簡(jiǎn)諧激勵(lì)下強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)特性

1、簡(jiǎn)諧激勵(lì)下強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)特性簡(jiǎn)諧激勵(lì)下強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)特性強(qiáng)迫振動(dòng)的幾種形式強(qiáng)迫振動(dòng)的幾種形式強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程取不同形式時(shí)，振動(dòng)特點(diǎn)不同取不同形式時(shí)，振動(dòng)特點(diǎn)不同其中簡(jiǎn)諧激勵(lì)為最簡(jiǎn)單的激勵(lì)形式其中簡(jiǎn)諧激勵(lì)為最簡(jiǎn)單的激勵(lì)形式單自由度運(yùn)動(dòng)微分方程的一般形式單自由度運(yùn)動(dòng)微分方程的一般形式)()()(txtxtxph其中其中, 為相應(yīng)齊次方程的解為相應(yīng)齊次方程的解 為方程的特解為方程的特解 運(yùn)動(dòng)微分方程的解運(yùn)動(dòng)微分方程的解 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng))(txh)(txp（有阻尼系統(tǒng)中該項(xiàng)解將逐漸消失）（有阻尼系統(tǒng)中該項(xiàng)解將逐漸消失）振動(dòng)的時(shí)域波形振動(dòng)的時(shí)域波形一、無(wú)阻尼情形一、

2、無(wú)阻尼情形無(wú)阻尼情形的運(yùn)動(dòng)方程無(wú)阻尼情形的運(yùn)動(dòng)方程瞬態(tài)解的一般形式：瞬態(tài)解的一般形式：穩(wěn)態(tài)解的一般形式：穩(wěn)態(tài)解的一般形式：代入運(yùn)動(dòng)方程，得到振幅：代入運(yùn)動(dòng)方程，得到振幅：因此，總振動(dòng)的一般形式為：因此，總振動(dòng)的一般形式為：放大系數(shù)與靜位移放大系數(shù)與靜位移總振動(dòng)方程中總振動(dòng)方程中代入初始條件，可求得待定常數(shù)代入初始條件，可求得待定常數(shù) 得到總振動(dòng)的表達(dá)式得到總振動(dòng)的表達(dá)式振幅放大系數(shù)（幅值比）振幅放大系數(shù)（幅值比）靜位移靜位移無(wú)量綱頻率比無(wú)量綱頻率比穩(wěn)態(tài)解的振幅穩(wěn)態(tài)解的振幅 X 通?？杀磉_(dá)成通?？杀磉_(dá)成211stXr0/stFk/nr 其中：X無(wú)阻尼系統(tǒng)幅頻特性無(wú)阻尼系統(tǒng)幅頻特性穩(wěn)態(tài)解的分段響應(yīng)

3、特性穩(wěn)態(tài)解的分段響應(yīng)特性總響應(yīng)總響應(yīng)共共 振振由羅比塔法則由羅比塔法則00( )cossinsin2stnnnnnxtx txttt 此時(shí)此時(shí)Case 4: n 設(shè)激勵(lì)頻率與固有頻率接近激勵(lì)頻率與固有頻率接近000 xx，則：令， 為一小正數(shù)。則：2n2n224n2n因此有：激勵(lì)頻率與固有頻率接近激勵(lì)頻率與固有頻率接近 0/sinsin2Fmx ttt0/sin2Fmt可變幅值可變幅值幅值變化周期為2/ 出現(xiàn)拍的現(xiàn)象出現(xiàn)拍的現(xiàn)象激勵(lì)頻率與固有頻率接近激勵(lì)頻率與固有頻率接近拍振周期拍振周期：兩零幅值點(diǎn)或最大幅值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間：兩零幅值點(diǎn)或最大幅值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間222bn拍頻拍頻：2(:)bnbnor

4、fff 拍的現(xiàn)象拍的現(xiàn)象tFxkxmsin0 txxsin 1, 1, 10Fkm1.121.061.11.8Period of beating:?Max. Amplitude: ?拍的現(xiàn)象拍的現(xiàn)象激勵(lì)頻率與固有頻率比不同時(shí)的情況激勵(lì)頻率與固有頻率比不同時(shí)的情況mgmkcxokFFcF如右圖所示的單自由度系統(tǒng): m=5kg, c=0 Ns/m, and k=2000 N/m.如果如果F F( (t t)=10sin(20)=10sin(20t t)(N), )(N), 所有初條所有初條件為零件為零, , 求系統(tǒng)響應(yīng)求系統(tǒng)響應(yīng)x x( (t t)=?)=?Solution The equatio

