中考數(shù)學(xué)專題圓的切線精華習(xí)題(共11頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學(xué)專題圓的位置關(guān)系第一部分 真題精講【例1】已知：如圖，AB為O的直徑，O過(guò)AC的中點(diǎn)D，DEBC于點(diǎn)E（1）求證：DE為O的切線；（2）若DE=2，tanC=，求O的直徑【思路分析】 本題和大興的那道圓題如出一轍，只不過(guò)這兩個(gè)題的三角形一個(gè)是躺著一個(gè)是立著，讓人懷疑他們是不是串通好了近年來(lái)此類問(wèn)題特別愛將中點(diǎn)問(wèn)題放進(jìn)去一并考察，考生一定要對(duì)中點(diǎn)以及中位線所引發(fā)的平行等關(guān)系非常敏感，尤其不要忘記圓心也是直徑的中點(diǎn)這一性質(zhì)。對(duì)于此題來(lái)說(shuō)，自然連接OD，在ABC中OD就是中位線，平行于BC。所以利用垂直傳遞關(guān)系可證ODDE。至于第二問(wèn)則重點(diǎn)考察直徑所對(duì)圓周角是90&

2、#176;這一知識(shí)點(diǎn)。利用垂直平分關(guān)系得出ABC是等腰三角形，從而將求AB轉(zhuǎn)化為求BD，從而將圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問(wèn)題就可以輕松得解。【解析】（1）證明：聯(lián)結(jié)OD D為AC中點(diǎn)， O為AB中點(diǎn)， OD為ABC的中位線 ODBC DEBC， DEC=90°.ODE=DEC=90°. ODDE于點(diǎn)D. DE為O的切線 （2）解：聯(lián)結(jié)DB AB為O的直徑，ADB=90° DBAC CDB=90°. D為AC中點(diǎn)， AB=AC在RtDEC中，DE=2 ，tanC=， EC=. （三角函數(shù)的意義要記牢） 由勾股定理得：DC=.在RtDCB 中， BD=由勾股

3、定理得： BC=5.AB=BC=5. O的直徑為5. 【例2】已知：如圖，O為的外接圓，為O的直徑，作射線，使得平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).（1）求證：為O的切線；（2）若，求O的半徑. 【思路分析】本題是一道典型的用角來(lái)證切線的題目。題目中除垂直關(guān)系給定以外，就只給了一條BA平分CBF?？吹竭@種條件，就需要大家意識(shí)到應(yīng)該通過(guò)角度來(lái)證平行。用角度來(lái)證平行無(wú)外乎也就內(nèi)錯(cuò)角同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)這么幾種。本題中，連OA之后發(fā)現(xiàn)ABD=ABC，而OAB構(gòu)成一個(gè)等腰三角形從而ABO=BAO，自然想到傳遞這幾個(gè)角之間的關(guān)系，從而得證。第二問(wèn)依然是要用角的傳遞，將已知角BAD通過(guò)等量關(guān)系放在ABC中，從而達(dá)到計(jì)算

4、直徑或半徑的目的?！窘馕觥孔C明：連接. ， . ， . . . （得分點(diǎn)，一定不能忘記用內(nèi)錯(cuò)角相等來(lái)證平行） , . . 是O半徑， 為O的切線. （2） ,， .由勾股定理，得. .（通過(guò)三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換來(lái)擴(kuò)大已知條件） 是O直徑， . .又 , , . （這一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sinBAD）在Rt中，=5.O的半徑為. 【例3】已知：如圖，點(diǎn)是的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn) 在上，且（1）求證：是的切線；（2）若點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，與相交 于點(diǎn)，且，求的半徑長(zhǎng).【思路分析】 此題條件中有OA=AB=OD，聰明的同學(xué)瞬間就能看出來(lái)BA其實(shí)就是三角形OBD中斜邊OD上的中線

5、。那么根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半這一定理的逆定理，馬上可以反推出OBD=90°，于是切線問(wèn)題迎刃而解。事實(shí)上如果看不出來(lái)，那么連接OB以后像例2那樣用角度傳遞也是可以做的。本題第二問(wèn)則稍有難度，額外考察了有關(guān)圓周角的若干性質(zhì)。利用圓周角相等去證明三角形相似，從而將未知條件用比例關(guān)系與已知條件聯(lián)系起來(lái)。近年來(lái)中考范圍壓縮，圓冪定理等綱外內(nèi)容已經(jīng)基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例來(lái)計(jì)算，希望大家認(rèn)真掌握?！窘馕觥浚?）證明：連接.，.是等邊三角形.，. . . （不用斜邊中線逆定理的話就這樣解，麻煩一點(diǎn)而已）又點(diǎn)在上，是的切線 . （2）解：是的直徑， . 在中

