全等、軸對稱、勾股定理

1、第一章 全等三角形1.如圖所示，ABCADE，BC的延長線過點E，ACB=AED=105°，CAD=10°，B=50°，求DEF的度數(shù) 。ABCFDE 2.如圖，AOB中，B=30°，將AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°得到AOB邊AB與邊OB交于點C（A不在OB上），則ACO的度數(shù)為 。BAABOC 3如圖所示，在ABC中，A=90°，D,E分別是AC,BC上的點，若ADBEDBEDC,則C的度數(shù)是 。DECBA4.如圖所示，把ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到ABC,AB交AC于點D，若ADC=90°，則A= 。BD

2、ACBA5如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC,AC=DB，已知ABC=60°，求ADC的度數(shù)。BADC6已知，如圖所示，AB=AC,ADBC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,則AD= .ABDC7如圖，RtABC中，BAC=90°，AB=AC,分別過點B，C,作過點A的直線的垂線BD,CE,垂足為D,E，若BD=3，CE=2,則DE= .DAECB8如圖，AD是ABC 的角平分線，DEAB,DFAC,垂足分別是E,F，連接EF,交AD于G,AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論。BDCFAEG1.如圖，已知ABC中，延長AC邊上的中線BE到

3、G，使EG=BE，延長AB邊上的中線CD到F，使DF=CD,連接AF,AG.(1) 補全圖形(2) AF于AG的大小關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。(3) F,A,G三點的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。CEEADB2.如圖，在ABC中，ADBC，CEAB,垂直分別為D,E,AD,CE交于點H，已知EH=EB=3,AE=4,求CH的長。AEDCBH3.已知，如圖，AB=AE, B=E, BAC=EAD, CAF=DAF.求證：AFCDABEDFC4.如圖，AD=BD,ADBC于D,BEAC于E,AD于BE相交于點H，則BH與AC相等嗎？為什么？ BAEHDC5DAC, EBC均是等邊三角形，AE,BD分別

4、與CD,CE交于點M,N,求證：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) CMN為等邊三角形（4）MNBCEEDACBNM6如圖，在ABC中，B=60°，AD,CE是ABC的角平分線，且交于點O.求證：AC=AE+CDAEBDC7如圖，在ABC中，M是BC中點，AN平分BAC,AN垂直BN于N ,已知AB=10,AC=16,求MN的長。（中位線：連接三角形兩邊中點的線段，平行且等于第三邊的一半）ABNCM8在ABC中，A=90°，AB=AC,M是AC邊上的中點，ADBM交BC于D,交BM于E.求證：AMB=DMCBAEMCD1已知如圖所示，ADC=ABC=90°

5、，AD=CD,DPAB于P,DP=3,求四邊形ABCD的面積。APBCD2.ABC內(nèi)，BAC=60°，ACB=40°，P，Q分別在邊BC,CA上，并且AP,BQ分別是BAC , ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BPABPCQ3.已知D是ABC的邊BC上一點，且CD=AB, BDA=BAD,AE是ABD的中線。求證：AC=2AEBEDCA4.已知：BD，CE是ABC的高，點F在BD上，BF=AC,點G在CE的延長線上，CG=AB.求證:AGAFBCDAGEF5如圖所示，在ABC中，ABC=110°，ACB=40°，CE是ACB的角平分線，D是AC

6、上一點，若CBD=40°，求CED的度數(shù)。ADCBE6.如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD 的中點，點F在BC上，且DAE=FAE.求證：AF=AD+CFABFCED7已知：在ABC中，BAC=90°，AB=AC,AE是過點A的一條直線，且BDAE于D，CEAE于E,(1)當直線AE處于如圖的位置時，有BD=DE+CE,請說明理由；（2）當直線AE處于如圖的位置時，則BD,DE,CE的關(guān)系如何？請說明理由；（3）歸納（1）（2），請用簡潔的語言表達BD,DE,CE之間的關(guān)系。BADEC BCEAD 1.如圖所示，已知ABC中，AB=AC,D是CB延長線上一點，ADB=60