5、n of motion: 5200010sin20 xxtn200020 rad/s5例（例（1）mgmkcxokFFcF tctcttx20sin20cos212 tctcttctctx20cos20sin2020sin20cos21212 tctcttctctx20sin20cos40020cos20sin4021212 ttctcttctcttctc20sin1020sin20cos200020sin20cos200020cos20sin20021212102c)m(05. 0200101cParticular solution:Substitute above equations in

6、 equation of motion to obtain例例 （1） tttBtAtx20cos05. 020sin20cosThe solution: 000Ax 20 cos200.05cos20sin20 x tBtttt 0.05000.0025 (m)20 xBA and B are determined using the initial conditionsHence, the complete response of the undamped system is 0.0025sin200.05 cos20mx tttt例（例（1）The solution: 0.0025sin

7、200.05 cos20mx tttt例（例（1）二、有阻尼情形二、有阻尼情形運(yùn)動(dòng)方程一般形式運(yùn)動(dòng)方程一般形式假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動(dòng)方程得假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動(dòng)方程得用三角函數(shù)公式展開(kāi)用三角函數(shù)公式展開(kāi)令兩邊同諧波項(xiàng)相等令兩邊同諧波項(xiàng)相等幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)和瞬和瞬態(tài)問(wèn)態(tài)問(wèn)題！題！全解！全解！無(wú)量綱化無(wú)量綱化振幅放大系數(shù)（幅值比）振幅放大系數(shù)（幅值比）式中：力函數(shù)和響應(yīng)相位差力函數(shù)和響應(yīng)相位差 Vector relationshipExcitationF(t)F00oRestoringkX0Lag F(t) DampingExceed x (t) 90oInertiam

8、2X0Exceed x (t) 180ocx 2xm 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位特性cX0kx(Stiffness domination)212arctan2222112220021kFX000,1,0,FXk 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的低頻低頻特性特性r0stX（習(xí)慣表達(dá)方式）（外力主要與彈性力平衡）（外力主要與彈性力平衡）若若(Inertia domination)212arctan2222112220021kFX200022,0,nFFXkm 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的高頻高頻特性特性（外力主要與慣性力平衡）（外力主要與慣性力平衡）(Damping domination)212arctan22

9、22112220021kFX00011,222FFXkc 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的共振特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的共振特性（共振時(shí)，外力與阻尼力平衡，慣性力與彈性力平衡）（共振時(shí)，外力與阻尼力平衡，慣性力與彈性力平衡）1max1222112dn0212821232222222221122120221 2 21 2122222max1212142111振幅達(dá)到最大值時(shí)的頻率振幅達(dá)到最大值時(shí)的頻率受迫振動(dòng)峰值并不出現(xiàn)在阻尼受迫振動(dòng)峰值并不出現(xiàn)在阻尼系統(tǒng)的固有頻率處，峰值頻率系統(tǒng)的固有頻率處，峰值頻率略向左偏移，略向左偏移， 對(duì)于小阻尼對(duì)于小阻尼 (i.e., for light damping).2121n22211nd1n

10、dpeak2arctanckmpeakdn相位特性和振幅一樣，相位特性和振幅一樣，振幅達(dá)到最大值時(shí)的頻率振幅達(dá)到最大值時(shí)的頻率0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx2arctanmkc自由振動(dòng)自由振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)相位差特性相位差特性相頻曲線相頻曲線總響應(yīng)總響應(yīng)（1）當(dāng)外激勵(lì)）當(dāng)外激勵(lì) F(t)=10sin(10t)(N), 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)應(yīng)x2(t)=?（2）當(dāng)）當(dāng) F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值條件為零，而所有的初值條件為零，即即 x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬態(tài)解及總響應(yīng)求瞬態(tài)解及總響應(yīng) x(t)?當(dāng)當(dāng) t = 1 s,

11、2 s, 3 s時(shí)，瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，瞬態(tài)響應(yīng)x1(t) 的幅值及穩(wěn)態(tài)響的幅值及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)應(yīng) x2(t)的幅值的幅值 mgmkcxokFFcF如右圖所示的單自由度系統(tǒng): m=5kg, c=20 Ns/m, and k=2000 N/m.例例 （2）作受力分析圖作受力分析圖kFFcFmmgmgmkcxokFFcF例例 （2）代入 m=5kg, c=20Ns/m, and k=2000N/m.tFxkxcxmsin0 n20 (rad/s)km100.52022211.32210.520.50.1200.12002cmkF(t)=10sin(10t) ，2dn119.9(rad/s)例例 （2）00FXk