6、， , 設(shè)則， . . （設(shè)元的思想很重要）, . ., .5分【例4】如圖，等腰三角形中，以為直徑作O交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（1）求證：直線是O的切線；（2）求的值【思路分析】本題和前面略有不同的地方就是通過(guò)線段的具體長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算和證明。欲證EF是切線，則需證OD垂直于EF，但是本題中并未給OD和其他線角之間的關(guān)系，所以就需要多做一條輔助線連接CD，利用直徑的圓周角是90°，并且ABC是以AC,CB為腰的等腰三角形，從而得出D是中點(diǎn)。成功轉(zhuǎn)化為前面的中點(diǎn)問(wèn)題，繼而求解。第二問(wèn)利用第一問(wèn)的結(jié)果，轉(zhuǎn)移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形當(dāng)中構(gòu)造代數(shù)關(guān)系，通過(guò)解方程的

7、形式求解，也考察了考生對(duì)于解三角形的功夫。【解析】（1）證明：如圖，連結(jié)，則 ， 是的中點(diǎn)是的中點(diǎn)，于F是O的切線 ( 2 ) 連結(jié)，是直徑, （直徑的圓周角都是90°）設(shè)，則在中，在中，（這一步至關(guān)重要，利用兩相鄰RT的臨邊構(gòu)建等式，事實(shí)上也可以直接用直角三角形斜邊高分比例的方法）解得即在中 【例5】如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓交AD于F，交BC于G，延長(zhǎng)BA交圓于E.（1）若ED與A相切，試判斷GD與A的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件不變的情況下，若GCCD5，求AD的長(zhǎng).【思路分析】本題雖然是圓和平行四邊形的位置關(guān)系問(wèn)題，但是依然考察的

8、是如何將所有條件放在最基本的三角形中求解的能力。判斷出DG與圓相切不難，難點(diǎn)在于如何證明。事實(shí)上，除本題以外，門頭溝，石景山和宣武都考察了圓外一點(diǎn)引兩條切線的證明。這類題目最重要是利用圓半徑相等以及兩個(gè)圓心角相等來(lái)證明三角形相似。第二問(wèn)則不難，重點(diǎn)在于如何利用角度的倍分關(guān)系來(lái)判斷直角三角形中的特殊角度，從而求解?！窘馕觥浚?）結(jié)論：與相切證明：連接點(diǎn)、在圓上，四邊形是平行四邊形， （做多了就會(huì)發(fā)現(xiàn)，基本此類問(wèn)題都是要找這一對(duì)角，所以考生要善于把握已知條件往這個(gè)上面引）在和 與相切與相切 （2），四邊形是平行四邊形， （很多同學(xué)覺得題中沒(méi)有給出特殊角度，于是無(wú)從下手，其實(shí)用倍分關(guān)系放在RT三角形

9、中就產(chǎn)生了30°和60°的特殊角） . 【總結(jié)】 經(jīng)過(guò)以上五道一模真題，我們可以得出這類題型的一般解題思路。要證相切，做輔助線連接圓心與切點(diǎn)自不必說(shuō)，接下來(lái)就要考慮如何將半徑證明為是圓心到切線的距離，即“連半徑，證垂直”。近年來(lái)中考基本只要求了這一種證明切線的思路，但是事實(shí)上證明切線有三種方式。為以防遇到，還是希望考生能有所了解。第一種就是課本上所講的先連半徑，再證垂直。這樣的前提是題目中所給條件已經(jīng)暗含了半徑在其中。例如圓外接三角形，或者圓與線段交點(diǎn)這樣的。把握好各種圓的性質(zhì)關(guān)系就可以了。第二種是在題目沒(méi)有給出交點(diǎn)狀況的情況下，不能貿(mào)然連接，于是可以先做垂線，然后通過(guò)證明

10、垂線等于半徑即可，就是所謂的“先證垂直后證半徑”。例如大家看這樣一道題， 如圖ABC中，AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，與AB切于點(diǎn)D，求證：與AC也相切。該題中圓0與AC是否有公共點(diǎn)是未知的，所以只能通過(guò)O做AC的垂線，然后證明這個(gè)距離剛好就是圓半徑。如果考生想當(dāng)然認(rèn)為有一個(gè)交點(diǎn)，然后直接連AC與圓交點(diǎn)這樣證明，就誤入歧途了。第三種是比較棘手的一種，一方面題目中并未給出半徑，也未給出垂直關(guān)系，所以屬于半徑和垂直都要證明的題型。例如看下面一道題：如圖，中，AB=AC，=，O、D將BC三等分，以O(shè)B為圓心畫，求證：與AC相切。本題中并未說(shuō)明一定過(guò)A點(diǎn)，所以需要證明A是切點(diǎn)，同時(shí)還要證明O到AC垂線

