初中數(shù)學(xué)專題1.1巧用平方差公式

1、1.1巧用平方差公式我們把公式(+b)(b)=°2一滬稱為乘法公式中的平方差公式；反過來2-b2 = ( + b)(-b)稱之為因式分 解中的平方差公式.在一左條件下，把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式稱為代數(shù)式恒等變形, 平方差公式是代數(shù)式恒等變形中的重要公式之一，它在數(shù)值運算、代數(shù)式的化簡與求值、不左方程(組) 的解法、代數(shù)不等式的證明、一元二次方程的解法等方而都有廣泛的運用.例1已知7池一1可被40至50之間的一個素數(shù)整除，這個素數(shù)是().A. 41 B. 43 C. 47 D. 49【解】用平方差公式作因式分解：712-l = (76+l)(76-l)=(72+l) (

2、74-72÷l) (73+l) (73-l)=50(7 72+1)(7+1)(72 7+1)(7 1)(72 ÷7÷1)=43 48 50 57(74-72÷l),而 7472+l=48 -49+1 不能被 41, 49, 47整除，故答案選【注】也可以用立方差公式分解761,如果先用立方差公式，那么75 1= (72 1)( 74+72 + 1) =48(74+72+1),而7+72+1的分解可以通過拆項完成，具體分解知下：74÷72 ÷l=74+2 72+l-72=(72+1)272=(72÷7 + l)(72-7+1)

3、.例2已知對任意大于2的正整數(shù)“，“5一5滬+4“都是正整數(shù),w的倍數(shù)，求W的最大值.【解】n5 5n3÷ 4m=?:(w45w2+4)=w(w2-4)(n2 1)=("一2)("+2)("-1)(“+1).因為“(“一2)(“+2)(“一1)(“ + 1)是五個連續(xù)正整數(shù)的乘積,所以它是5!的倍數(shù),又當(dāng)n=3時，原式= 120,故皿的最大值是120.【注】這里用到了一個數(shù)論中的結(jié)論：連續(xù)的5個正整數(shù)的乘積是5!的倍數(shù)，事實上，連續(xù)的5個正 整數(shù)中必有1個5的倍數(shù)，2個2的倍數(shù)(其中一個為4的倍數(shù))，1個3的倍數(shù)，順便提一句，也可以利 用組合數(shù)公式來證明

4、連續(xù)H個正整數(shù)的乘積是“！的倍數(shù)，這是因為由 C'l'n =川(川 j)(2)二仙"+ 1)_ 可知連續(xù)的 正整數(shù)乘積In(In -1)(? _2)(加-H + 1) = n!C；I, 從而結(jié)論成立，(24+4 +(64 +1)(84 +l)(104÷i) 例3計算:=J古(l4÷-)(34 +-)(54 +-)(74 ÷-)(94+-) 24444【分析】由于括號內(nèi)的每-個式子代數(shù)結(jié)構(gòu)都相同，因此考慮用八扌來代替，再進(jìn)行因式分解后找出規(guī)律【解】因÷=+÷i-=(÷y所以，原式4 1.2 丿(2 11V、f

5、112 112 11!一 + + -+ -I + 2)4444=221.例4若是非負(fù)整數(shù)，則R 3，+9是合數(shù)還是素數(shù)？【解】 由于 4-32+9=(2+3F-(3)2=(2-3+3) (a?+3a+3),下而對 a 討論：當(dāng)a=0時，原式=9,是一個合數(shù)；當(dāng)a=l時，原式=7,是一個素數(shù)；當(dāng)a=2時，原式= 13,是一個素數(shù)：當(dāng)a>2時，因，一3a+3與B+3a+3都是大于1的整數(shù)，故原式是一個合數(shù).綜上所述，當(dāng)4=0或a>2時，小一3H+9是合數(shù)；當(dāng)a=l或2時，滬一3,+9是素數(shù).【注】在將原式分解成佃23“+3)佃2+3°+3)后，不能輕易下結(jié)論說它就是個合數(shù)，因

6、為要保i正/一 3a+3與H+3a+3都大于1才能是合數(shù).通過運用平方差公式進(jìn)行因式分解的訓(xùn)練，可以使我們的觀察 能力、運算能力、變形能力、邏輯思維能力得到鍛煉與提高，而在條件中能否找出或構(gòu)造出昌一夕的形式， 然后用平方差公式進(jìn)行分解成為解題的關(guān)鍵.例5求證：若"是正整數(shù)，則存在無窮多個正整數(shù)乩使得滬+上是合數(shù).【證明】 令k=4a4 (a為正整數(shù))，貝IJw4 + A=w4+4a2n2+4a44a2n2=(m2+2a2)2(2an)2=(zj2 ÷ 2an ÷ 2a2) (n22an ÷ 2a2).當(dāng)aM2時，滬+ 2勁+2,與滬一2初+2°