12、3101.3226.61 10 (m)2000222 0.5 0.1arctanarctan0.133rad10.5ckm 26.61 sin 100.133mmxtt例例 （2） 133. 0sin61. 60A，mm87. 0133. 0sin61. 6A tBtAtxtdd2sincose2 133. 010cos1 .66cossinedddd2ttBtAt 133. 0cos1 .669 .1920BA mm2 . 39 .19/133. 0cos1 .662AB 2ddecossin6.61sin 100.133tx tAtBtt例例 （2）1x 2e0.87 cos 19.93.

13、2 sin19.9tx ttt6.61 sin 100.133mmt23.32ecos 19.91.316.61sin 100.133mmttt例例 （2）注意：即使初始條件均為零，瞬態(tài)解仍然不為零！注意：即使初始條件均為零，瞬態(tài)解仍然不為零！ ttxtd21cose316. 3 mm133. 010sin61. 62ttxAmplitude of x2(t) =6.61mmt=1s, Amplitude of x1 = 0.45mmt=2s, Amplitude of x1 = 0.061mmt=3s, Amplitude of x1 = 810-3mm例例 （2）衰減有、無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)比有、

14、無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)比無(wú)阻尼無(wú)阻尼有阻尼有阻尼無(wú)阻尼系統(tǒng)的無(wú)阻尼系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線幅頻響應(yīng)曲線一般激勵(lì)下的響應(yīng)特性一般激勵(lì)下的響應(yīng)特性沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)考慮具有粘性阻尼的彈簧考慮具有粘性阻尼的彈簧 - 質(zhì)量系統(tǒng)在質(zhì)量系統(tǒng)在 t = 0 時(shí)受到一個(gè)單位沖量作用時(shí)受到一個(gè)單位沖量作用:對(duì)沖量的響應(yīng)對(duì)沖量的響應(yīng)對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為其中其中對(duì)沖量的響應(yīng)對(duì)沖量的響應(yīng)如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即則系統(tǒng)的初始條件變?yōu)閯t系統(tǒng)的初始條件變?yōu)橄到y(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)的響應(yīng)為我們有我們有

15、:稱(chēng)為稱(chēng)為 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)對(duì)沖量的響應(yīng)對(duì)沖量的響應(yīng)如果沖量的大小是如果沖量的大小是 而不是而不是1，那么初始速度，那么初始速度 變?yōu)樽優(yōu)榇藭r(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)成為此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)成為沖量及響應(yīng)如右圖所示。沖量及響應(yīng)如右圖所示。如果沖量如果沖量 是作用在任意時(shí)刻是作用在任意時(shí)刻 處，處，則該時(shí)刻速度變化為則該時(shí)刻速度變化為 。假設(shè)沖量。假設(shè)沖量作用前作用前 ，則系統(tǒng)響應(yīng)為，則系統(tǒng)響應(yīng)為 脈沖發(fā)生的時(shí)刻脈沖發(fā)生的時(shí)刻對(duì)任意外力的作用，可將任意力看成對(duì)任意外力的作用，可將任意力看成是一系列大小變化的沖量組成的。是一系列大小變化的沖量組成的。對(duì)一般力的響應(yīng)對(duì)一般力的響應(yīng)假設(shè)在假設(shè)在 時(shí)刻，力時(shí)刻，力 在很短的在很短的時(shí)間時(shí)間 作用在系統(tǒng)上，則在這一時(shí)刻作用在系統(tǒng)上，則在這一時(shí)刻的沖量就是的沖量就是 ，對(duì)于任意時(shí)刻，對(duì)于任意時(shí)刻 ，沖量發(fā)生的時(shí)間為沖量發(fā)生的時(shí)間為 ，則該沖量在，則該沖量在 時(shí)刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為時(shí)刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為:則系統(tǒng)在則系統(tǒng)在 t 時(shí)刻的總響應(yīng)等于之前所有時(shí)刻的微沖量引起的時(shí)刻的總響應(yīng)等于之前所有時(shí)刻的微沖量引起的響應(yīng)的疊加：響應(yīng)的疊加：對(duì)一般力的響應(yīng)對(duì)一般力的響應(yīng)將單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式代入，得將單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式代入，得式中的積分稱(chēng)作式中的積分稱(chēng)作 杜哈梅積分杜哈梅積分