電磁場與電磁波--第二章：靜電場2PPT

1、12.6 唯一性定理唯一性定理1、定理表述、定理表述靜場邊值問題是在給出的邊界條件邊界條件下，求泊松方程和拉普拉斯方程的解。在求解靜態(tài)場邊值問題時，如果我們能找出找出一個函數(shù)，既滿足定解方程既滿足定解方程（泊松或拉普拉斯方程），又滿足相又滿足相應的邊界條件應的邊界條件，則這個函數(shù)就是我們所要求的解，而且是唯是唯一一的解。這就是唯一性定理。 2 2、靜電場邊值問題的分類、靜電場邊值問題的分類邊值問題分為三類，即u第一類邊值問題：已知整個邊界上的位函數(shù)狄利克萊狄利克萊 邊界條件。 u第二類邊值問題：已知整個邊界上的電位法向?qū)?shù)（即電荷面密度）諾伊曼諾伊曼條件。 2u第三類邊值問題：邊界上部分電位部

2、分電位已知，另一部分另一部分上的電位的法向?qū)?shù)已知混合邊界混合邊界問題。得到格林第一恒等式格林第一恒等式3 3、解的唯一性的證明、解的唯一性的證明（一）拉普拉斯方程解的唯一性證明（一）拉普拉斯方程解的唯一性證明而和為空間區(qū)域內(nèi)兩個任意的標量函數(shù)令某矢量場A由恒等式和代入散度定理sdsnd3令有又，考慮到（對于拉氏方程）從而得到假設(shè)現(xiàn)在有兩個兩個滿足邊界條件的拉普拉斯方程的解解，令其分別為 、 ，因為拉普拉斯方程是線性方程，兩個解的差也差也滿足拉普拉斯?jié)M足拉普拉斯方程，即4下面來證明對于上面的三類邊值問題，拉普拉斯方程的解都是唯一的。n對于第一類邊值問題對于第一類邊值問題 在邊界S上有 于是因為

3、左邊積分是非負是非負的，故有即但因為在邊界上在邊界上+為零為零，因此有從而證得對于第一類邊界條件，拉普拉斯方程的解是唯一的。 n對于第二類邊值問題對于第二類邊值問題5由于給定了導體邊界面的帶電量q,則有其中s為閉合的邊界面,因此必有同樣得到 即第二類邊值問題的解也是唯一的。 也就是說，和 只相差一個常數(shù)只相差一個常數(shù)對于混合邊值問題，只要把上右邊的閉合面積分閉合面積分寫成各部分表面的面積分之和，對每部分表面應用如上的討論，便可得到結(jié)論。 （二）泊松方程解的唯一性的證明（二）泊松方程解的唯一性的證明 對于泊松方程，有 6同樣假設(shè)泊松方程有兩個兩個都滿足邊界條件的解和 ，即兩式相減，得到即泊松方程

4、兩個解的差+應是拉普拉斯方程的解。重復上面的過程，同樣可以證明泊松方程的解是唯一的。4、解的唯一性的意義、解的唯一性的意義靜電場邊值問題解的唯一性說明：在求解電磁場邊值問題時，只要得出的解既滿足定解方程，又滿足相應的邊界條件，這個解就一定是定解問題的唯一解。7Example 2.10電荷均勻分布于兩平行的圓柱面間的區(qū)域中，密度為，兩圓柱半徑分別為a及b，軸線相距c。如圖所示，求空間各區(qū)域的電位移和電場強度。 81、利用疊加原理，將空心部分看成是分別具有電荷密度為和- 的兩個平行圓柱的疊加,如圖所示解：解：2.利用高斯定律(a) 當ra時，對于圓柱一，在空間的電場為9其中對于圓柱二，在空間的電場

