極坐標系與參數(shù)(高考題和模擬題匯編)

1、極坐標系與參數(shù)方程1. 極坐標莎設wfrti內(nèi)點.極點0與點時的S1離If沏 叫做伽的扱徑* i己為PJJ仲亍數(shù)對(/U)叫做點WI勺極坐抓：記作MP.0)議按軸為 j¾o為終也的f(j訂叫 .做點M的極飢記為疔一般地，不作特殊說明時，我們認為 0, 可取任意實數(shù).2. 極坐標與直角坐標的互化設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x, y),極坐標是(, ,則它們 之間的關系為：X = OCoS ,P = 一2+ y2,y= OSin ;tan = X x 0 .3.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方軽參數(shù)方稈直線yy,i = taI .= J"c +jcI亠炸in

2、(f t)岡j, "Fy: =TT=Z rt!y?1 J4 為s>y= FiiI 珅_ Ju j2l-=s 1 (rx>lnF F (汕摻數(shù)y=iW¼tp1 U ” 宀 If - ' U JUb'高考真題和模擬題講解(2018全國卷I )在直角坐標系XOy中，曲線Ci的方程為y= k + 2.以坐標原點 為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p+ 2pcos- 3 = 0.(1) 求C2的直角坐標方程；(2) 若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程.解(1)由X= PCOS, y = Pin ,得C2的直角坐標方程為(

3、x+ 1)2 + y2= 4.由知C2是圓心為A( 1,0),半徑為2的圓.由題設知，Ci是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線，曲線 Ci的方程為y=kx+ 2，x0，記y軸右邊的射線為Ii, y軸左邊的射線為2由于B在圓C2的 kx+ 2， x<0.外面，故Cl與C2有且僅有三個公共點等價于|1與C2只有一個公共點且2與C2有兩個公共點，或|2與C2只有一個公共點且Il與C2有兩個公共點、| k+ 2|當Ii與C2只有一個公共點時，A到Ii所在直線的距離為2，所以=2，故y k2+ i4 、k= 3或 k= 0.4經(jīng)檢驗，當k= 0時，Ii與C2沒有公共點；當k= 3時，Ii與C

4、2只有一個公共點，2與C2有兩個公共點k+ 2|當I2與C2只有一個公共點時，A到2所在直線的距離為2，所以=2，故k2+ i4k= 0 或 k= 3.4經(jīng)檢驗，當k= 0時，Ii與C2沒有公共點；當k= 3時，I2與C2沒有公共點4綜上，所求Ci的方程為y= 3X+ 2.條件探究 把舉列說明中曲線 Ci的極坐標方程改為“ = 0 2n”，曲線 C2的極坐標方程改為“ p 2os 2 l3 PSi n+ 3 = 0”，若Ci與C2有且僅有兩 個公共點，求的取值范圍.解 由X= pcos, y= Pin得曲線C2的直角坐標方程為x2+ y2 2x 23y+ 3=0,即(x 1)2+ (y 一 3

5、)2 = 1,由題意知 2 ,可設曲線Ci的直角坐標方程為y= kx, k= tan , 當曲線Ci與曲線C2相切時 解得 k=33,即卩 tan=33,又 0 2 所以 = 6*結合圖形可知，若Ci與C2有且僅有兩個公共點，則 6， 2 *解題方法1.極坐標方程與直角坐標方程的互化(1) 直角坐標方程化為極坐標方程：將公式 X= os及y= PSin直接代入直角坐 標方程并化簡即可.(2) 極坐標方程化為直角坐標方程：通過變形，構造出形如PCOS , Pin , P的形式，再應用公式進行代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)p及方程兩邊平方是常用的變形技巧.2 極角的確定由tan 確定角時，應

6、根據(jù)點P所在象限取最小正角.(1)當x0時，角才能由tan =X按上述方法確定.入當X= 0時，tan沒有意義，這時可分三種情況處理：當X= 0, y= 0時，可3 取任何值；當X= 0, y>0時，可取= 2；當X= 0, y<0時，可取=2例2.已知圓01和圓02的極坐標方程分別為 P= 2, p 22 PCOS -4 = 2.(1) 把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2) 求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程.解 由P= 2知p2= 4,所以圓O1的直角坐標方程為X2+ y2 = 4.因為p2 2 I 2POS 4 = 2,2J所以 P 2 2 cos(fcos4+

7、 Sin (Sin4 = 2,所以圓02的直角坐標方程為X2 + y2 2x 2y 2= 0.(2) 將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x+ y= 1,化為極坐標方程為 PCos÷ PSin = 1,即卩 PSin + 4 =g2題型三極坐標方程的應用角度1極徑幾何意義的應用1 . (2019日照一模)在平面直角坐標系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為X= 4cS+ 2,.(為參數(shù))，以0為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標系中，y= 4sIn 直線I的極坐標方程為= 6( R).(1) 求曲線C的極坐標方程；(2) 設直線I與曲線C相交于A, B兩點，求ABl的值.X =