7、°，E是AD上一點，且DE=DB,求證：AE=BE+BCADEBC2如圖所示，BAC=90°，AB=AC,AE是過A的一條直線，B,C在AE的異側(cè)，BDAE于D,C, CEAE于E,求證：BD=DE+CEABDEC3.如圖所示，已知，AD為ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.求證：BEACABDCEF4.如圖所示，在ABC中，AD為BAC的角平分線，DEAB于E,DFAC于F, ABC的面積是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的長。AEFBDC5.如圖所示，已知在AEC中，E=90°，AD平分EAC,DFAC,

8、垂足為F,DB=DC.求證：BE=CF.ABFCDE6如圖所示，在ABC中，AB=AC, A=100°，BD平分ABC.求證：AD+BD=BCABDC7.如圖所示，ABE和ADC是ABC分別沿邊AB和AC翻折180°形成的，若1：2：3=28：5：3，則4的度數(shù) 。BAEDC2138.如圖所示，ABC中，ACB=110°，ABC=40°，BE平分ABC交AC于點E，D是AB邊上一點，DCB=40°，求DEC的度數(shù)。CBDEA1. 如圖所示，BD=DC,DEBC,交BAC的平分線于E，EMAB,ENAC,求證：BM=CNACNEMBD2. 如圖所

9、示，B=C=90°，M是BC上一點，且AMD=90°，DM平分ADC。求證：AM平分DABABBMDC2已知：如圖3-49，ADBC，1=2，3=4，直線DC過E點交AD于D，交BC于C求證：ADBC=AB3.如圖：已知中，是中點，是AC邊上的一個動點，連接PF，把繞順時針旋轉(zhuǎn)90度時與重合，回答下列問題：（1）判斷的形狀，并說明理由（2）在中，若AB=2cm，求四邊形AEPF的面積BACFPE4已知：如圖3-50，AB=DE，直線AE，BD相交于C，BD=180°，AFDE，交BD于F求證：CF=CD5.如圖所示，已知ABC中，AB=AC,D是CB延長線上一點，

10、ADB=60°，E是AD上一點，且DE=DB,求證：AE=BE+BCADEBC23.如圖, AOB是一個任意角,在邊OA,OB上分別取OM=ON,移動角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與M,N重合,過角尺頂點C的射線OC便是AOB的平分線,為什么?5、如圖ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點P，（1）求證：PA=PB=PC（2）點P是否也在AC的垂直平分線上呢？（12分）2、如圖，OC是AOB的平分線，P是OC上一點，PDOA于D，PEOB于E，F(xiàn)是OC上一點，連接DF和EF，求證：DF=EF。（10分）3、如圖，AD是ABC的角平分線，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F，連接EF

11、，EF與AD交于G，AD與EG垂直嗎？證明你的結(jié)論。BADCEF24已知：如圖，BFAC于點F，CEAB于點E，且BD=CD 求證：BDECDF 點D在A的平分線上27在ABC中，A=90°，AB=AC，BD平分ABC交AC于點D，CEBD于E，若BD=m，CE=n,試探究m，n之間的關(guān)系式。25如圖所示，BD是ABC的平分線，DEAB于點E，AB=36 cm，BC=24 cm，SABC=144 cm，求DE的長（ 8分 ）26已知：如圖1，點C為線段AB上一點，ACM，CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F (1)求證：AN=BM； (2)求證：CEF為等邊三角形

12、；(3)將ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90 O，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）（ 8分 ）19、如圖，已知ABCD，O是ACD與BAC的平分線的交點，OEAC于E，且OE2，則AB與CD之間的距離為ABDCOE第19題10 如圖，ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條角平分線將ABC分為三個三角形，則SABOSBCOSCAO等于（ ）A111 B123 C234 D34515正方形ABCD中,AC、BD交于O,EOF90o,已知AE3,CF4,則SBEF為.12如圖所示，已知ABC和BDE都是等邊三角