5、為其中最后得到10(b) 在外圓柱與內(nèi)圓柱之間，有而E2與（a）相同，從而在內(nèi)外圓柱之間電場為(c) 在空腔內(nèi)，E1與（b）相同即11空腔內(nèi)電場為均勻場 Example 2.11一不帶電的孤立導體球(半徑為a)位于均勻電場中，EazE0，如圖所示。求電位函數(shù)。在沒有引入導體球時，均勻電場E的電位函數(shù)為解：解：若取z0為電位參考點，則c0 ,cos00rrEzEz為什么用球坐標?12均勻電場中的導體球13 當引入一個不帶電的小球?qū)w后，球表面出現(xiàn)感應電荷感應電荷。靜電平衡下的導體球為等位體，球內(nèi)電場為零。在ra的空間內(nèi)，電位由兩個部分組成，即 為感應面電荷的電位。 將導體球心和球坐標原點重合，則

6、雖然感內(nèi)電荷密度的大小大小是未未知知的。但它在球面上的分布一定對稱對稱于z=0的平面上正下負。相當于一些電偶極子電偶極子對稱地分布在z軸的兩邊，它們在ra區(qū)域內(nèi)的電位應為2cosrk 故總電位為由邊界條件來確定待定常數(shù)k。20coscosrkrE14、在r 處，感應電荷的影響消失，電位分布僅為上面的電位函數(shù)已滿足這 一條件。、在r=a的導體球面上電位為零,即由此可解得30aEk 總的電位函數(shù)為可以驗證,該式滿足拉普拉斯方程,自然滿足邊界條件.顯然上式是滿足拉普拉斯方程的一個解根據(jù)唯性定理，它也一定是唯一的解.152.7 電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化 . 極化強度極化強度電介質(zhì)電介質(zhì)即絕緣材料如石英

7、石英、云母云母、變壓器油變壓器油、芭麻油芭麻油、氫氫和氯氯等。電介質(zhì)可以是固體固體、液體液體或氣體氣體，有趣的是，一般金屬蒸汽金屬蒸汽也是電介質(zhì)。電介質(zhì)中的電子受原子該的束縛很強，即使在外電場的作用下電子也不能脫離原于核做宏觀運動，只能在原子間隔尺度內(nèi)作微觀位移。電介質(zhì)分子可分為兩類：無極分子無極分子和有極分子有極分子。l 無極分子：無極分子：當外電揚不存在時，電介質(zhì)中正負電荷的“重心”是重合的,沒有等效電偶極矩.然而，由于分子的無規(guī)則熱運動，各個分子等效電矩的方向是凌亂的，所以無論是整塊介質(zhì)或介質(zhì)中的某一部分，其中分子等效電偶極矩的矢量和都等于零.l有極分子有極分子：當外電場不存在時，電介質(zhì)

8、中的正負電荷重心”不重合，因此每個分子可等效為一個電偶極子161、介質(zhì)中的極化現(xiàn)象、介質(zhì)中的極化現(xiàn)象當把介質(zhì)放在電場中時，介質(zhì)的分子在電場作用下會發(fā)生極化，使得介質(zhì)中出現(xiàn)電偶極矩，偶極矩的電場疊加于原來的電場上，使電場發(fā)生變化。介質(zhì)的極化有三種三種不同的現(xiàn)象，它們分別是：p電子極化電子極化：組成原子的電子云在電場作用下相對于原子核發(fā)生位移。 可以認為，原子核不動，位移僅是電子。p離子極化離子極化：對于離子分子，在電場作用下，正負離子從其平衡位置發(fā)生位移形成電偶極矩。17在本課程中，我們并不關(guān)心介質(zhì)極化的微觀機理，而主要研究介質(zhì)極化對靜電場的宏觀影響，即電場的本構(gòu)關(guān)系。p取向極化取向極化：在電場

9、作用下，分子的電矩克服熱運動，而使分子電矩向電場方向移動，產(chǎn)生合成電矩2、極化強度、極化強度稱為該點的極化強度極化強度，單位為C/m2，它等于該點分子的平均電矩平均電矩（P）和分子密度）和分子密度N的乘積的乘積 pP0lim介質(zhì)極化可看成一個個偶極矩的集合，每一個偶極矩的電矩可認為P，則在電場的作用下，介質(zhì)中某體積元 內(nèi)的合成電矩為P，有： 18對于線性線性的、各向同性各向同性的均勻介質(zhì)均勻介質(zhì)來說，介質(zhì)中每一點極化強度矢量P與該點的總電場強度E成正比，即EPe0式中e稱為電極化系數(shù)電極化系數(shù)是一個無量綱數(shù)，不同的介質(zhì)有不同的電極化系數(shù). 對于各向異性介質(zhì)，極化強度P和外電場強度E方向不一致，

