈, ,拉開一部分拉開一部分, ,然后固定拉后的兩邊然后固定拉后的兩邊, ,讓一讓一邊長另一邊短邊長另一邊短, ,用筆尖放在拉鏈處用筆尖放在拉鏈處, ,隨著拉鏈拉開的過隨著拉鏈拉開的過程程, ,筆尖畫出的是什么曲線筆尖畫出的是什么曲線? ?提示提示: :是兩支曲線是兩支曲線, ,若左邊短右邊長若左邊短右邊長, ,畫出的是左支畫出的是左支, ,若若右邊短左邊長右邊短左邊長, ,畫出的是右支畫出的是右支. .2.2.在畫出雙支曲線在畫出雙支曲線( (雙曲線雙曲線) )的過程中有哪些不變的量的過程

2、中有哪些不變的量? ?提示提示: :兩邊的長度差不變兩邊的長度差不變, ,即動點到兩定點的距離差不即動點到兩定點的距離差不變變. .結論結論: :雙曲線的定義雙曲線的定義: :平面內與兩個定點平面內與兩個定點F F1 1,F,F2 2的的_等于等于_(_(小于小于|F|F1 1F F2 2|)|)的點的軌跡叫做雙曲線的點的軌跡叫做雙曲線, ,_叫做雙曲線的焦點叫做雙曲線的焦點,_,_叫做叫做雙曲線的焦距雙曲線的焦距. .距離的差的絕對值距離的差的絕對值非零常數(shù)非零常數(shù)兩個定點兩個定點兩焦點間的距離兩焦點間的距離【微思考】【微思考】雙曲線的定義中規(guī)定雙曲線的定義中規(guī)定“距離的差的絕對值等于非零常

3、距離的差的絕對值等于非零常數(shù)數(shù)( (小于小于|F|F1 1F F2 2|)”,|)”,若括號中條件不滿足若括號中條件不滿足, ,會是什么結會是什么結果果? ?提示提示: :若常數(shù)等于若常數(shù)等于|F|F1 1F F2 2|,|,則軌跡為以則軌跡為以F F1 1,F,F2 2為端點的兩為端點的兩條射線條射線; ;若常數(shù)大于若常數(shù)大于|F|F1 1F F2 2|,|,則軌跡不存在則軌跡不存在. .主題主題2 2雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程1.1.根據(jù)雙曲線的幾何特征根據(jù)雙曲線的幾何特征, ,如何建立坐標系求雙曲線的如何建立坐標系求雙曲線的方程方程? ?提示提示: :選擇選擇x x軸軸( (或或y

4、 y軸軸) )經過兩個定點經過兩個定點F F1 1,F,F2 2, ,并且使坐標并且使坐標原點為線段原點為線段F F1 1F F2 2的中點的中點, ,然后按求軌跡方程的直接法的然后按求軌跡方程的直接法的步驟步驟, ,求出雙曲線的方程求出雙曲線的方程. .2.2.若以兩焦點若以兩焦點F F1 1,F,F2 2所在直線為所在直線為x x軸軸, ,以線段以線段F F1 1F F2 2的垂直的垂直平分線所在直線為平分線所在直線為y y軸建立坐標系軸建立坐標系, ,則此時雙曲線上任則此時雙曲線上任一點一點M M滿足的條件是什么滿足的條件是什么? ?提示提示: :根據(jù)雙曲線的定義知滿足條件根據(jù)雙曲線的定

5、義知滿足條件|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a(a=2a(a為定長為定長).).結論結論: :雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程焦點在焦點在x x軸上軸上:_ (a0,b0):_ (a0,b0)焦點在焦點在y y軸上軸上: _ (a0,b0): _ (a0,b0)a,b,ca,b,c的關系的關系: :c c2 2=_=_2222xy1ab2222yx1aba a2 2+b+b2 2【微思考】【微思考】1.1.利用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的關鍵是什么利用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的關鍵是什么? ?提示提示: :確定參數(shù)確定參數(shù)a,ba,b的值的值. .2.2.求雙曲線的標準方程

