2018高中數(shù)學(xué)專題01算法初步期中期末備考精講新人教A版必修3

1、 第一章算法初步 定義 肓窮性 特征 確宦性 可行性 算法與程序框圖 程序框圖 W 三種基本謖鎖結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu) 條件結(jié)構(gòu) 循環(huán)結(jié)構(gòu) 算法初步 輸出語(yǔ)句 基本算法語(yǔ)句 賦值語(yǔ)句 算法案例 釧牛語(yǔ)句 循環(huán)銅 知識(shí)梳理 2 、算法的概念 算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類(lèi)問(wèn)題的明確和有限的步驟. 算法具有確定性、有效性、有限性的特征. 、程序框圖 1 構(gòu)成程序框圖的圖形符號(hào)、名稱及其功能如下表： 圖形符號(hào) 名稱 功能 終端框（起止框） 表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束 f / 輸入、輸出框 表示 個(gè)算法輸入和輸出的信息 處理框（執(zhí)行框） 賦值、計(jì)算 判斷框 判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明 “是”或

2、“ Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“ N 1 -1 流程線 連接程序框 連接點(diǎn) 連接程序框圖的兩部分 說(shuō)明：一個(gè)完整的程序框圖一定會(huì)包含終端框（用于表示一個(gè)算法的開(kāi)始和結(jié)束），處理框（賦值、計(jì) 算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等）和流程線. 2 -算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu) 通常一個(gè)算法只能由三種基本邏輯結(jié)構(gòu)構(gòu)甌這三種基本邏輯結(jié)構(gòu)分別是：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán) 結(jié)構(gòu). 3 程序框圖的畫(huà)法 在用自然語(yǔ)言表述一個(gè)算法后， 可以畫(huà)出程序框圖，用順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)表示這個(gè)算法. 這 樣表示的算法清楚、簡(jiǎn)練，便于閱讀和交流. 設(shè)計(jì)一個(gè)算法的程序框圖通常要經(jīng)過(guò)以下步驟： 第一步，用自然語(yǔ)言表述算法

3、步驟. 第二步，確定每一個(gè)算法步驟所包含的邏輯結(jié)構(gòu)，并用相應(yīng)的程序框圖表示，得到該步驟的程序框圖. 第三步，將所有步驟的程序框圖用流程線連接起來(lái)，并加上終端框，得到表示整個(gè)算法的程序框圖. 注意：流程線不要忘記畫(huà)箭頭，因?yàn)樗欠从沉鞒虉?zhí)行先后次序的，若不畫(huà)出箭頭，則難以判斷各框的 3 執(zhí)行順序.4 四、算法案例 三、基本算法語(yǔ)句 1. IF-THEN 語(yǔ)句 2. IF-THEN-ELSE 語(yǔ)句 1F條件 THEN 語(yǔ)句3.直到型(UNTIL)語(yǔ)句的一般格式 JX) 循環(huán)體 LOOP UNTIL 條件 4.當(dāng)型(WHILE)語(yǔ)句的一般格式 WHILE條件 陸環(huán)體 WHlLEiS 5 1 .輾轉(zhuǎn)相

4、除法與更相減損術(shù) 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)有著相同的算法依據(jù)，但要注意運(yùn)算過(guò)程的差別.兩者的區(qū)別是: (1 )輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行的是除法運(yùn)算，即輾轉(zhuǎn)相除，更相減損術(shù)進(jìn)行的是減法運(yùn)算，即輾轉(zhuǎn)相減，但其 實(shí)質(zhì)都是一個(gè)不斷的遞推過(guò)程. (2)輾轉(zhuǎn)相除法，下一次進(jìn)行相除時(shí)，由上一次的除數(shù)和余數(shù)直接相除即可.而更相減損術(shù)下一次相 減前必須有一個(gè)判斷大小的過(guò)程，以區(qū)別誰(shuí)做被減數(shù). 注意：用更相減損術(shù)求兩正整數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，若兩數(shù)為偶數(shù)，可先約去 2，這時(shí)莫忘記求得的相等 兩數(shù)乘以約簡(jiǎn)的數(shù)才是所求的最大公約數(shù). 2 .秦九韶算法 秦九韶算法的實(shí)質(zhì)是： 求多項(xiàng)式f(x)二anX“ n疋亠的值時(shí)，轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多