8、 4cos+ 2,解(1)將方程消去參數(shù)得X2 + y24x 12= 0,y=4s in ,.曲線C的普通方程為X2 + y2 4x 12= 0,將x2 + y2= p, X= os代入上式可得 p4 os= 12,曲線C的極坐標方程為p 4 pcos= 12.p 4 PCOS = 12,(2)設A, B兩點的極坐標方程分別為P, 6 , P，6，由 UUn一 - 6，消去得P 2 .'3 P- 12 = 0,根據(jù)題意可得p, P是方程p 2 一：3p12 = 0的兩根，.°p+p= 2 '3, pp= 12,'|AB|= P P| = ” P + P 24

9、P P= 215.9角度2用極坐標解最值和取值范圍問題例3. (2019南平二模)在平面直角坐標系XOy中，以原點O為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線Ci的方程為x2 + y2 = 1曲線C2的參數(shù)方程為CoS 9（為參數(shù)），曲線C3的方程為y= Xtan <2, x>0 ,曲線C3與曲y= 1 + sin 2 線Ci, C2分別交于P, Q兩點.求曲線Ci，C2的極坐標方程；求OPF OQI2的取值范圍.解(1)因為X= os, y= Pin,所以曲線Ci的極坐標方程為PC；S + psin2 A1,X= cos,由（為參數(shù)），消去,y= 1 + sin 即得曲線C2的

10、直角坐標方程為X2+ (y- 1)2= 1;將X= os , y= Pin ,代入化簡，可得曲線C2的極坐標方程為 尸2sin曲線C3的極坐標方程為 =p , OV <2 ,2由得 OP2=-; IoQf= 4sin2,1 + Sin 即 |OP|2 -OQ|2 =8sin2 1 + sin2 + 1 sin2 +因為 0<<2，所以 OVSin<1 ,所以 OP2 OQI2 （0,4）.極坐標方程及其應用的類型及解題策略(1) 求極坐標方程.可在平面直角坐標系中，求出曲線的方程，然后再轉(zhuǎn)化為極坐 標方程.(2) 求點到直線的距離.先將極坐標系下點的坐標、直線方程轉(zhuǎn)化為

11、平面直角坐標 系下點的坐標、直線方程，然后利用直角坐標系中點到直線的距離公式求解.(3) 求線段的長度先將極坐標系下的點的坐標、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系 下的點的坐標、曲線方程，然后再求線段的長度.X= COS 例3. (2019南寧模擬)已知曲線Ci的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐y= 1 + sin 標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為 尸 4sin + 3 ,直線I的直角坐標方程為y=33x.(1) 求曲線Ci和直線I的極坐標方程；(2) 已知直線I分別與曲線Ci，曲線C2相交于異于極點的A，B兩點，若A，B的 極徑分別為P， P,求- Pl的值.X=

12、COS ,解(1)曲線Ci的參數(shù)方程為(為參數(shù))，其普通方程為X2 + (y- 1)2y= 1 + sin =1，極坐標方程為P= 2sin 3因為直線I的直角坐標方程為y=2x，故直線I的極坐標方程為= 6( R).曲線C1的極坐標方程為P= 2sin ,直線I的極坐標方程為= 6，將= 6弋入C1的極坐標方程得P = 1，將= 6代入C2的極坐標方程得P = 4，'| - PI= 3.例4. (2017全國卷U )在直角坐標系XOy中，以坐標原點為極點，X軸正半軸為 極軸建立極坐標系，曲線 C1的極坐標方程為 POS= 4.(1) M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|0

13、M| OP| = 16,求點P的 軌跡C2的直角坐標方程；設點A的極坐標為2, 3 ,點B在曲線C2上，求 OAB面積的最大值.解 設點P的極坐標為( ( >0),點M的極坐標為(P , ( >0).4由題設知OPl= OM= P = cose-由|OM| p= 16得C2的極坐標方程為尸 4cos >0).因此C2的直角坐標方程為(X- 2)2+ y2= 4(x 0).設點B的極坐標為(p, ( >0) 由題設知|OA|= 2, PB= 4cosa,于是OAB的面積IZS= 2OA P sAOB= 4cos Sin 3 =2 Sin 2 a- 23 2+1 3.當a=

