拋物線教案(共12頁)

1、拋物線教案：拋物線及其標準方程 索爭科 攀鋼一中 【教學目的】1掌握拋物線的定義及其標準方程；2掌握拋物線的焦點、準線及方程與焦點坐標的關系；3認識拋物線的變化規(guī)律.【教學重點】拋物線的定義及標準方程【教學難點】區(qū)分標準方程的四種形式【課時安排】兩課時【教學過程】第一課時一、導入新課：通過前面的學習，我們知道，與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0e1時是橢圓，當e1時是雙曲線，那么，當e=1時，它是什么曲線呢？用自制的拋物線作圖演示模板作出拋物線，然后得出結論，曲線就是初中見過的拋物線。下面，我們就將學習拋物線的定義及其標準方程。二、講授新課：1拋物線的定義：平面內與

2、一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線。點F叫拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。下面，根據拋物線的定義，我們來求拋物線的方程。2拋物線的標準方程：推導過程：取過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，線段KF的中垂線為y軸，建立直角坐標系xOy（如圖820）。設|KF|=p(p0)，那么焦點F的坐標為（，準線l的方程為設點M（x，y）是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d。由拋物線的定義知，拋物線就是集合將上式兩邊平方并化簡，得y2=2px （p>0） 方程叫拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是它的準線方程是。拋物線標準方程的四種形式：一條拋

3、物線，由于它在坐標平面內的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：y2=2px，x2=2py，x2=2py。這四種拋物線的圖形，標準方程，焦點坐標以及標準方程列表如下：圖 形標準方程焦點坐標準線方程(p0)(p0)(p0)(p0)注意：當且僅當頂點在原點，焦點在坐標軸上時，拋物線的方程才是標準方程。由于焦點可在x軸正半軸上，或x軸負半軸上，也可在y軸正半軸上，或y軸負半軸上，故拋物線的標準方程共有四種形式。參數叫做焦準距，它是拋物線形狀的決定量。因此，確定拋物線的標準方程，關鍵是定位確定形式、定量確定值。下面，我們通過例題來熟悉一下拋物線標準方程、焦點坐標與準線方程的相互關

4、系.例1 求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：（1） （2） （3）解：（1）因為p=3,所以焦點坐標是準線方程是。（2）方程可化為，。故焦點坐標是準線方程是。（3）方程可化為。當時，開口向下，焦點坐標是準線方程是；當時，開口向下，焦點坐標是準線方程是；當時，焦點坐標是準線方程是；小結：拋物線的焦點坐標是準線方程是；拋物線的焦點坐標是準線方程是例2 根據下列條件求拋物線的標準方程：（1）焦點坐標是F（0，2）； （2）過點A（4，2）；（3）焦點為橢圓的頂點。解：（1）焦點在y軸的負半軸上，并且所求拋物線的標準方程是x2=8y.（2）點A在第四象限，滿足條件的拋物線應有兩種： 焦點在x軸的正半軸

5、上，可設拋物線的標準方程為y2=2px （p>0）拋物線過點A（4，2），4=8p，p=。拋物線的標準方程為y2=x 焦點在y軸的負半軸上，可設拋物線的標準方程為x2=2py （p>0）同理可求得拋物線的標準方程為x2=8y。（3）由于橢圓有四個頂點：A1（8，0）、A2（8，0）、B1（0，6）、B2（0，6），對應有四種拋物線的標準方程，分別為為y2=32x，y2=32x，x2=24y，x2=24y。說明：確定拋物線的標準方程，要抓好定位確定形式、定量確定值兩方面。三、課堂練習：課本P118練習1，2，3.四、課堂小結通過本節(jié)學習，要求大家掌握拋物線的定義及其標準方程，并掌握拋

6、物線的焦點、準線及方程的相互關系，并能應用它解決一些相關問題.五、課后作業(yè)習題8.5 1，2，3，4.六、板書設計§8.5.11拋物線定義 推導過程 四種形式 學生練習 2拋物線的標 準方程.七、教學后記第二課時一、導入新課：上節(jié)棵我們學習了拋物線的定義及其標準方程。今天，我們繼續(xù)學習拋物線。二、講授新課：例3 已知拋物線的準線是直線：，焦點為F（1，4），求它的方程。分析：很明顯，拋物線方程不是標準方程，不能用待定系數法。這時應依據拋物線定義求拋物線方程。解：設P（x，y）是拋物線上任一點。由拋物線的定義知：拋物線就是點集化簡得所求拋物線方程為說明：當且僅當頂點在原點，焦點在坐標軸

7、上時，拋物線的方程才是標準方程；求非標準方程，應緊抓定義。變式訓練：若點M（x,y）滿足,則點M的軌跡是 .例4點M與點F（4，0）的距離比它到直線：的距離小1，求點M的軌跡方程分析：此題可用直接法求點M的軌跡方程。但仔細分析條件，不難發(fā)現：點M只能在直線：的右側；點M到直線：的距離比它到直線：的距離小1。所以點M的軌跡實質是以點F（4，0）為焦點，直線：為準線的拋物線。解：由已知知：點M的軌跡是以點F（4,0）為焦點，直線:為準線的拋物線.，頂點在原點，開口向右，點M的軌跡方程是。變式訓練：求到定點F(2，0)的距離比到y(tǒng) 軸的距離大2的點M的軌跡。注意：要考慮點M與點F同y 軸的相對位置關

