ANOVA 統計學之方差分析

1、.1方差分析方差分析Analysis of Variance （ANOVA ) 因素也稱為因素也稱為處理處理，每，每一處理因素至少有兩個一處理因素至少有兩個水平水平(level)（也稱（也稱“處理組處理組”）。）。 一個一個因素因素（水平水平間獨立）間獨立） 單向方差分析單向方差分析 （第十章）（第十章） 兩個兩個因素因素（水平水平間獨立或相關）間獨立或相關）雙向方差分析雙向方差分析 （第十一章）（第十一章） 一個個體多個測量值一個個體多個測量值重復測量資料的方差分析重復測量資料的方差分析 ANOVA與回歸分析相結合與回歸分析相結合協方差分析協方差分析 目的：目的：用這類資料的樣本信息來推斷各

2、處理組間用這類資料的樣本信息來推斷各處理組間多個總多個總體均數體均數的差別有無統計學意義。的差別有無統計學意義。.2SiS1S2S3S4合計值5.99 4.15 3.78 4.71 6.65 .3.4 ANOVA ANOVA 由英國統由英國統計學家計學家R.A.FisherR.A.Fisher首首創(chuàng)，為紀念創(chuàng)，為紀念FisherFisher，以，以F F命名，故方差分析又命名，故方差分析又稱稱 F F 檢驗檢驗 （F F testtest）。用于推斷）。用于推斷多個多個總體均數總體均數有無差異有無差異 .5第十章第十章 單向方差分析單向方差分析One-way analysis of varia

3、nce第一節(jié)第一節(jié) 方差分析的基本思想方差分析的基本思想 將所有測量值間的總變異總變異按照其變異的來源分解為多個部份分解為多個部份，然后進行比較，評價由某種因素某種因素所引起的變異是否具有統計學意義。.6一、離均差平方和的分一、離均差平方和的分解解組間變異組間變異總變異總變異組內變異組內變異.7對于例對于例8-1（完全隨機設計）（完全隨機設計）資料，共有三種不同的變異資料，共有三種不同的變異 總變異總變異（Total variation）：全部測量值）：全部測量值Yij與與總均數總均數 間的差異間的差異 組間變異組間變異（ between group variation ）：各）：各組的均數組

4、的均數 與總均數與總均數 間的差異間的差異組內變異組內變異（within group variation )：每組的：每組的每個測量值每個測量值Yij與該組均數與該組均數 的差異的差異下面用下面用離均差平方和離均差平方和(sum of squares of (sum of squares of deviations from meandeviations from mean，SSSS) )反映變異的大小反映變異的大小 20.0Y YiYiY 1. 1. 總變異總變異: : 所有測量值之間總所有測量值之間總的變異程度，的變異程度，計算公式計算公式22111122,1)iinnaaijijijij

5、Niji jSSYYYCYCNS 總(2211,()()inaNijijiji jYYCNN校正系數校正系數：1N總 2 2組間變異：組間變異：各組均數與總均數的各組均數與總均數的離均差平方和，離均差平方和，計算公式為計算公式為21211()()inijjaaiiiiiYSSn YYCn組間1a組間SS組間反映了各組均數 的變異程度組間變異組間變異隨機誤差隨機誤差+ +處理因素效應處理因素效應 iY21121()(1)inaijiijaiiiSSYYnS 組 內Na組內 3組內變異：在同一處理組內，雖然每個受試對象接受的處理相同，但測量值仍各不相同，這種變異稱為組內變異，也稱SS誤差。 用各組

6、內各測量值Yij與其所在組的均數差值的平方和來表示，反映隨機誤差的影響。計算公式為三種三種“變異變異”之間的關系之間的關系離均差平方和離均差平方和分解分解：One-Factor ANOVA Partitions of Total VariationVariation Due to Treatment SSBVariation Due to Random Sampling SSWTotal Variation SSTFCommonly referred to as:oSum of Squares Within, oroSum of Squares Error, oroWithin Groups

7、VariationFCommonly referred to as:oSum of Squares Among, oroSum of Squares Between, oroSum of Squares Model, oroAmong Groups Variation=+ 均方差，均方均方差，均方( (mean square，MS) ) 二、二、F 值與值與F分布分布，.15F 分布曲線分布曲線10,10215, 1215, 52122121122/22/12121121)(222)(FFFf.16F 界值表界值表附表附表5 5 F F界值表（方差分析用，單側界值）界值表（方差分析用，單側界值

8、）上行：上行：P P=0.05 =0.05 下行：下行：P P=0.01=0.01分母自由度分母自由度2 2分子的自由度，分子的自由度，1 11 12 23 34 45 56 6 1 1161161200200216216225225230230234234 405240524999499954035403562556255764576458595859 2 218.5118.5119.0019.0019.1619.1619.2519.2519.3019.3019.3319.33 98.4998.4999.0099.0099.1799.1799.2599.2599.3099.3099.3399

9、.33 25254.244.243.393.392.992.992.762.762.602.602.492.49 7.777.775.575.574.684.684.184.183.853.853.633.63 5.17F F 分布曲線下面積與概率分布曲線下面積與概率.18.19第二節(jié)第二節(jié) 實例實例8.18.1的方差分析的方差分析.20H0： 即即4個試驗組總體均數相等個試驗組總體均數相等 H1：4個試驗組總體均數個試驗組總體均數不全相等不全相等 檢驗水準檢驗水準 12340.05一、一、 建立檢驗假設建立檢驗假設.21SiS1S2S3S4合計值5.99 4.15 3.78 4.71 6.6

