統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣推斷分析法

1、第八章第八章 抽樣推斷分析法抽樣推斷分析法n次。次。特點(diǎn)：特點(diǎn)：n次。次。特點(diǎn)：特點(diǎn)：nN)!(!nNN!)!(!nnNN實(shí)驗(yàn)中發(fā)生該事件的可能實(shí)驗(yàn)中發(fā)生該事件的可能性大小。性大小。若樣本空間中各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性大小相同，可若樣本空間中各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性大小相同，可用樣本空間中屬于該事件的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)與樣本空間用樣本空間中屬于該事件的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)與樣本空間中全部樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)之比來(lái)計(jì)算。中全部樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)之比來(lái)計(jì)算。事件事件A、B之和之和A+B表示事件表示事件A或事件或事件B發(fā)生。發(fā)生。 A+B= AB 事件事件A、B之積之積AB表示事件表示事件A和和事件事件B同時(shí)發(fā)生。同時(shí)發(fā)生。 AB = AB

2、A、B互不相容表示互不相容表示AB= 幾個(gè)幾個(gè)互不相容事件中至互不相容事件中至少一個(gè)發(fā)生的概率等于這幾個(gè)事件各自發(fā)生少一個(gè)發(fā)生的概率等于這幾個(gè)事件各自發(fā)生的概率之和。的概率之和。AAA、B互相獨(dú)立表示事件互相獨(dú)立表示事件B發(fā)生發(fā)生與否對(duì)事件與否對(duì)事件A沒(méi)有影響。沒(méi)有影響。 幾個(gè)幾個(gè)互相獨(dú)立事件同時(shí)互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于這幾個(gè)事件各自發(fā)生的概率發(fā)生的概率等于這幾個(gè)事件各自發(fā)生的概率之積。之積。A、B三、離散型隨機(jī)變量的概率分布三、離散型隨機(jī)變量的概率分布將離散型隨機(jī)變量的所有可能取將離散型隨機(jī)變量的所有可能取值及相應(yīng)的概率按順序列成表。值及相應(yīng)的概率按順序列成表。 XX x1 x2 xn

3、 x1 x2 PP p(x1) p(x2) p(xn) p(x1)p(x2) nxnxp(i=1,2, ) 離散型隨機(jī)變量的概率分布也可以離散型隨機(jī)變量的概率分布也可以用等式表述為：用等式表述為： =iixp1離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì)：離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì)： 10ixp(i=1,2, )； iixpxXp=)(412121)2(2121212121) 1(412121)0(=+=XpXpXp離散型隨機(jī)變量的概率分布還可以離散型隨機(jī)變量的概率分布還可以用用來(lái)表示。來(lái)表示。RxxXpxF=)()()()()()()()()()()()(121221211211221xFxFxXpx

4、XpxXxpxXxpxXpxXxxXpxXp，xx=+=+=有對(duì)任意實(shí)數(shù)+=)2( 1)21 (43) 10(41)0(0)()(xxxxxXPxFnnqpC00111nnqpC222nnqpC0qpCnnnk 0 1 2 n 0 1 2 n P 四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能用連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能用來(lái)表示。來(lái)表示。=xdxxfxXpxF)()()(其中其中f( (x) )是分布函數(shù)是分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為的導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為密度函數(shù)密度函數(shù)。xxxXxpxxFxxFxfxx+=+=)(lim)()(lim)(00連續(xù)型隨機(jī)變量的密度

5、函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的性質(zhì)：的性質(zhì)：1、f(x)02、3、 =1d xxf=baxxfbXapd)()( a bxP(a Xb)f( (x) )五、隨機(jī)變量的數(shù)值特征五、隨機(jī)變量的數(shù)值特征常用的有：常用的有：（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 =iiixpxXE =xxxfXEd)(數(shù)學(xué)期望的兩個(gè)重要性質(zhì)：數(shù)學(xué)期望的兩個(gè)重要性質(zhì)：)()()()(:,2)()()()()(:,),(,),(),(:,12121212121212121nnnnnnnnXEXEXEXXXEXXXn、XEXEXEXXXEXEXXXXXEXEXEXXXn、=+=+=+=則相互獨(dú)立個(gè)隨機(jī)變量設(shè)則的數(shù)