6、時求雙曲線的標準方程時, ,設雙曲線方程的關鍵是什么設雙曲線方程的關鍵是什么? ?提示提示: :關鍵是先確定焦點的位置關鍵是先確定焦點的位置, ,若雙曲線的焦點位置若雙曲線的焦點位置不能確定不能確定, ,要分別寫出焦點在要分別寫出焦點在x x軸、軸、y y軸上的雙曲線的標軸上的雙曲線的標準方程準方程, ,不能遺漏不能遺漏. .【預習自測】【預習自測】1.1.動點動點P P到點到點M(1,0),N(-1,0)M(1,0),N(-1,0)的距離之差的絕對值為的距離之差的絕對值為2,2,則點則點P P的軌跡是的軌跡是( () )A.A.雙曲線雙曲線B.B.雙曲線的一支雙曲線的一支C.C.兩條射線兩條

7、射線D.D.一條射線一條射線【解析】【解析】選選C.C.因為因為|PM|-|PN|=2=|MN|,|PM|-|PN|=2=|MN|,所以點所以點P P的軌跡是兩條射線的軌跡是兩條射線. .2.2.若方程若方程 表示焦點在表示焦點在y y軸上的雙曲線軸上的雙曲線, ,則則m m的取值范圍是的取值范圍是( () )A.1m2A.1m2B.m2C.m-2C.m-2D.-2m2D.-2m2【解析】【解析】選選C.C.由由 得得m-2.m0,b0),=1(a0,b0),由題意得由題意得, , 解得解得a a2 2=5,b=5,b2 2=1,=1,故所求雙曲線方程為故所求雙曲線方程為 2222xyab22

8、222541,abab6,22xy1.5類型一求雙曲線的標準方程類型一求雙曲線的標準方程【典例【典例1 1】(1)(2017(1)(2017嘉興高二檢測嘉興高二檢測) )已知雙曲線兩個已知雙曲線兩個焦點的坐標分別為焦點的坐標分別為F F1 1(0,-5),F(0,-5),F2 2(0,5),(0,5),雙曲線上一點雙曲線上一點P P到到F F1 1,F,F2 2的距離之差的絕對值等于的距離之差的絕對值等于6.6.則雙曲線的標準方程則雙曲線的標準方程為為_._.(2)(2)動圓動圓M M與與C:(x+2)C:(x+2)2 2+y+y2 2=2=2內切內切, ,且過點且過點A(2,0),A(2,0

9、),求圓求圓心心M M的軌跡方程的軌跡方程. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)由題意知焦點在由題意知焦點在y y軸上軸上, ,設出標準方程設出標準方程利用待定系數(shù)法求解利用待定系數(shù)法求解. .(2)(2)利用兩圓內切和圓過定點利用兩圓內切和圓過定點, ,可以得到點可以得到點M M滿足的條件滿足的條件, ,進而判斷符合雙曲線的定義進而判斷符合雙曲線的定義. .【解析】【解析】(1)(1)因為雙曲線的焦點在因為雙曲線的焦點在y y軸上軸上, ,所以設它的標準方程為所以設它的標準方程為 =1(a0,b0).=1(a0,b0).因為因為2a=6,2c=10,2a=6,2c=10,所以所以a=3,

10、c=5.a=3,c=5.所以所以b b2 2=5=52 2-3-32 2=16.=16.所以所求雙曲線的標準方程為所以所求雙曲線的標準方程為 答案答案: : 2222yxab22yx1.91622yx1916(2)(2)設動圓設動圓M M的半徑為的半徑為r,r,因為因為C C與與M M內切內切, ,點點A A在在C C外外, ,所以所以|MC|=r- ,|MA|=r,|MC|=r- ,|MA|=r,因此有因此有|MA|-|MC|= ,|MA|-|MC|= ,所以所以點點M M的軌跡是以的軌跡是以C,AC,A為焦點的雙曲線的左支為焦點的雙曲線的左支, ,即即M M的軌跡的軌跡方程是方程是 222

11、22y22x1(x).72 【延伸探究】【延伸探究】本例本例(2)(2)中條件改為動圓中條件改為動圓M M與與C C1 1:(x+3):(x+3)2 2+y+y2 2=9=9外切外切, ,且與且與C C2 2:(x-3):(x-3)2 2+y+y2 2=1=1內切內切, ,求求圓心圓心M M的軌跡方程的軌跡方程. .【解析】【解析】設設M M的半徑為的半徑為r.r.因為因為M M與與C C1 1外切外切, ,且且M M與與C C2 2內切內切, ,所以所以|MC|MC1 1|=r+3,|MC|=r+3,|MC2 2|=r-1,|=r-1,因此因此|MC|MC1 1|-|-|MC|MC2 2|=