13、形。下列結(jié)論： AE=CD；BF=BG；BH平分AHD；AHC=600,BFG是等邊三角形； FGAD。其中正確的有（ ）A 3個 B 4個 C 5個 D 6個16如圖所示，AD是ABC中BC邊上的中線，若AB=2，AC=4，則AD的取值范圍是 ABDC20（2008年泰安市）兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC（8分）（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：DC圖1圖2DCEAB22如圖，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，點D是AB的中點，A

14、FCD于H交BC于F，BEAC交AF的延長線于E，求證：BC垂直且平分DE. （8分）23、如圖：在ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。（8分） 求證：（1）AD=AG，（2）AD與AG的位置關(guān)系如何。24在ABC中,ACB90o,ACBC,直線MN經(jīng)過點C,且ADMN于D,BEMN于E. （10分）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時,求證: DEADBE當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時,求證: DEADBE;當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時,試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系.25.

15、如圖，過線段AB的兩個端點作射線AM、BN，使AMBN,按下列要求畫圖并回答：畫MAB、NBA的平分線交于E。（12分） （1）AEB是什么角？（2）過點E作一直線交AM于D，交BN于C，觀察線段DE、CE，你有何發(fā)現(xiàn)？（3）無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E，AD+BC=AB；AD+BC=CD誰成立？并說明理由。第二章 軸對稱圖形一、填空題：(每小題3分,共30分)1、軸對稱是指_個圖形的位置關(guān)系;軸對稱圖形是指_個具有特殊形狀的圖形。2、設(shè)A、B兩點關(guān)于直線MN對稱，則_垂直平分_。3、成軸對稱的漢字可以寫一些詞匯，如“蘋果”，請你也寫兩個：_。4、如圖1，AB=AC，

16、A=40o,AB的垂直平分線MN交AC于點D，則DBC=_。5、如圖2，若P為AOB內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于OA、OB的對稱點P1P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，則PMN的周長是_。6、已知A(a,-2)與B(,b)關(guān)于y軸對稱，則a=_,b=_。7、等腰三角形的一個角為40o,那么另外兩個角的度數(shù)為_。8、等腰三角形的一邊長為8cm，周長為30cm，另外兩邊長為_。9、等腰三角形的一腰上的高與底邊夾角為12o，則頂角的度數(shù)為_。10、如圖3，若B、D、F在MN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，A=20o,則FEB=_。二、選擇題：（每小題3分

17、，共24分）11、如圖4，四個圖形中，是軸對稱圖形的有（ ）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個12、如圖5，圖中有且只有三條對稱軸的是( )13、下列說法正確的是( )A.若兩個三角形全等,那么它們一定關(guān)于某一條直線對稱；B.兩個關(guān)于某一條直線對稱的三角形一定全等；C.兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,對稱點一定在直線同旁；D.兩個圖形對應(yīng)點連線垂直于某一條直線,那么這兩個圖形關(guān)于這長直線對稱14、如圖6,已知矩形ABCD沿著AE折疊,使D點落在BC邊上的F處,如果BAF=60o,則DAE=( )A.15o B.30o C.45o D.60o 15、下列敘述正確的語句是( )A.等腰三角形兩腰上的

18、高相等； B.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合C.頂角相等的兩個等腰三角形全等；D.兩腰相等的兩個等腰三角形全等16、如圖7:AB=AC=BD,則1和2的關(guān)系是( ) A. 1=22 B. 21+2=180o C. 1+32=180o D. 31-2=180o 17、如圖8，ABC中，AB=AC，A=36o，BD平分ABC交AC于點D， DEAB交BC于E，EFBD交CD于F，則圖中等腰三角形的個數(shù)為( ) A.5個 B.6個 C.7個 D.8個18、如圖9, ABC中，AB=AC=BC,CD是ACB的平分線,過D作DEBC交AC于E,若ABC的邊長為a,則ADE的周長是( )A.2a