6、學(xué)期望分別為個(gè)隨機(jī)變量設(shè) =xxfxXEd222（二）隨機(jī)變量的方差（二）隨機(jī)變量的方差 =iiixpxXE222方差的兩個(gè)重要性質(zhì)：方差的兩個(gè)重要性質(zhì)：nXnXnnnXnXXXXXXX、XXXXXXXXXXXXn、nnnnnnniinnnnn=+=+=+=+=+=+=+=)(,)(:,1)(:,2)()()(:,:,12222222122221222221221212112222212122212222121則若則相互獨(dú)立設(shè)則方差分別為相互獨(dú)立個(gè)隨機(jī)變量設(shè)六、正態(tài)分布六、正態(tài)分布 最重要的連續(xù)型隨機(jī)變量分布最重要的連續(xù)型隨機(jī)變量分布 =xxfx222e21稱(chēng)隨機(jī)變量稱(chēng)隨機(jī)變量X服從服從均值均

7、值為為，方差方差為為2 的的正態(tài)分布，記為正態(tài)分布，記為XN(， 2 )。f(x)xf( (x) )5 . 0=1=2=正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線(xiàn)正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線(xiàn) 是該分布的中心，是該分布的中心，是標(biāo)準(zhǔn)差，反映分布的離散是標(biāo)準(zhǔn)差，反映分布的離散程度，程度，越大，分布曲線(xiàn)越平緩，離散程度越大；越大，分布曲線(xiàn)越平緩，離散程度越大；越小，分布曲線(xiàn)越陡峭，分布越集中。越小，分布曲線(xiàn)越陡峭，分布越集中。 =xtxdtdttfxF222e21)()(利用正態(tài)分布函數(shù)可計(jì)算正態(tài)分布隨機(jī)變量利用正態(tài)分布函數(shù)可計(jì)算正態(tài)分布隨機(jī)變量X落在落在任意區(qū)間的概率：任意區(qū)間的概率：=baxdxaFbFbXaP222e2

8、1)()()(對(duì)于不同的對(duì)于不同的和和2都要都要計(jì)算上述積分很麻煩。計(jì)算上述積分很麻煩。=0，=1的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相應(yīng)的隨機(jī)變量稱(chēng)為標(biāo)態(tài)分布，相應(yīng)的隨機(jī)變量稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，用準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，用Z表示，即表示，即ZN(0，1) 。 22e21zzf= =ztdtzF22e21落在落在任意區(qū)間的概率。任意區(qū)間的概率。正態(tài)分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)設(shè)XN(， 2 )，令，令Z= X1)()()0()(0)()()(:2222222=XEXEZEZXEXEZE則即：即：ZN( (0，1) ) 。XN(，2 )X(-a，+a )Z= XX(-a，+a )

9、,(aa)(-21-1aFX(-a，+a )XN(175，42 )171179Z= 4175XX(171，179 )(-1，1 )1-21-F(1)=0.682768270171179總體分布的數(shù)量特征。總體分布的數(shù)量特征。定義在樣本空間上的一個(gè)函數(shù)，定義在樣本空間上的一個(gè)函數(shù)，也稱(chēng)也稱(chēng)樣本指標(biāo)樣本指標(biāo)。本身也是隨機(jī)。本身也是隨機(jī)變量。變量。樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。二、重復(fù)抽樣分布樣本平均數(shù)的分布樣本平均數(shù)的分布 )(8581281088868485121086422222222元元=+=+=NXXXNXX樣本變樣本變量量46810124456786567898678910

10、1078910111289101112樣本工時(shí)平均工資樣本工時(shí)平均工資(元元)頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率411/25522/25633/25744/25855/25944/251033/251122/251211/25合計(jì)合計(jì)251 =ffxxE)( 8112211310495847362514251元=+= 487386285184251222222+=ffxExx18122811381048958822222+24 元= )(2 元=x從理論上推導(dǎo)樣本平均數(shù)的分布：從理論上推導(dǎo)樣本平均數(shù)的分布：nxxxxxxx樣本為nXXXXXXnnN+=,:)(:,:212121其平均數(shù)為的容量為標(biāo)準(zhǔn)差為其平均數(shù)

11、為設(shè)總體變量XXnnxExExEnnxxxExEXNXxExExEnnniin=+=+=1)()()(1)()(1)()()(2121121nXxnXXnnxxxnxxxnnxxxxXxxxXxxxnnnnn)()()()(1)()()(1)(1)()()()()()(,2222221222122212222221221=+=+=+=同分布且都與相互獨(dú)立重復(fù)抽樣下結(jié)論：結(jié)論： nxx=n1樣本成數(shù)的分布樣本成數(shù)的分布PXP= )1 (2PPP=結(jié)論：結(jié)論： nPPnPPnPpp=11PXpEP=)( %41002 . 08 . 01=nPPp三、不重復(fù)抽樣分布樣本平均數(shù)的分布樣本平均數(shù)的分布

