lingo-多目標規(guī)劃模型

1、.1 多目標決策方法多目標決策方法 李小飛l多目標決策的基本概念多目標決策的基本概念l多目標決策的數(shù)學模型及其非劣解多目標決策的數(shù)學模型及其非劣解l多目標決策建模的應用實例多目標決策建模的應用實例.3 用LINGO軟件求解目標規(guī)劃問題.41. 求解方法概述LINGO（或LINDO）不能直接求解目標規(guī)劃問題，但可以通過逐級求解線性規(guī)劃的方法，求得目標規(guī)劃問題的滿意解。.52. 示例 例例1 用LINGO求解目標規(guī)劃問題 3 , 2 , 1, 0,710401510. .min2133222211121332211jddxxddxddxxddxxtsdPdPdPzjj.6解：首先對應于第一優(yōu)先等級

2、，建立線性規(guī)劃問題：用LINGO求解，得最優(yōu)解0，最優(yōu)值為0。具體求解過程如下： 0,401510. .min112111211ddxxddxxtsdz.7啟動LINGO軟件，窗口如圖1所示。圖1 .8在LINGO工作區(qū)中錄入以下程序（參見圖2）model:min=d1;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;END其中x1、x2分別代表決策變量 、 ；d1_、d1分別代表偏差變量 、 。 1x2x1d1d.9圖2 .10在菜單LINGO下點選“Solve”，或按復合鍵“Ctrl+S”進行求解。LINGO彈出求解結果報告（參見圖3）：詳細信息如下 圖3 .11 對應于第二優(yōu)先等級，將 0作

3、為約束條件，建立線性規(guī)劃問題：1d2 , 1, 0,010401510. .min211222111212jddxxdddxxddxxtsdzjj11dd62d用LINGO求解，得最優(yōu)解 0 ， ，最優(yōu)值為6。具體LINGO程序及輸出信息如下：LINGO程序為（參見圖4）： .12model:min=d2_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;d1=0;END.13圖4.14LINGO運算后輸出為（參見圖5）： 圖5 .15 對應于第三優(yōu)先等級，將 0， 作為約束條件，建立線性規(guī)劃問題：用LINGO求解，得最優(yōu)解是 ， ，最優(yōu)值為7。具體LINGO程序及

4、輸出信息如下（參見圖6） ：1d62d3 , 2 , 1, 0,6, 0710401510. .min2121332222111213jddxxddddxddxxddxxtsdzjj, 0, 421xx011dd7, 632dd.16model:min=d3_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;x2+d3_-d3=7;d1=0;d2_=6;END.17圖6 .18LINGO運算后輸出為：（參見圖7）圖7 .19 因此， 0， 就是目標規(guī)劃的滿意解。, 0, 421xx11dd7, 632dd.20第一部分第一部分 多目標決策的基本概況多目標決策的基本概

5、況.21 本章將從多目標決策（也稱多目標規(guī)劃）方法的作用出發(fā)，通過分析簡單的多目標決策問題的幾個案例，闡述多目標決策的基本概念。任何決策問題的解決主要依賴于所謂的決策者和分析者。決策者一般指有權挑選行動方案，并能夠從中選擇滿意方案作為最終決策的人員。政府官員、企業(yè)行政管理人員均為某類問題的決策者。 決策者的作用是：評價和判斷各目標的相對重要性；根據目標的當前水平值以及主觀的判斷和經驗，提供關于決策方案的偏好信息。分析者一般指能夠提供可行方案和各目標之間的折中信息的人或機器，比如經濟學家、工程師、系統(tǒng)分析員、社會學家、計算機等。 .22 只有一個目標的決策問題稱為單目標決策（或單目標規(guī)劃）問題，

6、相應的解題方法稱為單目標方法。具有2個或2個以上目標的決策問題稱為多目標決策問題，相應的求解方法稱為多目標方法。從方法的特點來看，單目標方法強調分析者的作用，忽視決策者的作用。而多目標方法則由決策者探尋和確定備選的可行方案范圍，評價目標的相對價值。從求解過程來看，單目標方法采用統(tǒng)一的單一度量單位，向決策者提供唯一的最優(yōu)方案。 .23 由于模型的不準確性和單一目標的片面性，這種所謂最優(yōu)的方案并不一定是決策者滿意的。自然，用這種最優(yōu)方案作為決策者的最終決策具有強迫性質，往往難以為決策者接受。另一方面，多目標方法向決策者提供經過仔細選擇的備選方案（多種方案）。這樣使得決策者有可能利用自己的知識和經驗