14、- 時，S取得最大值2+ 3.所以OAB面積的最大值為2+. 3.例5 . (2018全國卷U )在直角坐標系 Xoy中，曲線 C的參數(shù)方程為X= 2cos,X= 1 + tCOSa,.(e為參數(shù))，直線I的參數(shù)方程為C . (t為參數(shù)).y= 4si ny=2 + ts na(1) 求 C和I的直角坐標方程；(2) 若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.解(1)曲線C的直角坐標方程為X + 1y6= 1.當COSa0時，I的直角坐標方程為y= tana+ 2 tana,當COSa= 0時，I的 直角坐標方程為X= 1.(2)將 l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關

15、于t的方程(1 + 3coS2o)t2 + 4(2cosa+ Sin c)t 8 = 0.因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個解，設為 t1 , t2,貝U t1 + t2= 0.4 2cos a+ Sin a又由得t1 + t2=-2,1 + 3cos a故2cos+ Sin = 0,于是直線I的斜率k= tan=- 2.X = xo + tcos,1. 設直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線的參數(shù)方程在交y=yo + tsin 點問題中的應用若Mi, M2是直線I上的兩個點，對應的參數(shù)分別為ti, t2,則MM1MM2I= t1t2, M7M2=血一ti| =t2

16、+ ti 2-4t1t2.(2) 若線段MiM2的中點為M3,點Mi, M2, M3對應的參數(shù)分別為ti, t2, t3,ti + t2則 t3=2.(3) 若直線I上的線段 MiM2的中點為 Mo(xo, yo),則ti +12= 0, tit2<0.2. 圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應用有關圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解.X= xo + at,提醒：對于形如(t為參數(shù))，當a2+ b2I時，應先化為標準y= yo+ bt形式后才能利用t的幾何意義解題.例6已知曲線C的極坐標方程為P= 2,在以極點為直角坐

17、標系的原點 O,極軸為X軸的正半軸建立的平面直角坐標系XOy中，直線l的參數(shù)方程為x=¥t,y= 3 ,5+彳(t為參數(shù)).(1) 寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；X = cos (2) 已知曲線W:C .(為參數(shù))，若M為曲線W上任意一點，求點y= 2s In M到直線I的最小距離.X= t,解 由（t為參數(shù)）消去參數(shù)t,得y=x+ 3 I 5.y=35+乎t即直線I的普通方程為X-y+ 3 5= 0.因為 P=X2+ y2,所以曲線C的直角坐標方程為X2 += 4.由已知可設 M（COSa 2sinc）（ 為參數(shù)）,則點M到直線I的距離（其中 tan= 2）,|cos

18、a- 2sin+ 3 5| '5cos + + 3 5|d=2235-5L所以點M到直線I的距離的最小值為 一2= . 10.例7. （2019河北“五個一名校聯(lián)盟”二模）在平面直角坐標系XOy中，曲線X=a+ 2 t,C1過點P（a,1）,其參數(shù)方程為廠 （t為參數(shù)，a R）.以0為極點,y= 1 +爭tX軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為 oS2+ 4cos- P =0.（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；（2）已知曲線C1與曲線C2交于A, B兩點，且ABl = 8,求實數(shù)a的值.（t為參數(shù)，a R）,X= a+t,解（1）曲線C1的參數(shù)方程

19、為,2y= 1 + t曲線C1的普通方程為X-y-a+ 1 = 0.曲線C2的極坐標方程為 os2 + 4cos- P= 0, .pcos2+ 4os P= 0,x2+ 4x-X2- y2= 0, 即曲線C2的直角坐標方程為y2 = 4x.設A, B兩點所對應的參數(shù)分別為t1, t2,2y = 4x,得 t2- 2 '2t + 2-8a= 0. (-2 ：2)2 4(2- 8a)>0,即 a>0,t +12= 2 '2, 根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知t1t2= 2 8a,ABl= t 12=t +12 2-4tt2= 8 8 1 4a = '32a =

20、8,°a=2.題型三極坐標方程和參數(shù)方程的綜合應用例7.(2020貴州聯(lián)考)已知在一個極坐標系中，點 C的極坐標為2, 3 .(1) 求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標方程(寫出解題過程)；(2) 在直角坐標系中，以圓 C所在極坐標系的極點為原點，極軸為 X軸的正 半軸建立直角坐標系，點 P是圓C上任意一點，Q(5,- .1'3), M是線段PQ的 中點，當點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程.解(1)如圖，設圓C上任意一點A( , ,貝U AOC= § 或 3 由余弦定理得，4+ 4 pcos 3 = 4, 所以圓C的極坐標方程為P= 4cos -3 .(2)在直角坐標系中，點 C的坐標為(1, .3),可設圓C上任意一點P(1 +2cos, V3+ 2sinc), 又令M(x, y),由Q(5,- 3), M是線段PQ的中點，得點X= 2 ，X= 3+ COSa,(a為參數(shù))，即2sin y= 2y= Sin