12、4,|=4,所以點所以點M M的軌跡是以的軌跡是以C C1 1,C,C2 2為焦點的雙曲線的為焦點的雙曲線的右支右支, ,所以所以M M的軌跡方程是的軌跡方程是 =1(x2). =1(x2). 22xy45【方法總結】【方法總結】1.1.待定系數(shù)法求方程的步驟待定系數(shù)法求方程的步驟(1)(1)定型定型: :即確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是即確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x x軸還是軸還是y y軸軸. .(2)(2)設方程設方程: :根據(jù)焦點位置設出相應的標準方程的形式根據(jù)焦點位置設出相應的標準方程的形式, ,若不知道焦點的位置若不知道焦點的位置, ,則進行討論則進行討論, ,或設雙曲線的方或設

13、雙曲線的方程為程為AxAx2 2+By+By2 2=1(AB0);=1(AB0,b0)=1(a0,b0)共焦點的雙曲線的共焦點的雙曲線的標準方程可設為標準方程可設為 =1(-b=1(-b2 2a0,b0),=1(a0,b0),又雙曲線經過點又雙曲線經過點(0,2)(0,2)與與( ),( ), 所以雙曲線方程為所以雙曲線方程為 2222yxab5,2 22222222222201,aba4,b52 251ab所以所以，22yx1.45(2)(2)因為焦點在因為焦點在x x軸上軸上,c= ,c= 所以設所求雙曲線方程為所以設所求雙曲線方程為 =1(=1(其中其中06).06).因為雙曲線經過點因

14、為雙曲線經過點(-5,2),(-5,2),所以所以 所以所以=5=5或或=30(=30(舍去舍去),),所以所求雙曲線方程是所以所求雙曲線方程是 -y-y2 2=1.=1.6,22xy62541,62x5類型二雙曲線定義的應用類型二雙曲線定義的應用【典例【典例2 2】已知雙曲線已知雙曲線 =1=1的左、右焦點分別是的左、右焦點分別是F F1 1,F,F2 2, ,若雙曲線上一點若雙曲線上一點P P使得使得FF1 1PFPF2 2=60=60, ,求求F F1 1PFPF2 2的的面積面積. .22xy916【解題指南】【解題指南】首先根據(jù)題目信息得到該雙曲線中的首先根據(jù)題目信息得到該雙曲線中的

15、a,b,ca,b,c的值且的值且 |PF|PF1 1|PF|PF2 2|sinF|sinF1 1PFPF2 2. .再由再由|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a|=2a結合余弦定理即可求出結合余弦定理即可求出|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|.|.1 2PFF1S2【解析】【解析】由已知得由已知得a=3,b=4,c= =5,a=3,b=4,c= =5,所以所以|F|F1 1F F2 2|=2c=10,|=2c=10,|PF|PF2 2|-|PF|-|PF1 1|=2a=6.|=2a=6.9 16由余弦定理得由余弦定理得|F|F1 1F F2 2| |2 2=|PF=

16、|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos60|cos60. .又因為又因為|PF|PF1 1| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|+|PF|+|PF2 2| |2 2=36,=36,所以所以|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=36+2|PF=36+2|PF1 1|PF|PF2 2|,|,代入代入式得式得100=36+2|PF100=36+2|PF1 1|PF|PF2 2|-|PF|-|PF1 1|PF|PF2 2|,|,所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=64,|

17、=64,所以所以 |PF|PF1 1|PF|PF2 2|sin60|sin60=16 .=16 .12FPF1S23【方法總結】【方法總結】雙曲線中的焦點三角形雙曲線中的焦點三角形雙曲線上的點雙曲線上的點P P與其兩個焦點與其兩個焦點F F1 1,F,F2 2連接而成的三角形連接而成的三角形PFPF1 1F F2 2稱為焦點三角形稱為焦點三角形. .令令|PF|PF1 1|=r|=r1 1,|PF,|PF2 2|=r|=r2 2,F,F1 1PFPF2 2=,=,因因|F|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,所以有所以有(1)(1)定義定義:|r:|r1 1-r-r2 2|=2a.|=2a

18、.(2)(2)余弦公式余弦公式:4c:4c2 2= -2r= -2r1 1r r2 2cos.cos.(3)(3)面積公式面積公式: r: r1 1r r2 2sin.sin.一般地一般地, ,在在PFPF1 1F F2 2中中, ,通過以上三個等式通過以上三個等式, ,所求問題就會所求問題就會順利解決順利解決. .2212rr1 2PFF1S2【鞏固訓練】【鞏固訓練】設設P P為雙曲線為雙曲線x x2 2- =1- =1上的一點上的一點,F,F1 1,F,F2 2是是該雙曲線的兩個焦點該雙曲線的兩個焦點, ,若若|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=32,|=32,則則PFPF1 1F F