7、對這些方案進行評價和判斷，從中找出滿意方案或給出偏好信息以及尋找更多的備選方案。 概括起來，多目標決策方法處理實際決策問題有三個方面的優(yōu)點：（1）加強了決策者在決策過程中的作用；（2）可以得到范圍更為廣泛的備選決策方案；（3）決策問題的模型和分析者對問題的直覺將更加現(xiàn)實。.24多目標決策問題的案例及特點多目標決策問題的案例及特點 我們介紹兩個日常生活中常見的決策問題。第一個是顧客到商店購買衣服。對于顧客而言，購買衣服就是一個決策問題，顧客本人是決策者，各種各樣的衣服是行動方案集。該決策問題的解就是顧客最終買到一件合適的衣服（或選擇一個滿意的方案）。那么，一件衣服（即一個方案）合適否（滿意否）應

8、該根據幾個指標來評價，比如衣服的質量、價格、大小、式樣、顏色等。 因此，顧客購買衣服的問題是多目標決策問題。又如，公務人員外出辦事總要乘某種交通工具。這也是一個決策問題，決策者是公務員，備選方案是可利用的交通工具。公務員為了選擇合適的交通工具，需要考慮幾個指標，比如：時間、價格、舒適性、方便程度等。顯然這也是一個多目標決策問題。 .25 在生產系統(tǒng)、工程系統(tǒng)、社會經濟系統(tǒng)中，多目標決策問題更是屢見不鮮。比如在煉油廠的生產計劃中，基本的決策問題是如何根據企業(yè)的外部環(huán)境與內部條件，制定出具體的作業(yè)計劃。該計劃應能使企業(yè)的各種主要的經濟指標達到預定的目標。這些指標包括：利潤、原油量、成本、能耗等。其

9、他企業(yè)一般也有類似的多目標計劃決策問題。 多目標決策問題有兩個共同的特點，即各目標的不可公度性和相互之間的矛盾性。所謂目標的不可公度性指各目標之間沒有統(tǒng)一的量綱，因此難以作相互比較。 .26 目標之間的矛盾性是指，如果改進某一目標的值，可能會使另一個或一些目標變差。正因為各目標的不可公度性和相互之間的矛盾性，多目標決策問題不能簡單的作為單目標問題來處理。必須深入研究其特征，特別是解的性質。單目標決策一般有最優(yōu)解，且往往是唯一的，有時可能存在無限多個解。但是這里的“最優(yōu)”往往帶有片面性，不能全而準確的反映決策者的偏好信息。多目標決策問題不存在所謂的“最優(yōu)”解，只存在滿意解。滿意解指決策者對于有關

10、的所有目標值都認為滿意。.27 對于單目標決策問題的解一般具有全序最優(yōu)性，而多目標決策問題的可行方案集中的各方案只有部分序而非全序，并且一般不存在滿足最優(yōu)性的可行解，而只有矛盾性，即，盡管某一個可行解能使n個目標中的某個目標最優(yōu)，但不可能使其他的n-1個目標同時最優(yōu)。各目標之間的這種矛盾性是多目標問題的基本特性，不具有這種特性的問題實質上是單目標優(yōu)化問題?？尚薪獾姆橇有哉嵌嗄繕藛栴}矛盾性所引起的。.28 非劣性的意義可解釋為：設某一可行解 對應的目標函數(shù)值為 ，若不存在其他可行解既能在 的基礎上改進某一目標的值，同時又不至于使任何別的目標的值變差。在不同的研究方向，非劣性可能有不同的說法，比

11、如，數(shù)學家、經濟學家和統(tǒng)計學家又稱之為“有效性”或“最優(yōu)性”。下面舉一個簡單的例子來說明非劣性。x( )F x( )F x.29例 試分析下表所示四個方案的非劣性。方案方案目標函數(shù)目標函數(shù)方案的性質方案的性質F1(x)F1(x)F2(x)F2(x)X1X110102121非劣非劣X2X214141818非劣非劣X3X312121616劣劣X4X48 82020劣劣.30 解：因 故 。 同理， 。 因此四個方案的優(yōu)劣性見表。 23, 12, 13, 24xxxxxxxx1122( 1)( 4)108( 1)2120( 4)F xF xF xF x14xx.31 在圖在圖1中，中，max(f1,

12、 f2) .就就方案和來說，的方案和來說，的 f2 目標值比大，但其目目標值比大，但其目標值標值 f1 比小，因此無比小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。與劣。 在各個方案之間，在各個方案之間，顯然：顯然：比好，比比好，比好好, , 比好比好, , 比比好好。 非劣性非劣性可以用下圖說明。圖圖 多目標規(guī)劃的劣解與非劣解多目標規(guī)劃的劣解與非劣解.32第二部分 多目標決策的數(shù)學模型及其非劣解 一、多目標決策的數(shù)學模型一、多目標決策的數(shù)學模型（一）任何多目標決策問題，都由兩個基本部分組成： （1）兩個以上的目標函數(shù)； （2）若干個約束條件。 （二）對于多目標決策問題，可以將其數(shù)學

