數(shù)學人教版高二必修五不等式

1、不等式（一）不等式及不等關系1、應用不等式（組）表示不等關系；不等式的主要性質：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)加法法則：；(同向可加)(4)乘法法則：；(同向同正可乘)(5)倒數(shù)法則：(6)乘方法則：(7)開方法則：2、應用不等式的性質比較兩個實數(shù)的大?。鹤鞑罘ǎㄗ鞑钭冃闻袛喾柦Y論）3、應用不等式性質證明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：設相應的一元二次方程的兩根為，則不等式的解的各種情況如下表： 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根 無實根 R2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，

2、并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。3、不等式的恒成立問題：常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上（三）線性規(guī)劃1、用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2、二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法由于對在直線Ax+By+C=0同一側的所有點()，把它的坐標（)代入Ax+By+C，所得到實數(shù)的符號都

3、相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側的平面區(qū)域.（特殊地，當C0時，常把原點作為此特殊點）3、線性規(guī)劃的有關概念：線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標函數(shù)：關于x、y的一次式z=ax+by是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組

4、成的集合叫做可行域使目標函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解4、求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：（1）尋找線性約束條件，列出線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）依據(jù)線性目標函數(shù)作參照直線ax+by0，在可行域內平移參照直線求目標函數(shù)的最優(yōu)解（四）基本不等式1若a,bR,則a2+b22ab,當且僅當a=b時取等號.2如果a,b是正數(shù)，那么變形： 有:a+b；ab,當且僅當a=b時取等號.3如果a,bR+,a·b=P(定值),當且僅當a=b時,a+b有最小值;如果a,bR+,且a+b=S(定值),當且僅當a=b時,ab有最大值.

5、注：（1）當兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式有：（1）(根據(jù)目標不等式左右的運算結構選用) ；平方平均算術平均幾何平均調和平均（a、b為正數(shù)）：（2）a、b、cR，（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。不等式主要題型講解（一） 不等式及不等關系題型一：不等式的性質1. 對于實數(shù)中，給出下列命題：；，則。其中正確的命題是_題型二：比較大?。ㄗ鞑罘ā⒑瘮?shù)單調性、中間量比較，基本不等式）2. 設，試比較的大小3. 比較1+及的大小4

6、. 若，則的大小關系是.（二） 解不等式題型三：解不等式5. 解不等式6. 解不等式。7. 解不等式8. 不等式的解集為x|-1x2，則=_, b=_9. 關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為10. 解關于x的不等式題型四：恒成立問題11. 關于x的不等式a x2+ a x+10恒成立，則a的取值范圍是_12. 若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.13. 已知且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍。（三）基本不等式題型五：求最值14. （直接用）求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2（2）yx15. （配湊項及系數(shù)）（1）已知，求函數(shù)的最大值。（2）當時，求的最大值。16. （耐克函數(shù)型

7、）求的值域。注意：在應用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數(shù)的單調性。17. （用耐克函數(shù)單調性）求函數(shù)的值域。18. （條件不等式）（1） 若實數(shù)滿足，則的最小值是.（2） 已知，且，求的最小值。（3） 已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.（4） 已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.題型六：利用基本不等式證明不等式19. 已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：20. 正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc21. 已知a、b、c，且。求證：題型七：均值定理實際應用問題：22. 某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污

8、水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。（四）線性規(guī)劃題型八：目標函數(shù)求最值23. 滿足不等式組，求目標函數(shù)的最大值24. 已知實系數(shù)一元二次方程的兩個實根為、,并且,則的取值范圍是 25. 已知滿足約束條件： 則的最小值是26. 已知變量（其中a>0）僅在點（3，0）處取得最大值，則a的取值范圍為。27. 已知實數(shù)滿足如果目標函數(shù)的最小值為，則實數(shù)等于（）題型九：實際問題28. 某餅店制作的豆沙月餅每個成本35元，售價50元；鳳

9、梨月餅每個成本20元，售價30元。現(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個數(shù)不超過10個，售價不超過350元，問豆沙月餅及鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大？又利潤最大為多少？復習不等式的基本知識參考答案高中數(shù)學必修內容練習-不等式1. 當或時，1+；當時，1+；當時，1+R>Q>P。2. 或；3. 不等式的解集為x|-1x2，則=_-6_, b=_6_4. 解：當a0時，不等式的解集為；2分當a0時，a(x)(x1)0；當a0時，原不等式等價于(x)(x1)0不等式的解集為；6分當0a1時，1，不等式的解集為；8分當a1時，1，不等式的解集為；10分當a1時，不等式的解為12分5. _0x4_

10、6. 解：（1）y3x 22值域為，+）（2）當x0時，yx22；當x0時，yx= （x）2=2值域為（，22，+）7. （1）解，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。（2）當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為8。8. 解析一： 當,即時,（當且僅當x1時取“”號）。解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當,即t=時,（當t=2即x1時取“”號）。9. 解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調性。因為在區(qū)間單調遞增，所以在其子區(qū)間為單調遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。10. （條件不等式）（1） 解：都是正數(shù)，當時等號成立，由

11、及得即當時，的最小值是6（2） 解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時，（3） 解：xxx·下面將x，分別看成兩個因式：x·即x·x（4） 解：法一：a，ab·b由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28ab18 y當且僅當t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30aba2ba2b2 30ab2令u則u22u300， 5u33，ab18，y11. 已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：12. 正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc13. 已知a、b、c，且。求證：證明：a、b、c，。同理，。上述三個不

12、等式兩邊均為正，分別相乘，得。當且僅當時取等號。14. 解：若設污水池長為x米，則寬為（米）水池外圈周壁長：（米）中間隔墻長：（米）池底面積：200（米2）目標函數(shù)：15. 416. 117. 5 18. 解：設一盒內放入x個豆沙月餅，y個鳳梨月餅，利潤為z元則x，y必須滿足，目標函數(shù)為z15x10y在可行區(qū)內的頂點附近zf ( x，y ) 的最大值，所以，一盒內裝2個豆沙月餅8個鳳梨月餅或4個豆沙月餅5個鳳梨月餅，可得最大利潤110元。絕對值不等式的解法：方法1：利用絕對值性質：一般的：特別地：練習1：不等式的解集為_2、 解不等式3、不等式的解集是4、不等式的解集是_方法2：利用絕對值定義：將不等式同解變形為不等式組（即分類討論思想）上面5題都可用此法方法3：零點分區(qū)間法，（含有多個絕對值的不等式時可用此法）練習1、解不等式方法4：平方法：若不等式兩邊均為非負數(shù)，對其兩邊同時平方，再解不等式。（切記：若用平方法，則不等式兩邊必須都是非負數(shù),只有這樣，才能運用平方法。）練習1、不等式的解集為_2、不等式的解集是絕對值不等式性質定理的運用：，特別是用此定理求函數(shù)的最值。練習1、不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取