8、系。例5一條隧道的橫斷面由拋物線弧和一個矩形的三邊圍成（如圖），長車空車時能通過隧道?，F裝一集裝箱，箱寬3米，車與箱共高4.5米，此車還能通過此隧道嗎？分析：這是一個實際問題。首先須明確此車能否通過此隧道的判斷方法距道路中心線1.5米處，隧道高度和車與箱共高的關系；于是，問題化歸為求拋物線弧上對應點到地面的距離。這需要建立拋物線的方程。解：如圖建立直角坐標系。依題意、設拋物線方程為，則， 拋物線方程為設拋物線上一點的坐標為，則，。點到地面的距離為5= 4.25(米)< 4.5米。所以，此車不能通過此隧道。例6 斜率為1的直線經過拋物線的焦點，與拋物線相交于、兩點，求線段的長。分析：實質是

9、求直線被拋物線截得的弦長，注意弦長求法。解：拋物線的焦點為F（1，0），過焦點且斜率為1的直線方程為： 由 消去得：（）說明：注意此弦過焦點，若利用拋物線定義可有如下解法：拋物線的焦點為F（1，0），準線為，例7 設M是拋物線上一點，MNx軸于N，MN的垂直平分線交拋物線與Q，直線NQ交y軸于T。求證： 分析：注意分析幾何條件，充分利用幾何性質求解。解：設R為MN的中點，設M（2pt2，2pt），則N（2pt2，0），R（2pt2，pt），由得 Q（，pt）。QRON ONTRQN 即三、課堂練習：四、課堂小結通過本節(jié)學習，要求大家進一步掌握拋物線的定義及其標準方程，并注意拋物線的幾何特征。五

10、、課后作業(yè)六、板書設計七、教學后記拋物線的簡單幾何性質【教學目的】1.掌握拋物線的幾何性質；2.能根據幾何性質確定拋物線的標準方程【教學重點】拋物線的幾何性質【教學難點】幾何性質的應用【課時安排】兩課時【教學過程】第一課時一、復習回顧：簡要回顧拋物線定義及標準方程的四種形式(要求學生回答)。這一節(jié),我們根據拋物線的標準方程來研究拋物線的幾何性質。二、講授新課1范圍：當x的值增大時，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。(但應讓學生注意與雙曲線一支的區(qū)別，無漸近線)。2對稱性：拋物線關于x軸對稱。我們把拋物線的對稱軸叫拋物線的軸。3頂點：拋物線和它的軸的交點叫拋物線的頂點。標準方程時頂點

11、為坐標原點。4離心率：拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫拋物線的離心率，用e表示。由拋物線定義可知，e=1。說明：對于其余三種形式的拋物線方程，要求自己得出它們的幾何性質，這樣，有助于學生掌握拋物線四種標準方程。下面,大家通過問題來進一步熟悉拋物線的幾何性質.例1.已知拋物線關于x軸對稱，頂點在原點，并且經過點M(2，)，求它的標準方程，并用描點法畫出圖形。由已知條件求拋物線的標準方程時，首先要根據已知條件確定拋物線標準方程的類型，再求出方程中的參數p，即需定位確定形式、定量確定值。解:因為拋物線關于x軸對稱，它的頂點在原點，并且經過點M(2，)，所以可設它的標準方程為：因為點

12、M在拋物線上，所以，即因此所求方程是。下面列表、描點、作圖：012340±2±2.8±3.5±4說明：利用拋物線的對稱性可以簡化作圖步驟；拋物線沒有漸近線；例2.探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分,光源位于拋物線的焦點處,已知燈口圓的直徑為60cm,燈深40cm,求拋物線的標準方程和焦點的位置.分析:此題是根據已知條件求拋物線的標準方程,關鍵是選擇建立恰當的坐標系,并由此使學生進一步認識坐標法.解:如圖825,在探照燈的軸截面所在平面內建立直角坐標系,使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合,x軸垂直于燈口直徑.設拋物線的標準方程是。由已知條件可得點

13、A的坐標是(40，30)，代入方程得：。所求拋物線的標準方程是,焦點坐標是(,0).說明:此題在建立坐標系后,要求學生能夠根據拋物線的圖形確定拋物線標準方程的類型,再求出方程中的參數p.為使大家進一步掌握坐標法,我們來看下面的例3:例3.正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線上，求這個正三角形的邊長。分析：觀察圖826，正三角形及拋物線都是軸對稱圖形，如果能證明x軸是它們的公共的對稱軸，則容易求出三角形的邊長。解:如圖826,設正三角形OAB的頂點A、B在拋物線上,且坐標分別為,則:,所以.由此可得,即線段AB關于x軸對稱,因為x軸垂直于AB,且,所以.說明:這個題目對學生來說,

14、求邊長不困難,但是他們往往直觀上承認拋物線與三角形的對稱軸是公共的,而忽略了它的證明。教學時, 要提醒學生注意這一點,通過這一例題,可以幫助學生進一步掌握坐標法。下面我們通過練習進一步熟悉并掌握拋物線的標準方程。三、課堂練習課本P122練習1，2。四、課堂小結通過本節(jié)學習,要求大家掌握拋物線的幾何性質,并在具體應用時注意區(qū)分拋物線標準方程的四種形式。五、課后作業(yè)習題8.6 1，2，5。六、教學后記第二課時一、導入新課：上一節(jié),我們一起學習了拋物線四種標準方程對應的幾何性質,現在作一簡要的回顧(學生回答略)。這一節(jié),我們將研究拋物線的標準方程及其幾何性質的應用.二、講授新課：例1.若拋物線的準線方程為，焦點為（2，1），則拋物線的對稱軸方程是 。分析：拋物線的對稱軸就是經過焦點且垂直于準線的直線。解：可設對稱軸方程為，對稱軸經過焦點（2，1），即對稱軸方程為，說明：解決有關圓錐曲