13、模型一般地描寫為如下形式： )(max(min)(max(min)(max(min)(XfXfXfXFZk21 mmgggGXXXX2121)()()()( s.t. 式中： 為決策變量向量。 TnxxxX,21 )(max(min)XFZ GXts )(.縮寫形式：有n個決策變量，k個目標函數(shù)，m個約束方程，則： Z=F(X) 是k維函數(shù)向量， (X)是m維函數(shù)向量； G是m維常數(shù)向量； 多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化（最大或最?。活櫰渌繕?。對于上述多目標規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復合選擇： 每一個目標函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？ 每一個決策變

14、量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決 ？.36如上例的各個方案之間，比好，比好, 比好, 比好。 圖圖 多目標規(guī)劃的劣解與非劣解多目標規(guī)劃的劣解與非劣解.37 而對于方案、之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構成的集合稱為非劣解集。 當目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數(shù)同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解。 效用最優(yōu)化模型效用最優(yōu)化模型 罰款模型罰款模型 約束模型約束模型 目標規(guī)劃模型目標規(guī)劃模型二、多目標決策的非劣解的求解方法二、多目標決策的非劣解的求解方法 為了求得

15、多目標規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標規(guī)劃問題去處理。實現(xiàn)這種轉化，有如下幾種建模方法。)(maxXZ GXts )(.是與各目標函數(shù)相關的效用函數(shù)的和函數(shù)。 方法一方法一 效用最優(yōu)化模型效用最優(yōu)化模型（線性加權法線性加權法） 思想：規(guī)劃問題的各個目標函數(shù)可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標函數(shù)與效用函數(shù)建立相關關系，各目標之間通過效用函數(shù)協(xié)調，使多目標規(guī)劃問題轉化為傳統(tǒng)的單目標規(guī)劃問題： 但困難是要確定合理的權系數(shù)，以反映不同目標之間的重要程度。在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權值 i 來反映原問題中各目標函數(shù)在總體目標中的權重，即： kiii

16、1max ), 2 , 1(),(21migxxxini kii11 T maxGXts )(.式中， i 應滿足：向量形式：方法二方法二 罰款模型罰款模型（理想點法）（理想點法） 思想: 規(guī)劃決策者對每一個目標函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值 fi 與期望值 fi* 之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學表達式如下：i 21)(min kiiiiffZ ), 2 , 1(),(21migxxxini 或寫成矩陣形式：)()(min FFAFFZTGX )(式中， 是與第i個目標函數(shù)相關的權重；A是由 (i=1,2,k )組成的mm對角矩陣。i 理論依據 ：若規(guī)劃問題的某一目標可

17、以給出一個可供選擇的范圍，則該目標就可以作為約束條件而被排除出目標組，進入約束條件組中。假如，除第一個目標外，其余目標都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標規(guī)劃問題就可以轉化為單目標規(guī)劃問題： 方法三方法三 約束模型（極大極小法）約束模型（極大極小法） ),(max(min)211nxxxfZ ), 2 , 1(),(21migxxxini ), 3 , 2(maxminkjfffjjj .43方法四方法四 目標規(guī)劃模型（目標規(guī)劃法）目標規(guī)劃模型（目標規(guī)劃法） 需要預先確定各個目標的期望值 fi* ，同時給每一個目標賦予一個優(yōu)先因子和權系數(shù)，假定有K個目標，L個優(yōu)先級( LK)，目標規(guī)劃模型

18、的數(shù)學形式為： LlKkklkklklddpZ11)(min ),(),(migxxxini2121 ),(Kifddfiiii21 式中： di+ 和 di分別表示與 fi 相應的、與fi* 相比的目標超過值和不足值，即正、負偏差變量正、負偏差變量； pl表示第l個優(yōu)先級； lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級 pl 中，不同目標的正、負偏差變量的權系數(shù)。 1.基本思想 ：給定若干目標以及實現(xiàn)這些目標的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標值的偏差最小。三、目標規(guī)劃方法三、目標規(guī)劃方法.45假定有L個目標，K個優(yōu)先級(KL)，n個變量。在同一優(yōu)先級pk中不同目標的正、負偏差變量的權系數(shù)分別為

19、kl+ 、kl- ，則多目標規(guī)劃問題可以表示為： KkLllkllklkddpZ11)(min njllljljLlgddxc1)(), 2 , 1( njijijmibxa1), 2 , 1(),(),2,1(0njxj ), 2 , 1(0,Llddll 2.2.目標規(guī)劃模型的一般形式目標規(guī)劃模型的一般形式 目標函數(shù)目標約束絕對約束非負約束.46在以上各式中， kl+ 、 kl- 分別為賦予pl優(yōu)先因子的第 k 個目標的正、負偏差變量的權系數(shù)，gk為第 k個目標的預期值，xj為決策變量，dk+ 、dk- 分別為第 k 個目標的正、負偏差變量。目標函數(shù)目標函數(shù)目標約束目標約束絕對約束絕對約束