12、)(8581281088868485121086422222222元元=+=+=NXXXNXX樣本變樣本變量量46810124-567865-789867-91010789-1112891011-x樣本工時(shí)平均工資樣本工時(shí)平均工資 (元元)頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率522/20622/20744/20844/20944/201022/201122/20合計(jì)合計(jì)201 )( 82112104948472625201元=+=ff xxE 48728628520122222+=ffxExx281128104894882222+23元= )(3 元=x結(jié)論：結(jié)論： =1)(2NnNnXxx注意：注意：NnNnN

13、11樣本成數(shù)的分布樣本成數(shù)的分布結(jié)論：結(jié)論：PXpEP=)( =11NnNnPPpp注意：注意： %96. 11000040014002 . 08 . 01111=NnnppNnNnPPp四、大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理大數(shù)定理,21nxxxX2 XxEi= 22=ix11lim1=Xxnpniin大數(shù)定理應(yīng)用于成數(shù)指標(biāo)：大數(shù)定理應(yīng)用于成數(shù)指標(biāo)：1lim=pnmpn中心極限定理中心極限定理xX XXx,21nxxxX2 XxEi= 22=ixnxxnii=1nXN2, XXE= 22=XxXx),(2pPN注意：注意：)25,550(2Nx%04.54=)2 . 14 . 0- (=)253

14、025550-2510- (=)580540(ZPxPxP)19,760(2Nx%785. 1=) 1 . 2(=)194019076-(=)800(ZPxPxP比較：比較：)380,760(2N%46=)0.105(=)38040380076-(=)800(ZPXPXP)024. 0 ,06. 0(2N%3 .20)-0.83()83. 0-024. 00.06-(%)4(=ZPpPpP用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，有有點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)和和區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)兩種。兩種?？茖W(xué)的抽樣估計(jì)方法應(yīng)具備的三個(gè)基本條件科學(xué)的抽樣估計(jì)方法應(yīng)具備的三個(gè)基本條件:直接以樣本統(tǒng)計(jì)量的取值作為

15、相直接以樣本統(tǒng)計(jì)量的取值作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)值，又稱(chēng)應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)值，又稱(chēng)定值定值估計(jì)估計(jì)。優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):缺點(diǎn)缺點(diǎn):評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：1、無(wú)偏性：、無(wú)偏性：樣本統(tǒng)計(jì)量的期望值等于被估計(jì)樣本統(tǒng)計(jì)量的期望值等于被估計(jì)的總體參數(shù)。的總體參數(shù)。=E如：如： XxE=2、一致性：、一致性：當(dāng)樣本的單位數(shù)充分大時(shí)，樣本當(dāng)樣本的單位數(shù)充分大時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)量也充分靠近總體參數(shù)。統(tǒng)計(jì)量也充分靠近總體參數(shù)。Pn的一致估計(jì)量是則稱(chēng)若對(duì)任意小的正數(shù)1lim),0(=1lim, 0:=XxPn根據(jù)大數(shù)定理如：如：3、有效性：、有效性：作為優(yōu)良估計(jì)量，其方差應(yīng)比其作為優(yōu)良估計(jì)量，其方差

16、應(yīng)比其它無(wú)偏估計(jì)量的方差小。它無(wú)偏估計(jì)量的方差小。更有效但兩個(gè)都無(wú)偏都可以估計(jì)或在總體中任取一單位用樣本平均數(shù)xXnXxXXEXxEXXx=)()()()(,)(222如：如：1212)()(2212總體方差的估計(jì)：總體方差的估計(jì)：以樣本方差以樣本方差 作為總體方作為總體方差差 的估計(jì)量。的估計(jì)量。=2211xxnsi=221XXNi原因：原因：重復(fù)抽樣的情況下，樣本方差重復(fù)抽樣的情況下，樣本方差 是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量。是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量。=2211xxnsi證明如下：證明如下： 22222222222211112112111111=+=+=nnnnXxnEXxEnXxnXnxnXxXx