7、2都是大于1的正整數(shù)，因為a有無窮多個，故存在無 窮多個匕使得w4÷是合數(shù)，【注】 本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造A-=4,這用到了本章節(jié)例題3的代數(shù)形式.例6 對于不超過50的正整數(shù)“，滿足：恰有一對非負(fù)整數(shù)(a, b),使得B夕=加 試求滿足條件的"的數(shù)目.【解】 由于"=(a+b)(a-b),且a+b與a_b同奇偶,所以n2(mod4).(1)當(dāng)“為奇素數(shù)時，僅有一對I滿足條件: 2 2丿當(dāng)n為奇合數(shù)時，不妨設(shè)77 = WV (/v>l, V為奇數(shù))，那么至少有2組非負(fù)整數(shù)解/I/S勵寧'牙或芳號，不滿足題臥因此奇數(shù)中滿足題意的共有:1,3,5,7,11,

8、 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,41,43,47 共計 15 個;(3)當(dāng)4|”時，如果巴為合數(shù)，至少有2組非負(fù)整數(shù)解，也不滿足題意.因此偶數(shù)中滿足條件的為4, 48, 12, 20, 28, 44 共 6 個.綜上所述，一共有21個正整數(shù)“滿足題意.【注】本題如果一開始直接枚舉容易產(chǎn)生錯誤，約朿適當(dāng)?shù)姆抖谠龠M(jìn)行枚舉是關(guān)鍵.例7試求關(guān)于陽“的不定方程加2一 1=卩2 (”2一1)的所有正整數(shù)解，苴中P為素數(shù).【解】因為伽一 1)伽+ I)=p2(滬一 1),下而按照P作分類討論：(1)若P為奇素數(shù),則p2m-1或p2w+l.若1,設(shè)M="+l(k為非負(fù)整數(shù))，

9、則2=2÷2+l,但是2 < 2+2+1 (Ap ÷ 1 )2從而k=0,進(jìn)而m=w=l;若p2m÷L設(shè)Wt=切21(左為正整數(shù)),則w2=A22+l,但是(AP-I)2<A22fr÷l<A2矛盾！若P為2,則2|加一 1, 2|加+ 1,設(shè)加=2斤一1(斤為正整數(shù))，那么滬=Hk-I)+ l=2-*+l但是(k-l)2<k2-k+lk2.故 k=l,進(jìn)而 M = 1,由此可得 77=1綜上所述，加=” =1【注】本題的因式分解體現(xiàn)了處理整除時候常見的轉(zhuǎn)成兩邊均是乘積式的模式，并且利用了兩個相鄰平 方數(shù)之間沒有平方數(shù)這一個性質(zhì)，通

10、過不等式控制，實現(xiàn)了論證練習(xí)1.11. 訃算：f-4Y-4Vf、I 2?人 32J20112 丿2. 已知：2-r =l + 2, r-c2 =l-2,+b4 +c4 -a2b2 -IyCI-ClCr 的值3. 證明：存在無窮多個完全平方數(shù)，它們無論對怎樣的素數(shù)P及怎樣的正整數(shù)“、k,都不能表示成p+滬上 的形式4. 證明：對每個正整數(shù)小均存在正整數(shù)加，使得：5試確左實數(shù)e b、C的值，使得對任何正整數(shù)小恒成立.練習(xí)1.1 匚原式-丄丫1 +牛卜丄h +丄J：V 2 人 2) I 2011 人 2011 )1 3 2 4 3 5 4 62010 2012 1006= -×-XXX X

11、 X X×××=223344552011 2011 20112.因為 a4 +b4 +c4-a2b2 -b2c2 -C2U2 =(i2 -b2J +(/?2-2)2 +(c2-tr)2, 又因為 a2-b2 = + 2,b2-c2 =-y2,兩式相加得 a2c2=2,從而原式=*(l + j+(l-)2+22 =53若p+嚴(yán)=臚，則由平方差公式可得(加一旳伽+d)=p,由于P為質(zhì)數(shù)，則必有¥"一：=,從而P= /77+ /7 = P2+l, w=+lc又由于有無窮多對(ntk),使得P不是質(zhì)數(shù)，那么此時加2=(於+1)2就不能表示成p+Q 的形式。4. 由于(1 + )'展開式可分成含無理因子部分及不含血部分，故不妨設(shè)(I + ©/=£ +兒J,那 么(l-2)* =xn-y,1 2 兩式相乘得2忙尤=(一1嚴(yán).由于當(dāng)”為奇數(shù)時，取w = x；=2y；-l：當(dāng) 為偶數(shù)時，取m = 2y,; = x； -1,則均可滿足題意，從而命題得證5. 對于 k=0, 1, 2,，(+1 -Tj =(k + 1)+T-3(A: + llk +3kyk + -k