20、非負約束非負約束 KkLllkllklkddpZ11)(min njllljljLlgddxc1)(), 2 , 1( njijijmibxa1), 2 , 1(),(),2,1(0njxj ), 2 , 1(0,Llddll 目標規(guī)劃數(shù)學模型中的有關概念。目標規(guī)劃數(shù)學模型中的有關概念。 (1) 偏差變量偏差變量 在目標規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負偏差變量 d +、d - 。其中，正偏差變量表示決策值超過目標值的部分，負偏差變量表示決策值未達到目標值的部分。 因為決策值不可能既超過目標值同時又未達到目標值，故有d +d - =0成立。 (2) 絕對約束和目標約束絕對約束和目標約

21、束 絕對約束，必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。 目標約束，目標規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追求的目標值，在達到此目標值時允許發(fā)生正的或負的偏差 ，可加入正負偏差變量，是軟約束軟約束。 線性規(guī)劃問題的目標函數(shù)，在給定目標值和加入正、負偏差變量后可以轉化為目標約束，也可以根據問題的需要將絕對約束轉化為目標約束。 若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子 pl 的目標的差別，就可以分別賦予它們不同的權系數(shù)i* ( i=1,2,k )。這些優(yōu)先因子和權系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)

22、先等級）與權系數(shù)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權系數(shù) 一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標，決策者對各個目標的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達到的目標賦予優(yōu)先因子 p1 ，次位的目標賦予優(yōu)先因子 p2 ，并規(guī)定plpl+1 (l=1,2,.)表示 pl 比 pl+1 有更大的優(yōu)先權。即:首先保證 p1 級目標的實現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標；而p2級目標是在實現(xiàn)p1 級目標的基礎上考慮的；依此類推。(4)(4)目標函數(shù)目標函數(shù) 目標規(guī)劃的目標函數(shù)（準則函數(shù)）是按照各目標約束的正、負偏差變量和賦予相應的優(yōu)先因子而構造的。當每一目標確定后，盡可能縮小與目標值的偏離。因此，目標規(guī)劃的目標函數(shù)只能是：),(min

23、 ddfZa) 要求恰好達到目標值，就是正、負偏差變量都要盡可能小,即 min()Zf ddb) 要求不超過目標值，即允許達不到目標值，就是正偏差變量要盡可能小，即)(min dfZ c) 要求超過目標值，也就是超過量不限，但負偏差變量要盡可能小，即 )(min dfZ基本形式有三種：對每一個具體目標規(guī)劃問題，可根據決策者的要求和賦于各目標的優(yōu)先因子來構造目標函數(shù)。.51（1）目標規(guī)劃數(shù)學模型的形式有：線性模型、非線性模型、整數(shù)模型、交互作用模型等；（2）一個目標中的兩個偏差變量di-、di+至少一個等于零，偏差變量向量的叉積等于零：dd=0； （3）一般目標規(guī)劃是將多個目標函數(shù)寫成一個由偏差

24、變量構成的函數(shù)求最小值，按多個目標的重要性，確定優(yōu)先等級，順序求最小值； （4）按決策者的意愿，事先給定所要達到的目標值。當期望結果不超過目標值時，目標函數(shù)求正偏差變量最??；當期望結果不低于目標值時，目標函數(shù)求負偏差變量最??；當期望結果恰好等于目標值時，目標函數(shù)求正負偏差變量之和最小。評注：評注：.52（5）由目標構成的約束稱為目標約束，目標約束具有更大的彈性，允許結果與所制定的目標值存在正或負的偏差；如果決策者要求結果一定不能有正或負的偏差，這種約束稱為系統(tǒng)約束；（6）目標的排序問題。多個目標之間有相互沖突時，決策者首先必須對目標排序。排序的方法有兩兩比較法、專家評分等方法，構造各目標的權系

25、數(shù)，依據權系數(shù)的大小確定目標順序；（7）合理的確定目標數(shù)。目標規(guī)劃的目標函數(shù)中包含了多個目標，決策者對于具有相同重要性的目標可以合并為一個目標，如果同一目標中還想分出先后次序，可以賦予不同的權系數(shù)，按系數(shù)大小再排序。.53（8）多目標決策問題多目標決策研究的范圍比較廣泛，在決策中，可能同時要求多個目標達到最優(yōu)例如，企業(yè)在對多個項目投資時期望收益率盡可能最大，投資風險盡可能最小，屬于多目標決策問題，本章的目標規(guī)劃盡管包含有多個目標，但還是按單個目標求偏差變量的最小值，目標函數(shù)中不含有決策變量，目標規(guī)劃只是多目標決策的一種特殊情形本章不討論多目標規(guī)劃的求解方法，只給出利用lingo軟件求解線性多目