5、項(xiàng)式的 值，共進(jìn)行n次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算.這種算法的運(yùn)算次數(shù)較少，是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法. 3 .進(jìn)位制 把一個(gè)非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為另一種非十進(jìn)制數(shù)，通常是把這個(gè)數(shù)先轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，然后再利用除 k取余 法，把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為 k進(jìn)制數(shù).6 算法設(shè)計(jì)與一般意義上的解決問(wèn)題不同，它是對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的一般解法的抽象與概括，主要借助一般的 問(wèn)題解決方法，又要包括此類(lèi)問(wèn)題的所有情形它往往是把問(wèn)題的解決劃分為若干個(gè)可執(zhí)行的步驟，有時(shí) 甚至是重復(fù)多次，但最終都必須在有限個(gè)步驟之內(nèi)完成. (1) 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述算法解決問(wèn)題的過(guò)程大體可分為三步： 第一步，明確問(wèn)題的性質(zhì)，分析題意. 我們將問(wèn)題簡(jiǎn)單地分為數(shù)值問(wèn)題

6、和非數(shù)值問(wèn)題，不同類(lèi)型的問(wèn)題可以有針對(duì)性地采用不同的方法進(jìn)行 處理. 第二步，建立問(wèn)題的描述模型. 對(duì)于數(shù)值型問(wèn)題，可以建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題對(duì)于非數(shù)值型問(wèn)題，我們可以建立 過(guò)程模型，通過(guò)過(guò)程模型來(lái)描述問(wèn)題. 第三步，設(shè)計(jì)、確立算法. 對(duì)于數(shù)值型問(wèn)題，我們可以采用數(shù)值分析的方法進(jìn)行處理，數(shù)值分析中有許多現(xiàn)成的固定算法，我們 可以直接使用當(dāng)然我們也可以根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況設(shè)計(jì)算法對(duì)于非數(shù)值型問(wèn)題，根據(jù)過(guò)程模型分析算 法并進(jìn)行處理，也可以選擇一些成熟的辦法進(jìn)行處理，如排序、遞推等. (2) 算法設(shè)計(jì)應(yīng)注意： 與解決問(wèn)題的一般方法有聯(lián)系，從中提煉出算法； 將解決問(wèn)題的過(guò)程分為若干個(gè)可執(zhí)行

7、步驟； 引入有關(guān)的參數(shù)或變量對(duì)算法步驟加以表達(dá)； 用最簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將各個(gè)步驟表達(dá)出來(lái)； 算法的執(zhí)行要在有限步內(nèi)完成. 7 例1已知平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn) A（_1,0） , B（3,2），寫(xiě)出求線段 AB的垂直平分線方程的一個(gè)算法. 【思路分析】本題考查了數(shù)值型問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)，首先明確線段 AB的垂直平分線的定義，可先由中點(diǎn)坐標(biāo) 公式求出線段 AB的中點(diǎn)，然后計(jì)算直線 AB的斜率，由垂直關(guān)系求出 AB的垂直平分線的斜率，最后由點(diǎn) 斜式寫(xiě)出直線方程. 【解】算法步驟： 第一步，計(jì)算召二畫(huà)= = 得腫的中點(diǎn) 第二步計(jì)軒得朋的斜率. 第三步，計(jì)算k = - = -2,得宓的垂直平分線的斜率. 第四步、由

8、點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的垂直平分線的方程：$ $ - -1 1 = = - -2 2（工- -1 1）, ,輸出 【點(diǎn)評(píng)】（1）數(shù)值性問(wèn)題首先建立數(shù)學(xué)模型，然后將數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程細(xì)化過(guò)渡成算法步驟，這是通法. （2 ）注意數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法不是算法步驟. 例2設(shè)計(jì)一個(gè)算法求ai , a2, a3 , a4,氏五個(gè)不同實(shí)數(shù)中最小的數(shù). 【思路分析】本題考查非數(shù)值型問(wèn)題的算法，按照遞推關(guān)系，先比較 Q與a2，令m為a1和a2中的較小者， 然后比較m與a3，令較小者為m，依次類(lèi)推，得到最小數(shù). 【解】算法步驟： 第一步，比較ai, a2的大小，若ai : a?，則令m =印；若a：印，則令m = a?. 第二

9、步，比較 m , a3的大小，若a3：m,則令m=a3;否則m值不變. 第三步，比較 m , a4的大小，若a4 : m，則令m =玄4 ;否則m值不變. 第四步，比較 m , as的大小，若a5 : m,則令m=as;否則m值不變. 第五步，輸出m. 【點(diǎn)評(píng)】任給有限個(gè)數(shù)，求有限個(gè)數(shù)中的最大數(shù)（最小數(shù)） ，在所給數(shù)不是很多的情況下，可設(shè)第一個(gè)數(shù)為 最大數(shù)（最小數(shù)），然后和第二個(gè)數(shù)比較，取出這兩個(gè)數(shù)中的較大者（較小者）再與第三個(gè)數(shù)比較，一直進(jìn) 行下去，直到與最后一個(gè)數(shù)比較完畢.這樣就可以得到答案. 8 1程序框圖是用規(guī)定的圖形和流程線來(lái)準(zhǔn)確、直觀、形象地表示算法的圖形. 2算法的設(shè)計(jì)是畫(huà)程序框