11、的垂足和A是重合的，這樣一來(lái)就非常麻煩。但是換個(gè)角度想，如果連接AO之后再證明AO=OB，AOAC，那么就非常嚴(yán)密了。（提示：做垂線，那么垂足同時(shí)也是中點(diǎn)，通過(guò)數(shù)量關(guān)系將AO，BO都用AB表示出來(lái)即可證明相等，而AOC中利用直角三角形斜邊中線長(zhǎng)是斜邊一半的逆定理可以證出直角。） 至于本類題型中第二問(wèn)的計(jì)算就比較簡(jiǎn)單了，把握好圓周角，圓心角，以及可能出現(xiàn)的弦切角所構(gòu)成的線段，角關(guān)系，同時(shí)將條件放在同一個(gè)RT當(dāng)中就可以非常方便的求解。總之，此類題目難度不會(huì)太大，所以需要大家做題速度快，準(zhǔn)確率高，為后面的代幾綜合體留出空間。第二部分 發(fā)散思考【思考1】如圖，已知AB為O的弦，C為O上一點(diǎn)，C=BAD

12、，且BDAB于B. （1）求證：AD是O的切線；（2）若O的半徑為3，AB=4，求AD的長(zhǎng).【思路分析】此題為去年海淀一模題，雖然較為簡(jiǎn)單,但是統(tǒng)計(jì)下來(lái)得分率卻很低. 因?yàn)轭}目中沒(méi)有給出有關(guān)圓心的任何線段，所以就需要考生自己去構(gòu)造。同一段弧的圓周角相等這一性質(zhì)是非常重要的，延長(zhǎng)DB就會(huì)得到一個(gè)和C一樣的圓周角，利用角度關(guān)系，就很容易證明了。第二問(wèn)考解三角形的計(jì)算問(wèn)題，利用相等的角建立相等的比例關(guān)系，從而求解。（解法見后）【思考2】已知：如圖，AB為O的弦，過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線，交 O于點(diǎn)C，直線OC上一點(diǎn)D滿足D=ACB.（1）判斷直線BD與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若O的半徑等于4

13、，求CD的長(zhǎng).【思路分析】本題也是非常典型的通過(guò)角度變換來(lái)證明90°的題目。重點(diǎn)在于如何利用D=ACB這個(gè)條件，去將他們放在RT三角形中找出相等，互余等關(guān)系。尤其是將OBD拆分成兩個(gè)角去證明和為90°。（解法見后）【思考3】已知：如圖，在ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過(guò)B,M兩點(diǎn)的O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為O的直徑.（1）求證：AE與O相切；（2）當(dāng)BC=4,cosC=時(shí)，求O的半徑. 【思路分析】這是一道去年北京中考的原題，有些同學(xué)可能已經(jīng)做過(guò)了。主要考點(diǎn)還是切線判定，等腰三角形性質(zhì)以及解直角三角形，也不會(huì)很難。放這里的原

14、因是讓大家感受一下中考題也無(wú)非就是如此出法，和我們前面看到的那些題是一個(gè)意思?！舅伎?】如圖，等腰ABC中，AC=BC，O為ABC的外接圓，D為上一點(diǎn)， CEAD于E. 求證：AE= BD +DE【思路分析】 前面的題目大多是有關(guān)切線問(wèn)題，但是未必所有的圓問(wèn)題都和切線有關(guān)，去年西城區(qū)這道模擬題就是無(wú)切線問(wèn)題的代表。此題的關(guān)鍵在于如何在圖形中找到和BD相等的量來(lái)達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。如果圖形中所有線段現(xiàn)成的沒(méi)有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的線段關(guān)系?！舅伎?】如圖，已知O是ABC的外接圓，AB是O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，AECD交DC的延長(zhǎng)線于E，CFAB于F，且CEC

15、F（1） 求證：DE是O的切線；（2） 若AB6，BD3，求AE和BC的長(zhǎng)【思路分析】又是一道非常典型的用角證平行的題目。題目中雖未給出AC評(píng)分角EAD這樣的條件，但是通過(guò)給定CE=CF，加上有一個(gè)公共邊，那么很容易發(fā)現(xiàn)EAC和CAF是全等的。于是問(wèn)題迎刃而解。第二問(wèn)中依然要注意找到已知線段的等量線段，并且利用和，差等關(guān)系去轉(zhuǎn)化。第三部分 思考題解析【思考1解析】1）證明: 如圖, 連接AO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E, 連接BE, 則ABE=90°. EAB+E=90°. E =C, C=BAD， EAB+BAD =90°. AD是O的切線. （2）解：由（1）可知ABE=90°. AE=2AO=6, AB=4, . E=C=BAD, BDAB, . 【思考2解析】解：（1）直線BD與O相切 證明：如圖3，連結(jié)OB- OCB=CBD +D ，1=D， 2=CBD ABOC ， 2=A A=CBD OB=OC， ，