26、標規(guī)劃的簡單程序。.54引例引例1 生產計劃問題 甲 乙 資源限額 材料 2 3 24 工時 3 2 26 單位利潤 4 3 現(xiàn)在工廠領導要考慮市場等一系列其他因素，提出如下目標：（1）根據市場信息，甲產品的銷量有下降的趨勢，而乙產品的銷量有上升的趨勢，故考慮乙產品的產量應大于甲產品的產量。（2）盡可能充分利用工時，不希望加班。（3）應盡可能達到并超過計劃利潤30元?，F(xiàn)在的問題是：在原材料不能超計劃使用的前提下，如何安排生產才能使上述目標依次實現(xiàn)？.55解：（1）決策變量：設每天生產甲、乙兩種產品各為x1和x2 偏差變量：對于每一目標，我們引進正、負偏差變量。 如對于目標1，設d1-表示乙產品

27、的產量低于甲產品產量的數(shù)，d1+表示乙產品的產量高于甲產品產量的數(shù)。稱它們分別為產量比較的負偏差變量和正偏差變量。則對于目標1，可將它表示為等式約束的形式 -x1+x2+ d1- d1+ =0 (目標約束) 同樣設d2-和d2+分別表示安排生產時，低于可利用工時和高于可利用工時，即加班工時的偏差變量，則對目標2，有 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 對于目標3，設d3-和d3+分別表示安排生產時，低于計劃利潤30元和高于計劃利潤30元的偏差變量，有： .56 4x1+3x2+ d3-d3+ =30 （2）約束條件：有資源約束和目標約束 資源約束：2x1+3x224 目標約束：為上述各目標

28、中得出的約束 （3）目標函數(shù)：三個目標依次為： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2- ，minZ3=d3- 因而該問題的數(shù)學模型可表述如下： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2-，minZ3=d3- 2x1+3x224 st -x1+x2+ d1- d1+ =0 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 4x1+3x2+ d3-d3+ =30 .57例 某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，需要用到A, B,C 三種設備，關于產品的贏利與使用設備的工時及限制如下表所示。問該企業(yè)應如何安排生產，才能達到下列目標：甲乙設備的生產能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0

29、515贏利（元/件）200300四、多目標規(guī)劃問題求解的四、多目標規(guī)劃問題求解的LINGO程序程序.58（1）力求使利潤指標不低于1500 元；（2）考慮到市場需求，甲、乙兩種產品的產量比應盡量 保持1:2；（3）設備A 為貴重設備，嚴格禁止超時使用；（4）設備C 可以適當加班，但要控制；設備B 既要求充分利用，又盡可能不加班。在重要性上，設備B是設備C 的3倍。 建立相應的目標規(guī)劃模型并求解。甲乙設備的生產能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0515贏利（元/件）200300.59解：設備A 是剛性約束，其余是柔性約束。首先，最重要的指標是企業(yè)的利潤，因此，將它的優(yōu)

30、先級列為第一級；其次，甲、乙兩種產品的產量保持1:2 的比例，列為第二級；再次，設備C, B的工作時間要有所控制，列為第三級。在第三級中，設備B的重要性是設備C 的三倍，因此，它們的權重不一樣，設備B 前的系數(shù)是設備C 前系數(shù)的3 倍。由此得到相應的目標規(guī)劃模型。設甲乙的產量分別為 。12,x x.60112223334min()(33)zPdP ddPddd1212111222133244122212,2003001500,20,416,515,0,1,2,3,4.iistxxxxddxxddxddxddx x ddi.61求第一級目標。求第一級目標。LINGO 程序如下：程序如下：mode

31、l:sets:variable/1.2/:x; S_Con_Num/1.4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=1500 0 16 15;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;enddatamin=dminus(1);2*x(1)+2*x(2)12;for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i);end求得求得dminus(1)=0，即目標函數(shù)的最優(yōu)值為，即目標函數(shù)的最優(yōu)值為0 0，第一級偏差為，第一級偏差為0 0。.

32、62求第二級目標，求第二級目標，LINGO 程序如下：程序如下：model:sets:variable/1.2/:x;S_Con_Num/1.4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=1500 0 16 15;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;enddatamin=dplus(2)+dminus(2); !二級目標函數(shù);2*x(1)+2*x(2)12;for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i);dminus(1)

33、=0;!一級目標約束;for(variable:gin(x);end求得目標函數(shù)的最優(yōu)值為求得目標函數(shù)的最優(yōu)值為0 0，即第二級的偏差仍為，即第二級的偏差仍為0 0。.63求第三級目標，LINGO 程序如下：model:sets:variable/1.2/:x;S_Con_Num/1.4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=1500 0 16 15;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;enddatamin=3*dplus(3)+3*dminus(3)+dplus(4); !三級目標函數(shù);2*x(1)+2*