10、5 .22二、二、 計算離均差平方、自由度、均方計算離均差平方、自由度、均方.23三、計算三、計算F值值.24四、下結論四、下結論 注意：當組數為注意：當組數為2時，完全隨機設計的方時，完全隨機設計的方差分析結果與兩樣本均數比較的差分析結果與兩樣本均數比較的t檢驗結果等檢驗結果等價，對同一資料價，對同一資料,有：有：tF.25第三節(jié)第三節(jié) 平均值之間的多重比較平均值之間的多重比較不拒絕不拒絕H0，表示拒絕總體均數相等的證據，表示拒絕總體均數相等的證據不足不足 分析終止。分析終止。拒絕拒絕H0，接受，接受H1, 表示總體均數不全相等表示總體均數不全相等哪兩兩均數之間相等？哪兩兩均數之間相等？哪兩

11、兩均數之間不等？哪兩兩均數之間不等？ 需要進一步作多重比較。需要進一步作多重比較。.26控制累積控制累積類錯誤概率增大的方法類錯誤概率增大的方法采用采用Bonferroni法、法、SNK法和法和Tukey法等方法法等方法.27累積累積類錯誤的概率為類錯誤的概率為 當有當有k個均數需作兩兩比較時，比較的次數共有個均數需作兩兩比較時，比較的次數共有c= k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2設每次檢驗所用設每次檢驗所用類錯誤的概率水準為類錯誤的概率水準為，累積，累積類錯誤的概率為類錯誤的概率為，則在對同一實驗資料進行，則在對同一實驗資料進行c次檢次檢驗時，在樣本彼此獨立的條件下，根據概率乘法

12、原理，驗時，在樣本彼此獨立的條件下，根據概率乘法原理，其累積其累積類錯誤概率類錯誤概率與與c有下列關系：有下列關系：1(1)c (8.6)例如，設例如，設0.05，c=3(即即k=3)，其累積，其累積類錯誤類錯誤的概率為的概率為1(1-0.05)3 =1-(0.95)3 = 0.1432k .28一、一、BonferroniBonferroni法法方法：采用方法：采用/c作為下結論時所采用的作為下結論時所采用的檢驗水準。檢驗水準。c為兩兩比較次數，為兩兩比較次數， 為累積為累積I類錯誤的概率。類錯誤的概率。12,11ihiheYYYYtNaSMSnn組內組內（）.29例例8-18-1四個均值的

13、四個均值的BonferroniBonferroni法比較法比較 設設/c0.05/6=0.0083,由此由此t的臨的臨界值為界值為t（0.0083/2,20）=2.927118.528.0(:),244201122.3866(:C)0.072.9271,(:)1.3523.482.92713.402.92714.832.9.9271(:), (:),(:)1.432271.9271t A Bt At A Dt B Ct BtBDC D 同理只有有統計學意義，其他與其他各無統計組間差異學意義。.30BonferroniBonferroni法的適用性法的適用性 當當比較次數不多時比較次數不多時，B

14、onferroni法的效果法的效果較好。較好。 但當但當比較次數較多比較次數較多(例如在例如在10次以上次以上)時，時，則由于其檢驗水準選擇得過低，結論偏于保則由于其檢驗水準選擇得過低，結論偏于保守。守。.31二、二、SNKSNK法法 SNK(student-Newman-Keuls)法又稱q檢驗，是根據q值的抽樣分布作出統計推論（例8-1）。1將各組的平均值按由大到小的順序排列由大到小的順序排列： 順序順序(1)(2)(3)(4) 平均值平均值28.018.718.514.8 原組號原組號BCAD2. 計算兩個平均值之間的差值及組間跨度差值及組間跨度k，見表8-3第(2)、 (3)兩列。3.

15、 計算統計量計算統計量q值值4. 根據計算的q值及查附表6得到的q界值（p286），作出統計統計推斷推斷。.32附表附表6.33.34第四節(jié)第四節(jié) 方差分析的假定條件和數據轉換方差分析的假定條件和數據轉換 一、方差分析的假定條件一、方差分析的假定條件（上述條件與兩均數比較的上述條件與兩均數比較的t檢驗檢驗的應用條件相同。）的應用條件相同。）1.各處理組樣本來自隨機、獨立的正態(tài)總體(D法、W法、卡方檢驗)；2.各處理組樣本的總體方差相等（不等會增加I型錯誤的概率，影響方差分析結果的判斷） 二、方差齊性檢驗二、方差齊性檢驗1. Bartlett檢驗法2. Levene等3. 最大方差與最小方差之比

16、3,初步認為方差齊同。.351. Bartlett 檢驗法.362. Levene 檢驗法 將原樣本觀察值作離均差變換，或離均差平方變換，然后執(zhí)行完全隨機設計的方差分析，其檢驗結果用于判斷方差是否齊性。 因為levene檢驗對原數據是否為正態(tài)不靈敏，所以比較穩(wěn)健。目前均推薦采用LEVENE方差齊性檢驗.37 三、數據變換三、數據變換 改善數據的正態(tài)性或方差齊性。使之滿足方差分析的假定條件。 平方根反正弦變換適用于二項分布率（比例）數據。 平方根變換適用于泊松分布的計數資料 對數變換適用于對數正態(tài)分布資料XY11sinsin180XYXY或10log ( )XY.38第五節(jié)第五節(jié) 完全隨機設計方法簡介完全隨機設計方法簡介將將120120名高血脂患者完全隨機分成名高血脂患者完全隨機分成4 4個例數相等的組個例數相等的組 1. 1. 編號：編號：120120名高血脂患者從名高血脂患者從1 1開始到開始到120120，見下面表第，見下面表第1 1行；行；2. 2. 取隨機數字：取隨機數字：從附表從附表1515中的任一行任中的任一行任一列開始，如第一列開始，如第5 5行第行第7 7列開始，依次列開始，依次讀取三位數作為一個隨機數錄于編號讀取三位數作為一個隨機數錄于編號