19、B.a C.a D.a一、填空題1經(jīng)過_并且_的_ 叫做線段的垂直平分線2線段的垂直平分線有如下性質(zhì)：線段的垂直平分線上的_與這條線段_的_相等3線段的垂直平分線的判定，由于與一條線段兩個端點距離相等的點在_，并且兩點確定_，所以，如果兩點M、N分別與線段AB兩個端點的距離相等，那么直線MN是_4完成下列各命題：（1）線段垂直平分線上的點，與這條線段的_；（2）與一條線段兩個端點距離相等的點，在_；（3）不在線段垂直平分線上的點，與這條線段的_；（4）與一條線段兩個端點距離不相等的點，_；（5）綜上所述，線段的垂直平分線是_的集合 圖215如圖21，若P是線段AB的垂直平分線上的任意一點，則（

20、1）PAC_； （2）PA_；（3）APC_； （4）A_6ABC中，若ABAC2cm，BC的垂直平分線交AB于D點，且ACD的周長為14cm，則AB_，AC_.7如圖22，ABC中，ABAC，AB的垂直平分線交AC于P點（1）若A35°，則BPC_；（2）若AB5 cm，BC3 cm，則PBC的周長_圖22一、填空題（每題2分，共32分）1線段軸是對稱圖形，它有_條對稱軸，正三角形的對稱軸有 條2下面是我們熟悉的四個交通標志圖形，請從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個與其他三個不同？請指出這個圖形，并說明理由答：這個圖形是： （寫出序號即可），理由是 3等腰ABC中，若A=30°

21、，則B=_4ABC中，ADBC于D，且BD=CD，若AB=3，則AC=_ _5在RtABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若CD=4，則點D到AB的距離是_6判斷下列圖形（如圖所示）是不是軸對稱圖形.7等腰ABC中，AB=AC=10，A=30°，則腰AB上的高等于_8如圖，ABC中，AD垂直平分邊BC，且ABC的周長為24，則AB+BD = ；又若CAB=60°，則CAD = BECDAABCDBHFAECGO第8題圖 第9題圖 第10題圖9如圖，ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，設(shè)EF與GH相交于O，則點O與邊BC的關(guān)系如何？請用一句話表示

22、： 10如圖：等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=6，AD=5，BC=8，且ABDE，則DEC的周長是_11請在下面這一組圖形符號中找出它們所蘊含的內(nèi)在規(guī)律，然后在橫線上的空白處填上恰當?shù)膱D形. 12等腰梯形的腰長為2，上、下底之和為10且有一底角為60°，則它的兩底長分別為_13等腰三角形的周長是25 cm,一腰上的中線將周長分為32兩部分，則此三角形的底邊長為_ _. 14如圖，三角形1與_成軸對稱圖形，整個圖形中共有_條對稱軸第14題圖 第15題圖 第16題圖 15如圖，將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使點C恰好落在如圖C1的位置，若DBC=30º，則ABC1=_1

23、6如圖是小明制作的風箏，為了平衡制成了軸對稱圖形，已知OC是對稱軸，A=35º，BCO=30º，那么AOB=_ _ 三、解答下列各題：（19、20兩題各7分，2124題各8分，共46分）19、如圖10,牧童在A處放牛,其家在B處,A、B到河岸的距離分別為AC、BD,若A到河岸CD的中點的距離為500米.(1) 牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家,試問在何處飲水,所走路程最短? (2)最短路程是多少?20、如圖11，斜折一頁書的一角，使點A落在同一頁書內(nèi)的處，DE為折痕，作DF平分DB，試猜想FDE等于多少度，并說明理由。21、如圖12，在RtABC中，ABC=90o，D、E

24、在AC上，且AB=AD，CB=CE。求EBD的度數(shù)。22、如圖13，某船在上午11點30分在A處觀測島B在東偏北30o，該船以10海里/時的速度向東航行到C處，再觀測海島在東偏北60o，且船距海島40海里。(1)求船到達C點的時間；(2)若該船從C點繼續(xù)向東航行，何時到達B島正南的D處？23、如圖14，已知在ABC中，AB=AC，BAC=120o，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F。求證：BF=2CF。24、如圖15，(1)P是等腰三角形ABC底邊BC上的一人動點，過點P作BC的垂線，交AB于點Q，交CA的延長線于點R。請觀察AR與AQ，它們有何關(guān)系？并證明你的猜想。(2)如果點P