34、x(2)12;for(S_Con_Num(i):sum(Variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i);dminus(1)=0;!一級目標約束;dplus(2)+dminus(2)=0;!二級目標約束;end目標函數(shù)的最優(yōu)值為目標函數(shù)的最優(yōu)值為2929，即第三級偏差為，即第三級偏差為2929。.64分析計算結果， 。 因此，目標規(guī)劃的最優(yōu)解為 。最優(yōu)利潤為1600。1212,4,100 xxd*(2,4)x .65多目標規(guī)劃的LINGO通用程序model:sets:level/1.3/:p,z,goal;variable/1.2/:x;h_con

35、_num/1.1/:b;s_con_num/1.4/:g,dplus,dminus;h_con(h_con_num,variable):a;s_con(s_con_num,variable):c;obj(level,s_con_num)/1 1,2 2,3 3,3 4/:wplus,wminus;endsetsdata:ctr=?;goal=? ? 0;b=12;g=1500 0 16 15;a=2 2;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;wplus=0 1 3 1;wminus=1 1 3 0;enddatamin=sum(level:p*z);p(ctr)=1;for(level

36、(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);for(level(i):z(i)=sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j);for(h_con_num(i):sum(variable(j):a(i,j)*x(j)b(i);for(s_con_num(i):sum(variable(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i);for(level(i)|i #lt# size(level):bnd(0,z(i),goal(i);end.66當程序運行時，會出現(xiàn)一個對話框。在做第一級目標計算時，ctr

37、輸入1，goal(1)和goal(2)輸入兩個較大的值，表明這兩項約束不起作用。求得第一級的最優(yōu)偏差為0，進行第二輪計算。在第二級目標的運算中，ctr 輸入2。由于第一級的偏差為0，因此goal(1)的輸入值為0，goal(2)輸入一個較大的值。求得第二級的最優(yōu)偏差仍為0，進行第三級計算。在第三級的計算中，ctr 輸入3。由于第一級、第二級的偏差均是0，因此，goal(1)和goal(2)的輸入值也均是0。 最終結果是： ，最優(yōu)利潤是1600 元，第三級的最優(yōu)偏差為29。122,4xx.67第三部分第三部分 多目標決策建模的應用實例多目標決策建模的應用實例 .68例考慮資源消耗如表例考慮資源消

38、耗如表1所示。所示。x1、x2、x3分別為甲、乙、丙分別為甲、乙、丙的產量。的產量。使企業(yè)在計劃期內總利潤最大的線性規(guī)劃模型為：使企業(yè)在計劃期內總利潤最大的線性規(guī)劃模型為： 產品產品 資源資源甲甲乙乙丙丙現(xiàn)有資源現(xiàn)有資源設備設備A312200設備設備B224200材料材料C451360材料材料D235300利潤（元利潤（元/件）件）403050表表1.69321503040maxxxxZ0003005323605420042220023321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx，最優(yōu)解最優(yōu)解X（50，30，10），），Z3400.70 現(xiàn)在決策者根據企業(yè)的實際情況和市場需求，

39、需要重新制現(xiàn)在決策者根據企業(yè)的實際情況和市場需求，需要重新制定經營目標，其目標的優(yōu)先順序是：定經營目標，其目標的優(yōu)先順序是：（1）利潤不少于）利潤不少于3200元；元；（2）產品甲與產品乙的產量比例盡量不超過）產品甲與產品乙的產量比例盡量不超過1.5；（3）提高產品丙的產量使之達到）提高產品丙的產量使之達到30件；件；（4）設備加工能力不足可以加班解決，能不加班最好不加班；）設備加工能力不足可以加班解決，能不加班最好不加班；（5）受到資金的限制，只能使用現(xiàn)有材料不能再購進。）受到資金的限制，只能使用現(xiàn)有材料不能再購進。解：設甲、乙、丙產品的產量分別為解：設甲、乙、丙產品的產量分別為x1、x2、

40、x3。如果按線性。如果按線性規(guī)劃建模思路，最優(yōu)解實質是求下列一組不等式的解規(guī)劃建模思路，最優(yōu)解實質是求下列一組不等式的解.7100030053236054200422200233005 . 13200503040321321321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，通過計算不等式無解，即使設備加班通過計算不等式無解，即使設備加班10小時仍然無解在實小時仍然無解在實際生產過程中生產方案總是存在的，無解只能說明在現(xiàn)有資際生產過程中生產方案總是存在的，無解只能說明在現(xiàn)有資源條件下，不可能完全滿足所有經營目標源條件下，不可能完全滿足所有經營目標這種情形是按事先制定的目標

41、順序逐項檢查，盡可能使得結果這種情形是按事先制定的目標順序逐項檢查，盡可能使得結果達到預定目標，即使不能達到目標也使得離目標的差距最小，達到預定目標，即使不能達到目標也使得離目標的差距最小，這就是目標規(guī)劃的求解思路，對應的解稱為滿意解下面建立這就是目標規(guī)劃的求解思路，對應的解稱為滿意解下面建立例例1的目標規(guī)劃數(shù)學模型的目標規(guī)劃數(shù)學模型 .72設設d為未達到目標值的差值，稱為負偏差變量，為未達到目標值的差值，稱為負偏差變量，d +為超過目標為超過目標值的差值，稱為正偏差變量，值的差值，稱為正偏差變量， d0、d0(1)設設d1未達到利潤目標的差值未達到利潤目標的差值, d1+ 為超過目標的差值為