10、情況比較復雜，不在這里討論。193、束縛電荷、束縛電荷 由偶極矩來計算介質(zhì)對電場的影響是很困難的。實際上，如果介質(zhì)如果介質(zhì)均勻或介質(zhì)中不存在自由電荷均勻或介質(zhì)中不存在自由電荷，則介質(zhì)體積元內(nèi)的凈電荷為零則介質(zhì)體積元內(nèi)的凈電荷為零。電電荷只會出現(xiàn)在介質(zhì)的表面荷只會出現(xiàn)在介質(zhì)的表面。由于這種電荷總是在介質(zhì)中成對出現(xiàn)，這種電荷總是在介質(zhì)中成對出現(xiàn)，而不象自由電荷那樣可以單獨出現(xiàn)而不象自由電荷那樣可以單獨出現(xiàn)，因此，稱為束縛電荷束縛電荷。 當介質(zhì)的一部分表面出現(xiàn)正的束縛電荷時，另一部分表面上就會出現(xiàn)負的束縛電荷。 極化強度極化強度P與束縛電荷束縛電荷qp之間有一定的關(guān)系20設(shè)在外電場作用下，電介質(zhì)發(fā)生

11、了極化,極化強度為P在電介質(zhì)內(nèi)某點(x、y，z)取一個體積元dy，把該體積元中的所有電偶極于看成一個等效電偶極子，它的等效電矩為dPP(x,y,z)dV，這一等效電偶極子在遠處一觀察點A(X，y，z)產(chǎn)生的電位，可得不難證明代入后有于是，體積為v的電介質(zhì)中的全部電偶極子在場點A產(chǎn)生的電位是21利用矢量恒等式為積分范圍為v(介質(zhì)的整個范圍)在利用散度定理比較后，可以看出：束縛電荷的體密度為束縛電荷的面密度為于是介質(zhì)中一點的電位改寫成若電介質(zhì)中還存在自由電荷的體分布時，電介質(zhì)中一點總的電位可寫為224、介質(zhì)中的高斯定理、介質(zhì)中的高斯定理n電位移矢量電位移矢量 D 如圖所示，取一個閉合面S，計算從閉

12、合面內(nèi)穿出的電場E的通量，由高斯定理，有 23其中，qp為閉合面S內(nèi)總的束縛電荷。 考慮束縛電荷與極化矢量強度 P 的關(guān)系，如圖示，取一個面元S，以ds為底，斜高為l，其電量為： 即： 代入，得到電場與極化強度的關(guān)系： 即： 根據(jù)電位移的性質(zhì)24有取微分形式由和EPe0可得EEEDre001sqsdD便是介質(zhì)中的高斯定理這個關(guān)系式稱為電場的電場的本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系。255、介質(zhì)分界面上的邊界條件、介質(zhì)分界面上的邊界條件（1）電位移矢量）電位移矢量D的法向分量的法向分量的邊界條件的邊界條件如圖所示： 在分界面上取一個小的柱形柱形閉合面閉合面，其上下底面與分界面平行，并分別位于分界面兩側(cè)，柱形閉合面

13、的高高h為為無限小量無限小量。 利用高斯定理，由于高h為無限小，可以認為柱形閉合面?zhèn)缺诘耐繛榱?。從而得到介質(zhì)分界面上電位移矢量D的邊界條件為： 26即或SDDn21222111coscosEE討論：電場E的法向分量是否連續(xù)？當介質(zhì)分界面上無自由電荷無自由電荷時，有：對于介質(zhì)與理想導體介質(zhì)與理想導體的分界面，由于理想導體內(nèi)的電場為零，從而有27如果將電位移矢量D的法向分量的邊界條件用電位用電位表示，則有：對于無源分界面，有 （2）電場）電場E的的切向分量切向分量的邊界條件的邊界條件如圖所示，在分界面上取一個小的矩形閉合路徑矩形閉合路徑，其中寬為寬為h無無限小量限小量。 對于此小矩形，取E的環(huán)流