25、沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延長線上時，(1)中所得的結(jié)論還成立嗎？請你在圖15(2)中完成圖形，并給予證明。一、解答題8已知：如圖23，線段AB求作：線段AB的垂直平分線MN作法：圖239已知：如圖24，ABC及兩點M、N求作：點P，使得PMPN，且P點到ABC兩邊的距離相等作法：圖24拓展、探究、思考10已知點A在直線l外，點P為直線l上的一個動點，探究是否存在一個定點B，當點P在直線l上運動時，點P與A、B兩點的距離總相等如果存在，請作出定點B；若不存在，請說明理由圖2511如圖26，AD為BAC的平分線，DE AB于E，DFAC于F，那么點E、F是否關(guān)于AD對稱

26、？若對稱，請說明理由圖26二、解答題4試分別作出已知圖形關(guān)于給定直線l的對稱圖形（1）圖31（2）圖32（3）圖335如圖34所示，已知平行四邊形ABCD及對角線BD，求作BCD關(guān)于直線BD的對稱圖形（不要求寫作法）圖346如圖35所示，已知長方形紙片ABCD中，沿著直線EF折疊，求作四邊形EFCD關(guān)于直線EF的對稱圖形（不要求寫作法）圖357為了美化環(huán)境，在一塊正方形空地上分別種植不同的花草，現(xiàn)將這塊空地按下列要求分成四塊：（1）分割后的整個圖形必須是軸對稱圖形；（2）四塊圖形形狀相同；（3）四塊圖形面積相等，現(xiàn)已有兩種不同的分法：分別作兩條對角線 （圖），過一條邊的四等分點作該邊的垂線段

27、（圖），（圖中的兩個圖形的分割看作同一種方法）請你按照上述三個要求，分別在圖的三個正方形中，給出另外三種不同的分割方法（只畫圖，不寫作法）圖368已知：如圖37，A、B兩點在直線l的同側(cè)，點A'與A關(guān)于直線l對稱，連接A'B交l于P點，若A'Ba.（1）求APPB；（2）若點M是直線l上異于P點的任意一點，求證：AMMBAPPB圖379已知：A、B兩點在直線l的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點M（1）如圖38，在l上求作一點M，使得 AMBM 最小；作法：圖38（2）如圖39，在l上求作一點M，使得AMBM最大；作法：圖39（3）如圖310，在l上求作一點M，使得AMBM最

28、小圖31010（1）如圖311，點A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作一點P，使得四邊形APBC的周長最??；圖311（2）如圖312，已知線段a，點A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作兩點P、Q （點P在點Q的左側(cè)）且PQa，四邊形APQB的周長最小圖31211（1）已知：如圖313，點M在銳角AOB的內(nèi)部，在OA邊上求作一點P，在OB邊上求作一點Q，使得PMQ的周長最??；圖313（2）已知：如圖314，點M在銳角AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點P，使得點P到點M的距離與點P到OA邊的距離之和最小圖314二、解答題（共68分）17（5分）已知點M，N關(guān)于軸對稱，求的值18（5分）已知A

29、B=AC，BD=DC，AE平分FAC，問：AE與AD是否垂直？為什么？ABCDEF19（5分）如圖，已知：ABC中，BCAC，AB邊上的垂直平分線DE交AB于D，交AC于E，AC=9 cm，BCE的周長為15 cm，求BC的長 20（5分）如圖所示，已知ABC和直線MN求作：ABC，使ABC和ABC關(guān)于直線MN對稱（不要求寫作法，只保留作圖痕跡）21（5分）如圖，A、B兩村在一條小河的的同一側(cè)，要在河邊建一水廠向兩村供水（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址應(yīng)選在哪個位置？（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址應(yīng)選在哪個位置？請將上述兩種情況下的自來水廠廠址標出，并保留作圖痕跡