42、超過目標的差值當利潤小于當利潤小于3200時時,d1且且d10,有有40 x1+30 x2+50 x3+d1=3200成立成立當利潤大于當利潤大于3200時，時，d1且且d1，有，有40 x1+30 x2+50 x3-d1+=3200成立成立當利潤恰好等于當利潤恰好等于3200時，時，d1=且且d1+=0,有有40 x1+30 x2+50 x3=3200成立成立實際利潤只有上述三種情形之一發(fā)生，因而可以將三個等式寫成一實際利潤只有上述三種情形之一發(fā)生，因而可以將三個等式寫成一個等式個等式40 x1+30 x2+50 x3+d1d1+=3200.733200503040min113211ddxx

43、xd（2）設）設 分別為未達到和超過產品比例要求的偏差變量分別為未達到和超過產品比例要求的偏差變量,則產量比例盡則產量比例盡 量不超過量不超過1.5的數(shù)學表達式為的數(shù)學表達式為：22dd 、05 . 1min22212ddxxd （3）設）設d3、d3分別為產品丙的產量未達到和超過分別為產品丙的產量未達到和超過30件的偏件的偏差變量，則產量丙的產量盡可能達到差變量，則產量丙的產量盡可能達到30件的數(shù)學表達式為：件的數(shù)學表達式為： 30min3333ddxd利潤不少于利潤不少于3200理解為達到或超過理解為達到或超過3200，即使不能達到也要盡，即使不能達到也要盡可能接近可能接近3200,可以表

44、達成目標函數(shù)可以表達成目標函數(shù)d1取最小值，則有取最小值，則有.74（4） 設設d4 、d4+為設備為設備A的使用時間偏差變量的使用時間偏差變量, d5、d5+為設備為設備B的使用時間偏差變量，最好不加班的含義是的使用時間偏差變量，最好不加班的含義是 d4+ 和和d5+同時取最小同時取最小值，等價值，等價 于于d4+ + d5+取最小值，則設備的目標函數(shù)和約束為：取最小值，則設備的目標函數(shù)和約束為： 451234412355min()32200224200ddxxxddxxxdd（5）材料不能購進表示不允許有正偏差，約束條件為小于等于）材料不能購進表示不允許有正偏差，約束條件為小于等于約束約束

45、由于目標是有序的并且四個目標函數(shù)非負，因此目標函數(shù)可以由于目標是有序的并且四個目標函數(shù)非負，因此目標函數(shù)可以表達成一個函數(shù)：表達成一個函數(shù)：.75)(min544332211ddPdPdPdPz式中：式中：Pj（j=1,2,3,4）稱為目標的優(yōu)先因子，第一目標優(yōu)于第二目）稱為目標的優(yōu)先因子，第一目標優(yōu)于第二目標，第二目標優(yōu)于第三目標等等，其含義是按標，第二目標優(yōu)于第三目標等等，其含義是按P1、P2、的次序的次序分別求后面函數(shù)的最小值分別求后面函數(shù)的最小值.則問題的目標規(guī)劃數(shù)學模型為：則問題的目標規(guī)劃數(shù)學模型為：5, 2 , 1, 0,0, 0, 030053236054200422200233

46、005 .(min3213213215532144321333222111321544332211jddxxxxxxxxxddxxxddxxxddxddxxddxxxddPdPdPdPzjj、且為整數(shù).76約束約束實際實際 偏差偏差目標目標1 1 C1C132203220= =320032002 2 C2C22 2= =0 03 3 C3C33030= =30304 4 C4C4164164= =2002005 5 C5C5216216= =2002006 6 C6C6242242118118=3603607 7 C7C72662663434=3003001 1 X1

47、X128282 2 X2X220203 3 X3X330304 4 d1-d1-0 05 5 d1+d1+20206 6 d2-d2-2 27 7 d2+d2+0 08 8 d3-d3-0 09 9 d3+d3+0 01010 d4-d4-36361111 d4+d4+0 01212 d5-d5-0 01313 d5+d5+1616滿意解：滿意解：約束分析：約束分析：120d22d436d516d.77例例2 車間計劃生產車間計劃生產I、II 兩種產品，每種產品均需經過兩種產品，每種產品均需經過A、B、 C三三道工序加工工藝資料如表道工序加工工藝資料如表2所示所示 產品產品工序工序產品甲產品甲