14、，有從而有28又由此有或：對于理想導體和介質(zhì)的分界面理想導體和介質(zhì)的分界面，由于理想導體內(nèi)的電場為零，因此有 表明：理想導體的表面的電力線與表面垂直與表面垂直（3）電位的邊界條件）電位的邊界條件由于在電場E的環(huán)流中，h為無窮小量，電場E沿h的線積分（電線積分（電位差）位差）也為無窮小量。因此，電場的切向分量連續(xù)的條件有隱含為在分界面上電位是連續(xù)的，即在分界面上，有29夾角關(guān)系夾角關(guān)系 由和由此得到介質(zhì)兩則電場的夾角（折射）夾角（折射）關(guān)系： 30半徑分別為a和b的同軸線外加電壓U，如圖所示。圓柱面電極間在圖示1角部分充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)其余部分為空氣，求介質(zhì)與空氣中的電場和單位長度上的電容量。

15、Example 2.13部分填充介質(zhì)的同軸線介質(zhì)與空氣中的電位必須既滿足既滿足拉普拉斯方程拉普拉斯方程,又滿足導體表面的又滿足導體表面的邊界條件邊界條件解：解：1根據(jù)唯一性定理采用試探方法求解，即假定電位的解是圓柱坐標下維坐標r的對數(shù)函數(shù)然后檢驗它們是否滿足所有的邊界條件。設(shè)兩個區(qū)域的電位函數(shù)為31己知邊界條件可確定:AC，BD故同時有聯(lián)立求解得于是，32由此可知rrarabUraEE1ln21從兩介質(zhì)邊界上的銜接邊界條件來看,顯然有(因為E1=E2=Er,沒有法向分量)(即法向分量為零)所以試探解是唯 一的真實解2 求單位長度上的電容量求單位長度上的電容量根據(jù)邊界條件 求得內(nèi)導體表面單位長度

16、上的電荷量)(aDrsabUabUaasslln2ln2101121133根據(jù)電容的定義，有同軸線單位長度上的電容為注：求解導體系統(tǒng)的電容量，有兩種思路：（1）已知（或假定已知）電容極板的電荷量電荷量Q，求出兩極板間 的電壓（電位差）U。則電容 C=Q/U。（2）已知（或假定已知）兩極板間的電壓電壓U，求出其中任一 極板上所存儲的電荷量Q。則電容 C=Q/U 。342.8 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 1、什么叫恒定電場、什么叫恒定電場 電流是由電荷的流動電荷的流動形成的。 當電荷流動不隨時間改變不隨時間改變時，稱為恒定電流恒定電流；對應的電場稱為恒定電場恒定電場。恒定電場即為加在導電

17、介質(zhì)上的靜電場靜電場。因此恒定電場 電場同時滿足靜電場的基本方程靜電場的基本方程2、電流密度、電流密度 電流在空間或?qū)щ娊橘|(zhì)中的分布分布并不一定是均勻的，為了表示電流的分布，我們在垂直于電荷運動的方向取一個面元 S，如果通過的電流為 I，則電流密度電流密度 J 的值定義為： 其方向為正電荷運動的方向正電荷運動的方向，單位為A/m235注：電流密度是矢量，而電流強度是標量電流密度是矢量，而電流強度是標量 正象流速是矢量，而流量是標量一樣。它們的類比關(guān)系如ssdJIssdvn體電流密度體電流密度如果電流是在一個體積中流動的，J 稱為體電流密度；它與電荷的關(guān)系為： 其中其中為該點的電荷體密度，v 是

18、該點電荷速度的平均值平均值 對于在體積中流過任意一個曲面S的電流為： 36n面電流密度面電流密度在許多場合，電流僅在一個表面上流過表面上流過，稱為表面電流；對應的，可定義面電流密度面電流密度： 它與表面電荷的關(guān)系為：表面電流為37n線電流線電流 當電荷在一根很細的導線很細的導線中流過時，或電荷束的橫截面很小時，可考慮線電流的概念。線電流定義定義為其中，是電荷運動方向的單位矢量。 3、恒定電場的基本方程、恒定電場的基本方程（1）.電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程由電荷守恒出發(fā)，在導體中任取一個閉合面由電荷守恒出發(fā)，在導體中任取一個閉合面S包圍體包圍體積積，顯然，從閉合面，顯然，從閉合面流出的電流流出