10、圖的基礎(chǔ)，我們通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，寫(xiě)出相應(yīng)的算法步驟，畫(huà)程序框圖之前 應(yīng)先對(duì)算法問(wèn)題設(shè)計(jì)的合法性和合理性進(jìn)行探討，然后分析算法的邏輯結(jié)構(gòu)和各步驟的功能（輸入、輸出、 判斷、賦值和計(jì)算），畫(huà)出相應(yīng)的程序框圖，如果設(shè)計(jì)的程序框圖較為復(fù)雜就采取“逐步求精”的思想設(shè)計(jì) 框圖，先將問(wèn)題中的簡(jiǎn)單部分明確出來(lái)，再逐步對(duì)復(fù)雜部分進(jìn)行細(xì)化，然后一步一步逐步向前推進(jìn)，設(shè)計(jì) 出程序框圖. 例1某商場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)惠促銷(xiāo)：若購(gòu)物金額 x在500元以上，打8折；若購(gòu)物金額x在300元以上，打9折; 否則，不打折，設(shè)計(jì)算法和程序框圖，要求輸入購(gòu)物金額為 x，即能輸出實(shí)際交款額. 【思路分析】 本題考查了條件結(jié)構(gòu)的程序框圖， 關(guān)鍵是

11、由題意列出實(shí)際交款額 y與購(gòu)物金額x之間的函數(shù)關(guān) x x, 300, 系式 y = 0.9x 300 : x, 500, I 0.8x x 500, 它需要對(duì)x進(jìn)行三次判斷， 算法含有兩個(gè)條件結(jié)構(gòu). 【解】算法步驟：第一步，輸入購(gòu)物金額 x 第二步，判斷x, 300是否成立，若成立，則 y二x ;否則，執(zhí)行第三步. 第三步，判斷x, 500是否成立，若成立，則 y=0.9x ;否則，y = 0.8x 第四步，輸出y，結(jié)束算法. 程序框圖： 9 /輸岀y/ 【點(diǎn)評(píng)】畫(huà)程序框圖的關(guān)鍵是分析算法的步驟，因?yàn)槌绦蚩驁D是算法步驟的圖形表示，所以算法步驟越明 確畫(huà)圖就越容易；另外，在分段函數(shù)這種需要對(duì)條件

12、進(jìn)行判斷的算法設(shè)計(jì)中，宜使用條件結(jié)構(gòu). 例2看下面的問(wèn)題：1+2+3+（ ） 10000 .這個(gè)問(wèn)題的答案不唯一，我們只要確定出滿足條件 的最小正整數(shù)n0，括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)的數(shù)字只要大于或等于 n0即可試寫(xiě)出尋找滿足條件的最小正整數(shù) n0的算法 并畫(huà)出相應(yīng)的程序框圖. 【思路分析】本題考查的是循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的設(shè)計(jì)、關(guān)鍵設(shè)計(jì)循環(huán)體，本題為累加型循環(huán)結(jié)構(gòu)，故累 加變量p的初始值為0，計(jì)數(shù)變量i的初始值i =0，循環(huán)體：i =：i 1 , p = p i . 本題也可以利用公式法 s= 創(chuàng)，變量S每一次的取值，都是n變化后的賦值. 2 【解】方法一：算法步寢： 第步p p = = 第二步， 第三步，n

13、 n 第四步 第五步/若1010000,000,則輸出口否則，執(zhí)行第三步. 該算法的程序框團(tuán)如團(tuán)所示.10 方法：算法步騷； 第一步，取打的值等于-第二步，計(jì)算用=笛巴. 第三步，如果S的值大于10000,那么輸出心否則，讓刃的值増加1后轉(zhuǎn)到第二步重復(fù)操作. 根抿次上的操作步靈可以畫(huà)出如圖所示的程序框圖. 【點(diǎn)評(píng)】(1)方法二的初始值n從1開(kāi)始，若從一個(gè)較大的 n的初始值開(kāi)始，可以減少計(jì)算機(jī)執(zhí)行的時(shí)間. (2)在循環(huán)結(jié)構(gòu)中，要注意根據(jù)條件設(shè)計(jì)合理的計(jì)數(shù)變量、累加變量及其個(gè)數(shù)，特別要注意條件的表述要 恰當(dāng)、精確. (3) 累加變量的初始值一般取 0. 根據(jù)程序框圖設(shè)計(jì)程序關(guān)鍵在于： (1) 明確