48、產品乙產品乙每天加工能力每天加工能力(小時小時)A22120B12100C2.20.890產品售價產品售價(元元/件件)5070產品利潤產品利潤(元元/件件)108（1）車間如何安排生產計劃，使產值和利潤都盡可能高）車間如何安排生產計劃，使產值和利潤都盡可能高;（2）如果認為利潤比產值重要，怎樣決策。）如果認為利潤比產值重要，怎樣決策。表表2.78解：設解：設x1、x2分別為產品甲和產品乙的日產量，得到線性多目分別為產品甲和產品乙的日產量，得到線性多目標規(guī)劃模型：標規(guī)劃模型：0908 . 02 . 2100212022810max7050max21212121212211xxxxxxxxxxZ

49、xxZ、.79（1）將模型化為目標規(guī)劃問題首先，通過分別求產值最大和）將模型化為目標規(guī)劃問題首先，通過分別求產值最大和利潤最大的線性規(guī)劃最優(yōu)解利潤最大的線性規(guī)劃最優(yōu)解產值最大的最優(yōu)解：產值最大的最優(yōu)解：X(1)（20，40），），Z13800利潤最大的最優(yōu)解：利潤最大的最優(yōu)解：X (2) （30，30），），Z2540目標確定為產值和利潤盡可能達到目標確定為產值和利潤盡可能達到3800和和540，得到目標規(guī)劃數(shù)，得到目標規(guī)劃數(shù)學模型：學模型：2 , 1, 0908 . 02 . 210021202254081038007050min2121212221112121jddxxxxxxxddxxd

50、dxxddZjjj、.80,等價于等價于213minddZ1221mindpdpZ（2）給）給 d2- 賦予一個比賦予一個比d1-的系數(shù)大的權系數(shù)的系數(shù)大的權系數(shù),如如 ，約束條件不變，約束條件不變.權系數(shù)的大小依據重要權系數(shù)的大小依據重要程度給定，或者根據同一優(yōu)先級的偏差變量的關系給定，例如，程度給定，或者根據同一優(yōu)先級的偏差變量的關系給定，例如，當利潤當利潤d2-減少一個單位時，產值減少一個單位時，產值d1-減少減少3個單位，則賦予個單位，則賦予d2-權權系數(shù)系數(shù)3，則目標函數(shù)為，則目標函數(shù)為 12min3Zdd.81例例3 3 某單位領導在考慮本單位職工的升級調資方案時，依次某單位領導在

51、考慮本單位職工的升級調資方案時，依次遵守以下規(guī)定：遵守以下規(guī)定：(1)(1)不超過年工資總額不超過年工資總額6000060000；(2)(2)每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)；每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)；(3),(3),級的升級面盡可能達到現(xiàn)有人數(shù)的級的升級面盡可能達到現(xiàn)有人數(shù)的2020，且無越級，且無越級提升；提升；(4)(4)級不足編制的人數(shù)可錄用新職工，又級不足編制的人數(shù)可錄用新職工，又級的職工有級的職工有1010要退休。要退休。有關資料匯總下表有關資料匯總下表3 3，問如何擬定滿意的方案？，問如何擬定滿意的方案？.82等級工資額（元/年）現(xiàn)有人數(shù)編制人數(shù)200010121500121

52、510001515合計3742表表3.83解：解： 1 1）設定決策變量。假設）設定決策變量。假設x1，x2 ， x3分別表示提升到分別表示提升到、級和錄用到級和錄用到級的新職工人數(shù)。級的新職工人數(shù)。 2 2）確定所需考慮的各個目標的優(yōu)先級及權系數(shù)。）確定所需考慮的各個目標的優(yōu)先級及權系數(shù)。對各目標的優(yōu)先因子確定為：對各目標的優(yōu)先因子確定為： P1 1：不超過年工資總額：不超過年工資總額6000060000元；元； P2: 2: 每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)；每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)； P3 3：、級升級面盡可能達到現(xiàn)有人數(shù)的級升級面盡可能達到現(xiàn)有人數(shù)的2020；3 3）將各個目標寫入

53、目標規(guī)劃的約束條件。）將各個目標寫入目標規(guī)劃的約束條件。.84年工資總額不超過年工資總額不超過60000元；元；11223112000 10 10 0.11500(12)1000 1560000 xxxxxdd每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)1221233234410 1 0.11212151515xddxxddxxdd、級的升級面盡可能達到現(xiàn)有人數(shù)的級的升級面盡可能達到現(xiàn)有人數(shù)的20，但盡可能多，但盡可能多提；提；15526612 0.215 0.2xddxdd.854 4）確定各個目標約束對于各自正負偏差量的的要求。）確定各個目標約束對于各自正負偏差量的的要求。 P1 1：不超過年工資總額：不超過年工資總額6000060000元元 d1 1+ +盡量小盡量小 P2: 2: 每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù) d2 2+ +，d3 3+ +，d4 4+ + 盡量小盡量小 P3 3：、級升級面盡可能達到現(xiàn)有人數(shù)的級升級面盡可能達到現(xiàn)有人數(shù)的20