19、的電流表示每秒從體積內(nèi)表示每秒從體積內(nèi)穿過穿過S到外面去的電量。由于到外面去的電量。由于電荷是守恒電荷是守恒的，所以穿的，所以穿出閉合面的電流應等于它所包圍體積內(nèi)的電荷的減出閉合面的電流應等于它所包圍體積內(nèi)的電荷的減少率，即：少率，即： 38利用散度定理，得到由于積分區(qū)域是任意的，因此有：（連續(xù)性方程的積分形式）（連續(xù)性方程的微分形式）連續(xù)性方程是包括極化電流極化電流在內(nèi)的任何電流都必須滿足的性質(zhì)。 對于恒定電流恒定電流（恒定電場中的電流）（恒定電場中的電流），由于空間電荷空間電荷的分布不隨時間而變，即 39從而有：（2）導體的本構(gòu)關(guān)系）導體的本構(gòu)關(guān)系微分形式的歐姆定律微分形式的歐姆定律實驗指

20、出：導體中任一點的電流密度與該點的電場強度成正比，即： 稱為導體的電導率電導率，單位為S/M（西門子/米）它稱為微微分形式的歐姆定律分形式的歐姆定律由此可以導出一段均勻?qū)Ь€的歐姆定律：（3） 導體回路中的電場導體回路中的電場40與靜電場不同，在恒定電場中，除非是理想導體，在導體中必須有驅(qū)使電荷運動的電場驅(qū)使電荷運動的電場存在，考慮電荷q沿導體構(gòu)成的閉合回路一周所作的功，有： 在電源外部 （只存在靜電場）： 電源內(nèi)的電場設(shè)為E，非靜電場為E有從而有：根據(jù)靜電場的性質(zhì)：41從而有：令稱為電動勢，它是非保守場沿閉合路徑的積分，因為電源內(nèi)電源內(nèi)存在非保守場存在非保守場，所以當積分回路穿過電源時，總電場

21、的積分不等于零。如果積分回路不經(jīng)過電源，則有：從而可知，在電源外部的導體中，電場都具有保守性保守性，可用電電位梯度位梯度來表示。4 、不同導體分界面上的邊界條件、不同導體分界面上的邊界條件42由微分形式的歐姆定律可以看出，在相同電場強度條件下，電導率不同的導體中，電流密度是不同的，因此有必要了解不同導體分界面上的邊界條件。 （1）電流密度的）電流密度的法向矢量法向矢量連續(xù)連續(xù)： 證明如下：在不同導體的分界面兩側(cè)做高為h，上下面積為ds的閉合面，其中h為無窮小為無窮小，如圖所示：利用電流連續(xù)性方程，由于閉合面的高h為無限小，有43即從而證得，在不同導體的分界面上，電流的法線分量連續(xù)。（2）電場的

22、切向分量連續(xù)）電場的切向分量連續(xù)：與證明不同介質(zhì)分界面電場切向分量連續(xù)的方法相同，在不同導體的分界面兩側(cè)做長為dl，寬為h的閉合曲線閉合曲線，其中h為無窮小，如圖所示： 由于積分路徑不經(jīng)過電動勢，因此，電場沿閉合路徑的線積分為零，由此得到： 44（3） 電位的邊界條件：電位的邊界條件： 考慮到電場與電位和電流的關(guān)系，有：（4） 夾角關(guān)夾角關(guān)系系由即 和即以及 45有 最后 討論: 若2， 1仍為有限值只要 則 ，也就是說，只要第2區(qū)域的導體是理想導體那么。第一區(qū)域的J1和EI垂直于交界面，此交界面可認為是等位面。2221電場（電流密度）與理想導體的表面垂直電場（電流密度）與理想導體的表面垂直4