14、程序框的結(jié)構(gòu)(順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)) 根據(jù)程序框圖設(shè)計(jì)程序 11 (2) 明確各程序框的含義. (3) 明確各結(jié)構(gòu)及程序框?qū)?yīng)的程序語(yǔ)言. 可簡(jiǎn)記為“一看結(jié)構(gòu)，二看框，程序語(yǔ)言用恰當(dāng)”. 例1請(qǐng)寫(xiě)出如圖所示的程序框圖描述的算法程序. 【思路分析】本題考查了條件語(yǔ)句的設(shè)計(jì)，通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)程序框圖描述的算法含有兩個(gè)條件結(jié) 2 x -1 x1, 構(gòu).通過(guò)進(jìn)一步分析我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)求分段函數(shù) y=2x+1 -1剟x 1,的函數(shù)值的算法.輸入、輸出 I 2 彳 x 1 X :： -1 框分別對(duì)應(yīng)輸入、輸出語(yǔ)句、判斷框?qū)?yīng)條件語(yǔ)句. 【解】所求算法程序?yàn)椋?INPUT “ Please

15、in put x= ”； x IF x1 THEN y=x?2-1 ELSE IF x-1 THEN y= x?2+1 ELSE y=2 *x+1 END IF 12 END IF PRINT “函數(shù)值為y=”； y ENDs=0 13 【點(diǎn)評(píng)】（1）在本程序中，IF THEN ELSE語(yǔ)句嵌入了另一個(gè) IF THEN ELSE語(yǔ)句，在每一個(gè)語(yǔ)句結(jié)束 時(shí)都要寫(xiě)END IF ； （2） 上述兩個(gè)語(yǔ)句的先后層次關(guān)系， 我們用縮進(jìn)若干空格的辦法來(lái)體現(xiàn)， 從而使程序?qū)哟畏置鳎?便于檢閱; （3） 若程序中有幕，其底數(shù)和指數(shù)之間要用專用符號(hào)“ ？”連接. 例2.個(gè)球從100 m的高度落下，每次落地后又反

16、跳回原高度的一半，再落下，在第 10次落地時(shí)，小球 共經(jīng)過(guò)多少路程？畫(huà)出程序框圖，并根據(jù)程序框圖寫(xiě)出程序. 【思路分析】 本題考查的是彳It環(huán)語(yǔ)句的程序i殳計(jì)， 關(guān)鍵分清循環(huán)體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)， 本題是實(shí)際應(yīng)用題. 第1次下落的高度妬LOOm; 第2次下藩的高度親=贏=50m; 霜孑次下落的咼度 = 1 =25叫 第10次下落的咼度論=舟虬. 二遞推關(guān)系式是=100m,也 弓屯（L.2,刃 到第10次落地時(shí)，共經(jīng)過(guò)的路程為坷十地十純卄+M廠縮+応珂十 訥，故可將生 作為累加變量，（作為計(jì)數(shù)孌重. 【解】程序框圖： 開(kāi)始 _ _ / h=100 1=1 ss*2h T A s=j100 /輸出 i=M

17、 T T 結(jié)束 根據(jù)程序框圖，可設(shè)計(jì)程序如下: h=100 i=1 14 WHILE i=10 s=s+2* h h=h/2 i=i+1 WEND s=s-100 PRINT s END 【點(diǎn)評(píng)】由于球每次下落的高度都是前一次下落后高度的一半，故可引進(jìn)一個(gè)變量，對(duì)其累乘即可求得每 根據(jù)程序畫(huà)程序框圖要做到： （1） 明確程序是由哪些關(guān)鍵語(yǔ)句構(gòu)成的（條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句） （2） 明確各類(lèi)語(yǔ)句定義符號(hào)的含義； （3） 明確各類(lèi)語(yǔ)句對(duì)應(yīng)的程序框圖. 可簡(jiǎn)記為“抓關(guān)鍵，補(bǔ)符號(hào)，按照規(guī)則畫(huà)出來(lái)”. 例1請(qǐng)根據(jù)給出的算法程序畫(huà)出程序框圖. a=1 b=1 i=2 WHILE i v =12 c=a+b a=b 15 b=c i=i+1 WEND PRINT c END 【思路分析】本程序是一個(gè)當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，本程序的關(guān)鍵語(yǔ)句是一個(gè)當(dāng)型循環(huán)語(yǔ)句，盤(pán)=1, b=? 22都 是賦倩語(yǔ)句（茸中混計(jì)數(shù)變量人PRINT c是輸出語(yǔ)句，WHI