19、2 2的面積為的面積為_._.2y12【解析】【解析】由已知得由已知得2a=2,2a=2,又由雙曲線的定義得又由雙曲線的定義得,|PF,|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2,|=2,又又|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=32,|=32,所以所以|PF|PF1 1|=6,|PF|=6,|PF2 2|=4,|=4,又又|F|F1 1F F2 2|=2c=|=2c=2 13.由余弦定理得由余弦定理得cosFcosF1 1PFPF2 2= = 所以所以PFPF1 1F F2 2為直角三角形為直角三角形, ,所以所以 6 64=12.4=12.答案答案: :12122264520,2 6

20、4 1 2PFF1S2類型三雙曲線標準方程的應用類型三雙曲線標準方程的應用【典例【典例3 3】(1)(1)在方程在方程mxmx2 2-my-my2 2=n=n中中, ,若若mn0,mn0,則方程的曲則方程的曲線是線是( () )A.A.焦點在焦點在x x軸上的橢圓軸上的橢圓B.B.焦點在焦點在x x軸上的雙曲線軸上的雙曲線C.C.焦點在焦點在y y軸上的橢圓軸上的橢圓D.D.焦點在焦點在y y軸上的雙曲線軸上的雙曲線(2)(2)已知方程已知方程kxkx2 2+y+y2 2=4,=4,其中其中k k為實數(shù)為實數(shù), ,對于不同范圍的對于不同范圍的k k值分別指出方程所表示的曲線類型值分別指出方程所

21、表示的曲線類型. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)把方程化為標準方程再確定曲線類型把方程化為標準方程再確定曲線類型. .(2)(2)解答本題可依據(jù)所學的各種曲線的標準形式的系數(shù)解答本題可依據(jù)所學的各種曲線的標準形式的系數(shù)應滿足的條件進行分類討論應滿足的條件進行分類討論. .【解析】【解析】(1)(1)選選D.D.方程方程mxmx2 2-my-my2 2=n=n可化為可化為: : 因為因為mn0,mn0,- 0,所以方程的曲線是焦點在所以方程的曲線是焦點在y y軸軸上的雙曲線上的雙曲線. .22yx1nnmm，nm(2)(2)當當k=0k=0時時,y=,y=2,2,表示兩條與表示兩條與x

22、x軸平行的直線軸平行的直線. .當當k=1k=1時時, ,方程為方程為x x2 2+y+y2 2=4,=4,表示圓心在原點表示圓心在原點, ,半徑為半徑為2 2的圓的圓. .當當k0k0時時, ,方程為方程為 =1,=1,表示焦點在表示焦點在y y軸上的軸上的雙曲線雙曲線. .當當0k10k1k1時時, ,方程為方程為 =1,=1,表示焦點在表示焦點在y y軸上的橢圓軸上的橢圓. .22yx44k22xy44k22xy44k【方法總結】【方法總結】雙曲線標準方程的應用的關注點雙曲線標準方程的應用的關注點(1)(1)已知方程所代表的曲線已知方程所代表的曲線, ,求參數(shù)的取值范圍時求參數(shù)的取值范圍

23、時, ,應先應先將方程轉化為所對應曲線的標準方程的形式將方程轉化為所對應曲線的標準方程的形式, ,再根據(jù)方再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求程中參數(shù)取值的要求, ,建立不等式建立不等式( (組組) )求解參數(shù)的取值求解參數(shù)的取值范圍范圍. .(2)(2)牢記標準方程的特點牢記標準方程的特點. .左端為兩個平方項的差左端為兩個平方項的差, ,右端為常數(shù)右端為常數(shù)1.1.x x2 2,y,y2 2的系數(shù)的正負決定焦點位置的系數(shù)的正負決定焦點位置. .a,ba,b的大小關系不確定的大小關系不確定. .【鞏固訓練】【鞏固訓練】(2016(2016全國卷全國卷)已知方程已知方程 表示雙曲線表示雙曲線, ,且該雙曲線兩焦點間的且該雙曲線兩焦點間的距離為距離為4,4,則則n n的取值范圍是的取值范圍是( () )A.(-1,3)A.(-1,3)B.(-1, )B.(-1, )C.(0,3)C.(0,3)D.(0, )D.(0, )