23、6 恒定電場的基本方程總結(jié)恒定電場的基本方程總結(jié):：（與靜電場的比擬）（與靜電場的比擬） 恒定電場靜電場47Example 2.14兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸的圓柱面，內(nèi)導體半徑為a，分界面半徑為b，外導體內(nèi)半徑為c，兩層介質(zhì)的電容率為1及2，漏電導為1和2，外加電壓U0伏時。求：介質(zhì)中的電場強度電場強度、分界面上的自由電荷密度自由電荷密度及單位長度的漏電導單位長度的漏電導。 解：解：設(shè)兩導體間單位長電流為I，半徑r處的電流密度為J，則有 由電流連續(xù)性方程和歐姆定律，設(shè)內(nèi)介質(zhì)內(nèi)的電場強度為E1r，外介質(zhì)的內(nèi)電場強度為E2r，在分界面上有48從而得到rIEErr22211內(nèi)外導體間的電

24、壓為代入,有49單位長度的漏電導為：電場：分界面上的電荷分界面上的電荷（1） 內(nèi)導體表面上的電荷密度：50由于內(nèi)導體是理想導體，因此有：（2）外導體表面的電荷密度 （3）兩種介質(zhì)分界面上的電荷密度51Example 2.15在一塊厚為d的導電板上，由兩個半徑r1和r2的圓弧和夾角為的兩半徑割出的一塊扇形，求（1）沿厚度方向的電阻。（2）求兩圓弧面間的電阻。（3）求圓弧方向的電阻。 52如圖所示，先求厚度方向的電阻：解：解：（1）設(shè)設(shè)上下兩面的電壓為上下兩面的電壓為U，電，電流為流為I，顯然，厚度方向截面積是相等的，電流密度是均勻的，有則電場為對電場沿厚度方向積分，有53由此得到厚度方向的電阻為

25、：（2)求兩圓弧面間的電阻：在兩圓弧面間做半徑為r的圓弧面，由電流連續(xù)性原理，通過通過圓弧面的總電流是相等的圓弧面的總電流是相等的，則在圓弧面的電流密度為 則電場強度為對電場從r1r2積分，有54從而得到兩圓弧面間的電阻為（3）求圓弧方向的電阻：此時，電壓施加在電壓施加在=0和和=的的兩個面之間兩個面之間，如上圖所示。 作通過圓心，夾角為的射線，考慮由射線和厚度d構(gòu)成的平平面面，顯然穿過平面的電流就是總的電流。值得注意的是，由于電場沿圓弧的積分路徑隨半徑的不同而不同，因此顯然電流密度在平面上不同半徑位置是不同的，也就是說，電流密度在平面上不是均勻電流密度在平面上不是均勻分布分布的，因此不能直接

26、由總電流求出電流密度。 55由于電壓加在方向，因此電壓只在方向變化，電位滿足的拉普拉斯方程為： 由此得到根據(jù)邊界條件，由電場與電位的關(guān)系，有有56從而得到電流密度為穿過橫截面的總電流為最后得到沿圓弧方向的電阻為572.9 導體系統(tǒng)的電容導體系統(tǒng)的電容 1、電位系數(shù)與電容系數(shù)、電位系數(shù)與電容系數(shù) 兩個以上導體的系統(tǒng)，稱為多導體系統(tǒng)。 設(shè)有N個導體與地構(gòu)成的系統(tǒng)，取大地的電位為零，多導體的電量分別為：q1，q2，q3.qn,則導體電位電位與各導體電量電量之間的線形關(guān)系可寫為： 58對上面N個方程求解，可得各導體上的電量：上式中，pij稱為電位系數(shù)，它與所有導體的幾何條件有關(guān)。當i=j時，ij稱為電

27、容系數(shù)。 當ij時，ij稱為感應系數(shù)。 它們都是同各導體幾何條件有關(guān)的參數(shù)。 可以證明,ij=ji,即：感應系數(shù)具有互易性。 2、多導體系統(tǒng)的電量與電容、多導體系統(tǒng)的電量與電容 59當有多導體存在時，導體電量受其它導體的影響。因此在計算多導體系統(tǒng)中兩個導體之間的電容時，就必須考慮其它導體的影響。 將改寫為：60從上式可以看出： 導體1的電量是由N部分組成。其中第一部分第一部分：導體1與地之間的電壓與地之間的電壓成正比，比值 是它與地之間的部分電容。 第二部分：第二部分： 是與導體與導體1 1、2 2間的電壓間的電壓成正比。 .。 系數(shù)C Cii稱為自電容自電容，C Cijij（ij）稱為互電容