17、EnXxnXxXxXxEnXxXxEnxxnEsEiiiiii注意注意：雖然樣本方差雖然樣本方差 是總體方差的是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量，但樣本標(biāo)準(zhǔn)差無(wú)偏估計(jì)量，但樣本標(biāo)準(zhǔn)差 并不是總體標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體標(biāo)準(zhǔn)差 的無(wú)偏的無(wú)偏估計(jì)量，只是總體標(biāo)準(zhǔn)差的漸近無(wú)偏估計(jì)量。估計(jì)量，只是總體標(biāo)準(zhǔn)差的漸近無(wú)偏估計(jì)量。=211xxnsi=2211xxnsi=21XXNi證明如下：證明如下：。XsXsEssn。XsXsXsEsssEXsEsEssYEYEYY的漸近無(wú)偏估計(jì)量是趨于一致每個(gè)樣本的時(shí)當(dāng)樣本容量的無(wú)偏估計(jì)量不是是不同的其標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)每個(gè)樣本有對(duì)隨機(jī)變量)()()(, 0)(,)()()()()(0)(,)()(

18、)()()(:)()()(,222222222222=根據(jù)給定的置信度要求，指出總根據(jù)給定的置信度要求，指出總體參數(shù)被估計(jì)的上限和下限。體參數(shù)被估計(jì)的上限和下限。方法方法:特點(diǎn)特點(diǎn):1)(212=1)(21P置信度的意義：置信度的意義：)()(1=+=XxPxXxPxX),(+xx),(+xxXXX),(+xxxX置信度與允許極限誤差的關(guān)系：置信度與允許極限誤差的關(guān)系：x2,xXN)-P(=)-(=-1xxXxXxP) 1 , 0(,-=N則ZXx令Zx=z)z(=-1ZP稱(chēng) 1、總體方差已知時(shí)：、總體方差已知時(shí)：2,xXNx2,xXNx已知置信度已知置信度1-的的區(qū)間估計(jì)步驟：區(qū)間估計(jì)步驟：

19、xxx),(+xx已知允許極限誤差已知允許極限誤差的區(qū)間估計(jì)步驟：的區(qū)間估計(jì)步驟： xxx),(+xx645=x 6 . 312=NnnXxx06. 76 . 396. 1=zx26 . 32 . 7=z2、總體方差未知時(shí)：、總體方差未知時(shí)：nsXxt=)/(,1)/()(nstPnstPXxP)8(9/25.006.31tXnsXxt=95.0)306.29/25.006.31()306.2(=XPtP)1 ,0(50/501600NXnsXxt=95.0)96.150/501600()96.1(=XPtP已知置信度已知置信度1-的的區(qū)間估計(jì)步驟：區(qū)間估計(jì)步驟：2,pPNpp)(pppz=)

20、,(pppp+49. 04 . 06 . 0)1 ()1 ()(=ppPPP0245. 040049. 0)(=nPpp%8 . 40245. 096. 1=ppzppp),(pppp+已知允許極限誤差已知允許極限誤差的區(qū)間估計(jì)步驟：的區(qū)間估計(jì)步驟：p43. 025. 075. 0)1 ()1 ()(=ppPPP%4 . 190043. 0)(=nPpp2%4 . 1%8 . 2=ppzp 第五節(jié)第五節(jié) 抽樣推斷誤差的控制抽樣推斷誤差的控制 一、必要樣本單位數(shù)的確定必要的樣本單位數(shù)必要的樣本單位數(shù):影響必要樣本單位數(shù)大小的因素影響必要樣本單位數(shù)大小的因素 :必要樣本單位數(shù)的確定：必要樣本單位數(shù)

21、的確定：1、估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)：、估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)：222=znnzz)1 (22Nnnzz=2222222222zNNznNznz+=2、估計(jì)總體成數(shù)時(shí)：、估計(jì)總體成數(shù)時(shí)：22)1 (=PPzn)1 ()1 (222PPzNNPPzn+=注意：注意：)(62512015002)(57620024002222222222222212121戶(hù)戶(hù)=znzn抽樣設(shè)計(jì)的基本原則抽樣設(shè)計(jì)的基本原則常用的抽樣組織形式常用的抽樣組織形式:二、抽樣組織設(shè)計(jì)對(duì)總體的要求：對(duì)總體的要求：方法：方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的缺點(diǎn)：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的缺點(diǎn)：適用的條件：適用的條件：優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：方法：方法：kNNNN+=21knnn,21knnnn+=21NnNnNn=2211),2, 1(kiNnNnii=樣本平均數(shù)與抽樣平均誤差的計(jì)算：樣本平均數(shù)與抽樣平均誤差的計(jì)算：,111211nxxx222221,nxxx,kknkkxxx,21ijijinxx=), 2 , 1(ki=nxnNxNxiiii