30、.B A .22（5分）如圖，在DABC中，AB=AC，ÐA=92°，延長AB到D，使BD=BC，連結(jié)DCADBC求ÐD的度數(shù)，ÐACD的度數(shù)23（5分）有一本書折了其中一頁的一角，如圖：測得AD=30cm,BE=20cm，BEG=60°，求折痕EF的長24（8分）如圖所示，在ABC中，CD是AB上的中線，且DA=DB=DC（1）已知A=，求ACB的度數(shù)；ADBC（2）已知A=，求ACB的度數(shù)；（3）已知A=，求ACB的度數(shù)；（4）請你根據(jù)解題結(jié)果歸納出一個結(jié)論25（6分）如圖所示，在等邊三角形ABC中，B、C的平分線交于點O，OB和OC的垂直

31、平分線交BC于E、F，試用你所學的知識說明BE=EF=FC的道理ABOEFCAFBCDE26（7分）已知AB=AC，D是AB上一點，DEBC于E，ED的延長線交CA的延長線于F，試說明ADF是等腰三角形的理由27（7分）等邊ABC中，點P在ABC內(nèi)，點Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，問APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論ACBPQ28（5分）如圖是一張畫有小方格的等腰直角三角形紙片，將圖按箭頭方向折疊成圖，再將圖按箭頭方向折疊成圖（1）請把上述兩次折疊的折痕用實線畫在圖中（2）在折疊后的圖形中，沿直線l剪掉標有A的部分，把剩余部分展開，將所得到的圖形在圖中用陰影表示出來新課標第

32、一網(wǎng)第三章 勾股定理類型一：勾股定理的直接用法 1、如圖B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少? 類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用1、如圖，已知：在中，. 求：BC的長. 舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P. 求證：. 【變式2】已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 類型三：勾股定理的實際應(yīng)用 （一）用勾股定理求兩點之間的距離問題 1、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達B點，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達目的地C

33、點。 （1）求A、C兩點之間的距離。 （2）確定目的地C在營地A的什么方向。 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門? （二）用勾股定理求最短問題 1、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線 舉一反三 【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱

34、的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程 類型四：利用勾股定理作長為的線段1、作長為、的線段。 思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如圖所示 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點。 作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑， 以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理 1、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 （ 1）原命題：貓有四只腳（正確） （ 2）原命題：對頂角相等（正確） （ 3）原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等（正確

35、） （ 4）原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等（正確） 2、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 【變式2】已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且mn),判斷ABC是否為直角三角形. 【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AB。 請問FE與DE是否垂直?請說明。 類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形兩直角邊的比

36、是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。 舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。 【變式2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。 【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。 【變式4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 【變式5】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 類型二：勾股定理的應(yīng)用 2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30°，點A處有一

37、所中學，AP160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？ 舉一反三 【變式1】如圖學校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了_步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。 【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。 （1）直接寫出單位正三角形的高與面積。 （2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正

38、三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？ （3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。 類型三：數(shù)學思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決 3、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。 （二）方程的思想方法 4、如圖所示，已知ABC中，C=90°，A=60°，求、的值。 舉一反三：【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求

39、EF的長。 例題6 有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例1、如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，若AP=3，求PP的長。變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的邊長.變式2、如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=90°，E、F是BC上的點，且EAF=45°，試探究間的關(guān)系，并說明理由. 題型七：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，

40、BC=6cm，E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.變式：如圖，AD是ABC的中線，ADC=45°，把ADC沿直線AD翻折，點C落在點C的位置，BC=4,求BC的長.題型八：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？ 題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖1

41、19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點沿表面爬行至右側(cè)面的B點，最少要花幾秒鐘？三、課后訓練：一、填空題COABDEF第3題圖DBCA第4題圖1如圖(1)，在高

42、2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需_米圖(1)2種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內(nèi)部底面半徑為2.5，高為12，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出4.6，問吸管要做 。3已知：如圖，ABC中，C = 90°，點O為ABC的三條角平分線的交點，ODBC，OEAC，OFAB，點D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于                                 c