28、互電容 顯然，部分電容不僅與相關(guān)的導體有關(guān)，而且與所顯然，部分電容不僅與相關(guān)的導體有關(guān)，而且與所有其它導體的幾何條件有關(guān)。有其它導體的幾何條件有關(guān)。 612.10 靜電能量與靜電力靜電能量與靜電力 1、靜電能量：、靜電能量： 電場的最基本特征最基本特征是對靜止的電荷有作用力對靜止的電荷有作用力，這說明電場具有能量能量。 )()(dddWe（理解?。┓e分（對和對）得：qWe21孤立帶電球的電場能為推導過程推導過程下一頁設(shè)電場空間的媒質(zhì)是線性的，位置固定，并當系統(tǒng)完全建立時，最終的電荷分布為，電位為。為了分析問題的方便，假設(shè)各點的電荷密度按其最終分布的同一比例因子變化，則各點的電位也將按同一因子變

29、化，即：設(shè)某一時刻電荷分布為 時，電位為 ，令從零到1變化，則在 的時間間隔中，對于d的體積能量的增加為： dq62設(shè)已知帶電金屬球的半徑為a，總帶電量為q，其電位是aq4設(shè)想，電荷q是從無窮遠處一份一份地逐漸搬運到金屬球上來的在搬運過程中的某一狀態(tài)時，球上電荷為xq，（0 x1）球的電位為axq4xdxaqxqdaxqxqddW442外力所作的功則轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿?，即edWdW所以，總電場能為：qqaqxdxaqWe214214102返回下一次再搬運 電荷時，外力需要做功xqd63注意這里所有的電荷都是真實電荷。 引入恒等式： 有： DDDD64當取整個積分空間時，由于 而 從而得到： 因此，第

30、一項積分為零。單位體積的能量密度為： dWee所以，總的電場能可表示為65用能量密度公式，再來計算帶電球的電場能量。已知帶電金屬球的半徑為a，帶電量為q則球外的電場強度為214rqaEr4222232421rqrqe能量密度為球外總的電場能aaeerdrqdrrrqdW2224228432qaq421與前面計算的結(jié)果一致。66如圖所示，半徑為a的導體球和半徑為C（ca）的同心導體球殼，中間部分填充兩種不同介電常數(shù)的電介質(zhì)，它們的分界球面的半徑為b。Example 2.16（1）求兩導體間的電容；（2）若內(nèi)外兩導體分別帶有電荷+q和-q。求兩層介質(zhì)中所存儲 電場能We，并由此計算該導體系統(tǒng)的電容

31、。解：解：（1）求兩導體間的電容為便于分析，內(nèi)外兩導體分別帶有電荷+q和-q。根據(jù)系統(tǒng)的球?qū)ΨQ性，直接用高斯定律qsdDs可求出介質(zhì)中的電位移分布：6724)(rqrD由此，兩層介質(zhì)中的電場強度分別為2114rqE2224rqE于是，兩導體間的電壓為cbqbaqdrEdrEUbacb1141142121所以，電容為cbbaUqC111111421（2）先求介質(zhì)中的電場能68在上述電荷分布的情況下，介質(zhì)1中的電能密度為41222211132421rqrqe同樣，介質(zhì)2中的電能密度為4222232rqe兩層介質(zhì)中總的電場能為bacbbacbeeerdrrrdrrqddW42242122214141

32、32cbbaq1111118212根據(jù)電容與電場能的關(guān)系式：CqCUWe222121eWqC22可得到與前一樣的結(jié)果692、靜電力、靜電力靜電力的計算靜電力的計算虛位移法虛位移法 原則上帶電導體之間的靜電力可用庫侖定律可用庫侖定律來計算。這里介紹另外一種計算方法，在力學中用物體位能的空間變化率位能的空間變化率來計算力，有時是很方使的。這便是虛位移法。虛位移法。（1）位移過程中，帶電體的電帶電體的電荷荷不變不變帶電系統(tǒng)充電后與外電源脫離。假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)如果某一導體因受因受靜電力的作用引起某種位移靜電力的作用引起某種位移、（由于此時電源已脫離），位移所需的功應由電場能付出由電場能付出，即所以，靜電力等

