整式的乘法與因式分解講義

1、整式乘除及因式分解一知識(shí)點(diǎn)1冪的運(yùn)算性質(zhì)：am·anamn （m、n為正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加例：(2a)2(3a2)32 amn （m、n為正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘例：(a5)53 （n為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積例：(a2b)3 4 amn （a0，m、n都是正整數(shù)，且mn）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減例：（1）x8÷x2 （2）（ab）5÷（ab）25零指數(shù)冪的概念：a01 （a0）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l例：若成立，則滿足什么條件？6負(fù)指數(shù)冪的概念：ap （a0，p是正整數(shù)）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的p（p

2、是正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)也可表示為：（m0，n0，p為正整數(shù)）7單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式例：（1） （2）8單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式及多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加例：（1） （2）（3） （4）9多項(xiàng)式及多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式及多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)及另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加例：（1） （2） （3）練習(xí)：1計(jì)算2x 3·(2xy)(xy) 3的結(jié)果是2如果(a nb·ab

3、m) 3a 9b 15，那么mn的值是3若k(2k5)2k(1k)32，則k4(3x 2)(2x3y)(2x5y)3y(4x5y)10單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y311多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把商相加練習(xí)：（1）；（2）；易錯(cuò)點(diǎn)：在冪的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯(cuò)誤； 有關(guān)多項(xiàng)式的乘法計(jì)

4、算出現(xiàn)錯(cuò)誤； 誤用同底數(shù)冪的除法法則； 用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則或多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則出錯(cuò)； 乘除混合運(yùn)算順序出錯(cuò)。12乘法公式：平方差公式：（ab）（ab）a2b2文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和及這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍例1：（1）(7+6x)(76x)； （2）(3y x)(x3y)； 例2： (1) (x+6)2練習(xí)：1、=_。_。2、（_）3、；（_）4、已知，那么=_；=_。5、若是一個(gè)完全平方式，那么m的值是_。6、多項(xiàng)式的

5、公因式是_。7、，則=_易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。13因式分解（難點(diǎn)）一、因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解 掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形； （3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止弄清因式分解及整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系因式分解及整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式 二、熟練掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法

6、的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母各項(xiàng)含有的相同字母；指數(shù)相同字母的最低次數(shù)；（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)及原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)（4）注意點(diǎn)：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的例：（1） （2）2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；常用的公式：平方差公式： a2b2 （ab）（ab）完全平方公式：a22abb2

7、（ab）2； a22abb2（ab）23. 分組分解法 要把多項(xiàng)式amanbmbn分解因式，沒(méi)有公因式可提，也不能直接運(yùn)用公式，如果先把前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它的后兩項(xiàng)分成另一組，提出公因式b，從而得到a(m+n)+b（m+n），這時(shí)又有公因式（m+n），于是提出（m+n），從而得到（m+n）（a+b），這種方法叫分組分解法。 注意： 總項(xiàng)數(shù)（四項(xiàng)或四項(xiàng)以上） 常見(jiàn)題多為四項(xiàng)， 二四分：兩兩分組，再提公因式。 一三分：一個(gè)三項(xiàng)一組（用完全平方公式），另一個(gè)一項(xiàng)一組（平方項(xiàng)），這 兩組再用平方公式。  例：（1）（2）（3）（4）練習(xí)：1、若是完全平方式，則的值等

8、于_。2、則=_=_3、及的公因式是4、若=，則m=_，n=_。6、若是完全平方式，則m=_。8、已知?jiǎng)t10、， 12、若的值為0，則的值是_。14、若則_。易錯(cuò)點(diǎn)：用提公因式法分解因式時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)，丟系數(shù)或符號(hào)錯(cuò)誤； 分解因式不徹底。中考考點(diǎn)解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn)1、冪的有關(guān)運(yùn)算例1（2009年湘西）在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）（A） （B）（C）（D）例2.（2009年齊齊哈爾）已知，則_考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算例3（2009年賀州）計(jì)算： =考點(diǎn)3、乘法公式例4. (2009年山西省)計(jì)算：例5. (2009年寧夏)已知：，化簡(jiǎn)的結(jié)果是考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例6（2009年長(zhǎng)沙）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中考點(diǎn)5、整式的除法運(yùn)算例7. (2009年廈門(mén))計(jì)算：(2xy)(2xy)y(y6x)÷2x考點(diǎn)6、定義新運(yùn)算例8.（2009年定西）在實(shí)