《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程教案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教案主講教師_所在單位_授課班級_專業(yè)_撰寫時間_教案編號18-0702教案內(nèi)容7.3 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)；學(xué)時 1教學(xué)目標(biāo)基本要求（1） 了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概 念，并會驗(yàn)證估計量的無偏性。能力要求1.培養(yǎng)能力要求：a） 掌握概率論和數(shù)理統(tǒng)計中的基本概念和性質(zhì)并能夠運(yùn)用到復(fù)雜工程 問題的適當(dāng)表述之中；b） 能夠根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，運(yùn)用參數(shù)估計和假設(shè)檢驗(yàn)等基本的統(tǒng)計方法，對客觀規(guī)律性做出合理的估計和判斷， 以解決實(shí)際問題。教學(xué)重點(diǎn)分布參數(shù)估計量的評價準(zhǔn)則教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)方法提問、討論、講授、啟發(fā)、示例、板書、PPT工具儀

2、器多媒體教具、教材、教案、教學(xué)課件、考勤表、平時成績登記表教學(xué)安排考勤、復(fù)習(xí)相關(guān)知識點(diǎn)、新課內(nèi)容概述、組織教學(xué)、布置作業(yè)、課后小結(jié)教學(xué)過程教學(xué)組織、具體教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法、手段、時間分配及其它說明備注第一部分：舊知識點(diǎn)復(fù)習(xí)和新課內(nèi)容概述（7 分鐘）在上一節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了分布參數(shù)的點(diǎn)估計。根據(jù)估計量的選取方法不同， 我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了矩估計和最大似然估計。由點(diǎn)估計的兩種典型求估計量的方法可知，同一參數(shù)用不同的估計方法，求出的估計量可能不同。比如B可以是前 k 階樣本矩的函數(shù)（假設(shè)有 k 個待估參數(shù)），也可以是樣本似 然函數(shù)的極點(diǎn)或在取值范圍內(nèi)的最值點(diǎn)如均勻分布中關(guān)于區(qū)間兩個端點(diǎn)的矩估計量和最大似然估

3、計量就不同。 盡管原則上，任何統(tǒng)計量都可以作估計量，但總有好壞之分，希望在合理的標(biāo)準(zhǔn) 下選擇最理想的估計量：本節(jié)學(xué)習(xí)三個常用的評選標(biāo)準(zhǔn)：無偏性，有效性，相合性（一致性）第二部分：無偏性（18 分鐘）1。無偏性一一數(shù)學(xué)期望評選標(biāo)準(zhǔn)板書，回顧PPT意義：估計量是隨機(jī)變量，其所取估計值應(yīng)以待估參數(shù)真值為中心擺動，并且大量估計值的統(tǒng)計平均值應(yīng)該穩(wěn)定于參數(shù)真值，也就是估計量的數(shù)學(xué)期望應(yīng)該等于 參數(shù)真值設(shè) Xi,X2,Xn是總體 X 的一個樣本，9E是包含在總體 X 的分布中的待估參 數(shù)這里是9的取值范圍。無偏性 若估計量？= ?(Xi,X2,Xn)的數(shù)學(xué)期望 E(。存在，且對于任意的9 E有E( ?)=

4、9,則稱？是9的無偏估計量。即曰？) 一9=0，稱 E( ?)-9為以？乍為9的估計的系統(tǒng)誤差，那么無偏估計的實(shí)際意義就是無 系統(tǒng)誤差。(人為的或系統(tǒng)本身原因?qū)е碌恼`差，而不是測量誤差)例如：設(shè)總體 X 的 k 階矩，期望和方差分別為 冰，仏2nnn由于E(Ak)=E(Xik)=E (Xik)=k= %E(SE(1n(Xix)2)=氏n 1i E(X)=E(1Xi)= %ni i所以 k 階樣本矩，樣本方差和樣本均值分別為k 階總體矩%，方差(?和期望卩的無偏估計量n而/的一個估計量2= E2=1(XiX)2由于ni 1n曰 B2)=曰1(XiX)2)= 口2工免 因而是有偏的ni 1n其中，

5、由方差恒等式 E(X2)= D(X)+E(X)2nnn曰 B2)=E(1Xi2x2)=- E(Xi2) E(X2)=-(22) (2/n2)ni 1ni 1ni 1因此，一般取 S2作為總體方差的無偏估計量例 2:設(shè)總體 X 服從參數(shù)為9的指數(shù)分布，X1,X2,Xn是總體 X 的一個樣本，試證:X和 nZ= nmin(X1X,Xn)都是9的無偏估計量證：1顯然有EX)=E(X)= 9,成立2 Z= min(X1,X2,Xn)具有概率密度1 - 1 - F(x)n=1- 1 - (1 -ex/)nnnx /fmin(x; )e，x 0，故有 E(Z)=9n，0, 其它所以 E(nZ)=9,也成立

6、一個參數(shù)可以有不同的無偏估計量。那么進(jìn)一步的這兩個無偏估計量哪一個 更好些呢，這引出了以下標(biāo)準(zhǔn)第三部分：有效性(10 分鐘)2有效性-方差評選標(biāo)準(zhǔn)(分散度)(評選的前提是二者首先是無偏的)意義：待估參數(shù)可能有多個無偏估計量，但也有優(yōu)劣之分對于兩個無偏估計量？和，在樣本容量 n 相同的條件下，哪一個估計量的 觀察值更密集在真值9附近，認(rèn)為哪一個更為理想。估計值與真值具有較大偏差的概率就更小些。由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度的度量，這樣在無偏的情況下旦？)二曰？)=9,以方差小者為好，即估計量的有效性有效性 設(shè)？=?(Xl,X2,Xn)與?=?(Xl,X2,Xn)都是9的無偏估計量，

7、若對于任 意96),有D(?)D(?)且至少對于某一個96),上式中的不等號成立，則稱？較？有效。例 2 中的兩個估計量的有效性由于總體 X 的方差 D(X)=9，因而有 D(X) = D(X)/n=9/n而由 D(nZ)=n2D(Z)=n2(9/n2)=9,所以 D(nZ)D(X)，所以X較 nZ 有效第四部分相合性(10 分鐘)3相合性-樣本容量極限評選標(biāo)準(zhǔn)在樣本 n 固定情況下，無偏性和有效性都滿足的估計量，其取值仍然是在真值附近擺動，我們希望隨著樣本容量 n 的增大，一個估計量的值穩(wěn)定于待估參數(shù) 的真值。相合性設(shè)？= ?(Xi,X2,Xn)為參數(shù)9的估計量，若對于任意9 6,當(dāng) nx時?=?(Xl,X2,Xn)依概率收斂于9,則稱？為9的相合估計量即，若對于任意的9 6都滿足：對于任意的P0,有l(wèi)im P| ?|1則稱？為9的相合估計量。例如：樣本 k 階矩依概率收斂于總體 k 階矩，樣本 k 階矩是總體 k 階矩的相合估計里，進(jìn) 步的右待估參數(shù)9g(m,似,，依)，貝U B矩估計里一 g(?,?,?k) =g(Ai,A2,Ak)是9的相合估計量。探由最大似然估計法得到的估計量，在一定條件下也具有相合性探相合性是對一個估計量的基本要求，若估計量不具有相合性，那么不論將樣本容量 n 取得多么大，都不能將9估計得足夠準(zhǔn)確，因而不可取可以用大數(shù)定律的思想處理。課