33、于電位能量的空間減少率電位能量的空間減少率eWxFconstqeWF例如：一個半徑為R、帶電量q為常量的孤立球?qū)w充電后與電源斷開，其靜電能量為：70球面上總的靜電力單位面積受力該結(jié)果可用下面的圖來解釋導體表面的靜電力小塊所占居的空間 在沒有位移前，其電場能為xs xse位移后，該能量消失，即xsxFe單位面積受力esFf71（2）位移過程中，帶電體的電帶電體的電位位不變不變?yōu)槭闺娢徊蛔儯瑢w系統(tǒng)內(nèi)各導體必須保持與外加電源相連如果其一導體發(fā)生位移，則必然引起所有導體上的電荷量變化。必然引起所有導體上的電荷量變化。故外界電源要作功，所作之功電源提供的能量一半用于電場儲能，另一半用來靜電力作功另一

34、半用來靜電力作功此時的靜電力計算為consteWF例如：假定半徑為R的孤立導體球的電位為常數(shù)=U，總的靜電能量為故靜電力結(jié)果與q為常數(shù)時完全一致72閱讀P72例題，注意電介質(zhì)片所受靜電力方向的物理規(guī)律物理規(guī)律部分填充電介質(zhì)的電容器本章小結(jié)本章小結(jié)1、靜電場的兩個基本變量及本構(gòu)關(guān)系ED恒定電場兩個基本變量間的關(guān)系EJ2、靜電場的基本方程為：73恒定電場的基本方程3、靜電場E可用電位函數(shù)來表示。無界空間內(nèi)的電位函數(shù)為均勻?qū)щ娊橘|(zhì)沒有凈電荷均勻?qū)щ娊橘|(zhì)沒有凈電荷（體電荷的電位） 4在均勻電介質(zhì)中電位函數(shù)的微分方程泊松方程：拉普拉斯方程：在滿足給定邊界條件的情況下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。

35、74 5、在不同介質(zhì)的分界面上snnDD21在界面上無自由電荷時nnDD21nn2211或ttEE21電場的折射關(guān)系：2121tantan在不同的導電媒質(zhì)交界面上nnJJ12nn2211ttEE21另外212121tantan6、靜電場能量導體系統(tǒng)的能量為iiieqW21由場變量計算的電場能dDEWe2175在導電媒質(zhì)內(nèi)恒定電場中電場儲能密度儲能密度為221Ee損耗密度損耗密度(功率密度）為2Ep7、導休或介質(zhì)所受到靜電力可以電場能量的空間變化率（虛位虛位 移法移法）求出。本章作業(yè)題：ex 2.6；2.9；3.3；3.4；3.5；3.9；3.12；3.13（4）；3.16；3.19；3.20；

36、3.21；3.24；3.27；3.33；3.35；76 根據(jù)量子理論，氫原于中心是一個帶正電qe的原子核(可看成是點電荷)，外面是帶負電荷的電子云。在正常狀態(tài)下，電子云的電荷密度分布是球?qū)ΨQ的例題例題1 0230areeeaqr(a0為常數(shù))求原子內(nèi)的電場分布。設(shè)在原于內(nèi)距原于核為r處的場強為E，E沿徑向，具有球?qū)ΨQ性。以核為球心,r為半徑作一高斯球面S，通過此面的E的通量為:解：解：高斯面S內(nèi)的電荷量的代數(shù)和為77根據(jù)高斯定理例題例題2一個半徑為a的介質(zhì)球,其介電常數(shù)為,均勻帶電荷體密度為，放置于無界的空氣中.（1）求球內(nèi)外的電場強度分布；（2）求球心處的電位。 求介質(zhì)球表面的束縛電荷面密度sp和球內(nèi)束縛電荷體 密度p 解解:(1)求球內(nèi)外的電場強度分布由帶電系統(tǒng)的對稱性帶電系統(tǒng)的對稱性和高斯定律高斯定律sqsdD取半徑為r的同心球面為高斯面78當r大于a時 232313434raaraarDrr從而: 20313raarErar 當r小于a時 3434232rarrarDrr從而