四種傅里葉變換

1、傅里葉變換對信號和系統(tǒng)的分析研究可以在時(shí)間域進(jìn)行，也可以在頻域進(jìn)行。連續(xù)時(shí)間信號是時(shí)間 變量t的函數(shù)，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)在時(shí)間域可以用線性常系數(shù)微分方程來描述，也可以用沖激響 應(yīng)來描述。離散時(shí)間信號（序列）是序數(shù) n的函數(shù)，這里n可以看成時(shí)間參量，離散時(shí)間系 統(tǒng)在時(shí)間域可以用線性常系數(shù)差分方程來描述，也可以用單位脈沖響應(yīng)來描述。在時(shí)間域?qū)π盘柡拖到y(tǒng)進(jìn)行分析研究，比較直觀，物理概念活楚，但僅在時(shí)間域分析研 究并不完善，有些問題研究比較困難。比如，有兩個(gè)序列，從時(shí)間波形上看，一個(gè)變化快， 一個(gè)變化慢，但都混有噪聲，希望用濾波器將噪聲濾除。從信號波形觀察，時(shí)域波形變化快， 意味著含有更高的頻率成分，因此這

2、兩個(gè)信號的頻譜結(jié)構(gòu)不同，那么對濾波器的性能要求也 不同。為了設(shè)計(jì)合適的濾波器，就需要將時(shí)域信號轉(zhuǎn)換到頻率域，得到其頻譜結(jié)構(gòu)，分析其 特性，進(jìn)而得到所要設(shè)計(jì)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后才能進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)。在連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)中，其頻域方法就是拉普拉斯變換與傅里葉變換。在離散時(shí)間信 號與系統(tǒng)中，頻域分析采用z變換與傅里葉變換作為數(shù)學(xué)工具?，F(xiàn)在針對幾種傅里葉變換的 基本概念、重要特點(diǎn)、相互關(guān)系作詳細(xì)的介紹。傅里葉變換的幾種可能形式對傅里葉變換的幾種可能形式進(jìn)行總結(jié)，再進(jìn)一步引出周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅 里葉變換表示。一. 非周期連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換在“信號與系統(tǒng)”課程中，這一變換對為乙頃=小（

3、"典小Xa （t）=X a （jQ）ej°dQ2"=非周期連續(xù)信號及其頻譜這一變換對的時(shí)頻域示意圖（只說明關(guān)系，不表示實(shí)際的變換對）如圖所示。可以看出時(shí) 域上是非周期連續(xù)信號，頻域上是連續(xù)非周期的頻譜。二. 周期連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示在“信號與系統(tǒng)”課程中，如果x(t)是一個(gè)周期為T的連續(xù)時(shí)間信號，則x(t)可以展開成 傅里葉級數(shù)，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)為 Xn , Xn是離散頻率的非周期函數(shù)。X(t)與Xn組成周期連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)變換對為TX n =? J2T x(t)ei°dtx(t) = £ X nen -.二這一變

4、換對的時(shí)頻域示意圖如圖所示。 可以看出時(shí)域上是周期連續(xù)信號， 頻域上是離散非周期的頻譜。也就是說，周期連續(xù)信號可以分解成無窮多個(gè)諧波分量之和，其中基波頻率分量為Eji x(t)zk/o周期連續(xù)信號及其頻譜另外，周期信號雖然不滿足絕對可積條件，但在頻域引入沖激函數(shù)函數(shù)后，其傅里葉變 換仍可以表示。對周期信號x(t),其傅里葉變換X(jQ)表示為QOX (jL-x (n) = X (e ) e d - :這一變換對的時(shí)頻域示意圖如圖所示。可以看出時(shí)域上是非周期離散時(shí)間信號，頻域上 是連續(xù)周期的頻譜。) =2 二寸 Xn'、.(；' -n'.L)n -：三. 非周期序列的傅里

5、葉變換 序列的傅里葉變換，即C3Ov / j 、氣/ 一j' nX (e ) = x(n)en =.二|X(ej)|非周期序列及其頻譜序列的傅里葉變換是序列的頻譜，也就是時(shí)域離散信號的頻域特征。在數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)和信號的頻譜分析中經(jīng)常用到，因此是數(shù)字信號處理的重要工具之一。X(e) 一般是復(fù)函數(shù)，可以寫成模和輻角，或者實(shí)部和虛部的形式。X (ejt5) = X(e®)e呻=XR(ej句 +jX , (e)(3.2.5)其中| X (ej®) |切稱為序列的幅度頻譜，而平(仁)切稱為序列的相位頻譜；X R(ej。)句稱為序歹0的實(shí)部頻譜，X I (e淄)切稱為序歹0的

6、虛部頻譜。經(jīng)常用| X (e) |切和中()切來 表示信號的頻譜。四. 周期序列的離散傅里葉級數(shù)上面所討論的三種傅里葉變換都不能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗鼈冊跁r(shí)域連續(xù)或者頻域連 續(xù)，或者時(shí)域和頻域都是連續(xù)的。如果要用數(shù)字計(jì)算機(jī)對信號進(jìn)行頻譜分析，也就是要計(jì)算 信號的傅里葉變換，必須要求輸入時(shí)域信號是離散的，而計(jì)算機(jī)得到的頻譜值也應(yīng)該是離散 的。由上面三種情況，不難發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：一個(gè)域的連續(xù)必然對應(yīng)另一個(gè)域的非周期，一個(gè) 域的離散必然對應(yīng)另一個(gè)域的周期。所以，可以大膽推斷出第四種情況，也就是周期序列的 頻譜特征必然是離散周期的。示意圖如圖所示。表 1對四種傅里葉變換形式的特點(diǎn)作了簡要 歸納。這里所介

7、紹得到傅里葉變換的幾種可能形式中，只有第四種形式對丁數(shù)字信號處理有 實(shí)用價(jià)值。要使前三種形式能用數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算，必須針對每一種形式的具體情況， 或者在時(shí)域和頻域同時(shí)取樣；或者在時(shí)域取樣；或者在頻域取樣。最后都將使原時(shí)間函數(shù)和 頻率函數(shù)都成為周期離散的函數(shù)，那么前三種形式最后都變成第四種形式。這也就是我們將 要提出的周期序列的離散傅里葉級數(shù)，也可以認(rèn)為是后面要重點(diǎn)介紹的離散傅里葉變換 (DFT 的過渡形式。i I X (k) | x(n)N點(diǎn)周期序列及其頻譜表1四種傅里葉變換形式的歸納時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期非周期和離散離散和非周期周期和連續(xù)離散和周期周期和離散設(shè)(n)是以N為周期的周期序列，與連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉級數(shù)展開類似，由丁 (n)是周期的，必然可以進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開。離散傅里葉級數(shù)變換對：)(k) =DFS 艾(n) =!艾(me'm-® <kn =01 Nj'kn-二：:：n ：二艾(n) =IDFS X(k) = 、 X (k)e NN山這里的(n)和X (k)都是以N為周期的周期序歹0,時(shí)域和頻域都是周期離散的，也是傅里葉變換的第四種形式。其