正多邊形和圓、弧長和扇形面積

1、讓孩子終生受益的好方法正多邊形和圓、弧長和扇形面積一、目標與策略 明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學習目標：l 了解正多邊形和圓的有關概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形l 通過復習圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式，并應用這些公式解決問題l 了解圓錐母線的概念，理解圓錐側面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，并會應用公式解決問題重點難點：l 重點：正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系；n°的圓心角所對的弧長，扇形面積及它們的應

2、用；圓錐側面積和全面積的計算公式l 難點：正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系；弧長和扇形面積公式的應用；由圓的周長和面積遷移到弧長和扇形面積公式的過程；圓錐側面積和全面積的計算公式學習策略：l 要結合圖形真正理解掌握相關概念，注意多觀察實物模型、多動手.二、學習與應用“凡事預則立，不預則廢”科學地預習才能使我們上課聽講更有目的性和針對性我們要在預習的基礎上，認真聽講，做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記知識回顧復習學習新知識之前，看看你的知識貯備過關了嗎？（一）多邊形的內角和公式為 ，多邊形的外角和為 .（二）正n邊形有 個內角，每一個內角都 ，每一個內角的度數(shù)為 .（三）正n邊形有

3、個外角，每一個外角都 ，每一個外角度數(shù)為 .（四）正n邊形有 條對角線.（五）圓的半徑為r，則其周長為 ，面積為 .知識要點預習和課堂學習知識點一：正多邊形的概念各邊 ，各角也 的多邊形是正多邊形要點詮釋：判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：（1）各邊 ；（2）各角 ；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形（正方形）.知識點二：正多邊形的重要元素（一）正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成 的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓（二）正多邊形的有關概念（1）一個正多邊形的 圓的圓

4、心叫做這個正多邊形的中心（2）正多邊形 圓的半徑叫做正多邊形的半徑（3）正多邊形每一邊所對的 角叫做正多邊形的中心角（4）正多邊形的 到正多邊形的一邊的 叫做正多邊形的邊心距（三）正多邊形的有關計算（1）正n邊形每一個內角的度數(shù)是 ；（2）正n邊形每個中心角的度數(shù)是 ；（3）正n邊形每個外角的度數(shù)是 .知識點三：正多邊形的性質（一）正多邊形都只有 個外接圓，圓有 個內接正多邊形.（二）正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成 個全等的直角三角形.（三）正多邊形都是 圖形，對稱軸的條數(shù)與它的 數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的 ；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是 對稱圖形，它的 就是對稱中心.知識點四：正多邊

5、形的畫法（一）用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓.（二）用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.知識點五：弧長公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對的弧長（圓的周長）公式： n°的圓心角所對的圓的弧長公式： （弧是圓的一部分）要點詮釋：（1） 對于弧長公式，關鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的 ，即；（2）公式中的n表示1°圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長公式所涉及的三個量： 、 度數(shù)、弧所在圓的 ，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.知識點六：扇

6、形面積公式（一）扇形定義：由組成圓心角的兩條 和圓心角所對的 所圍成的圖形叫做扇形.（二）扇形面積公式：半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積（圓面積）公式： n°的圓心角所對的扇形面積公式： 要點詮釋：（1） 對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的 ，即；（2）在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形 、扇形 、扇形的 ，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.（3）扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；（4）扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.知識點七：圓錐的側面積和全面積連接圓錐 和底面圓上任意一點的

7、叫做圓錐的母線.圓錐的母線長為，底面半徑為r，側面展開圖中的扇形面積圓心角為n°，則圓錐的側面積 ，全面積 .要點詮釋：扇形的半徑就是圓錐的 ，扇形的弧長就是圓錐底面圓的 .因此，要求圓錐的側面積就是求展開圖 形面積，全面積是由 和 組成的.經典例題-自主學習類型一：正多邊形的概念例1（1）（2011江蘇南通）比較正五邊形與正六邊形，可以發(fā)現(xiàn)它們的相同點與不同點.例如它們的一個相同點：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等. 它們的一個不同點：正五邊形不是中心對稱圖形，正六邊形是中心對稱圖形.請你再寫出它們的兩個相同點和不同點. 相同點：（1） （2） 不同點：（1） （2） （2

8、）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，若分別以A、B、C、D為圓心，以OA長為半徑作弧，分別與各邊交于E、F、G、H、K、L、M、N點.求證：八邊形EFGHKLMN是正八邊形.例2已知：如圖，ABC是O的內接等腰三角形，頂角A=36°，弦BD、CE分別平分ABC、ACB.求證：五邊形AEBCD是正五邊形類型二：正多邊形的有關計算例3（1）（2011廣東中山）正八邊形的每個內角為（ ）A120° B135° C140° D144°（2）已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積舉一反三：【變式1

9、】已知，如圖，正八邊形ABCDEFGH內接于半徑為R的O，求這個八邊形的面積.探究思考：這個八邊形的邊長a=?提示：如圖所示，當OA=R時，a= = = =類型三：考查弧長和扇形的計算例4（1）（2011廣東廣州）如圖4，AB切O于點B，OA=2，AB=3，弦BCOA，則劣弧的弧長為（ ）A BCDCBAO 圖 4（2）制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長（結果精確到0.1mm）例5如圖，已知扇形AOB的半徑為10，AOB=60°，求的長（結果精確到0.1）和扇形AOB的面積（結果精確到0.1）.舉一反三：【變式1】如圖，為的直

10、徑，于點，交于點，于點（1）請寫出三條與有關的正確結論；（2）當，時，求圓中陰影部分的面積CBAOFDE類型四：圓錐面積的計算例6（1）（2011山東泰安）一圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積是（ ）A.5 B. 4 C.3 D.2（2）圣誕節(jié)將近，某家商店正在制作圣誕節(jié)的圓錐形紙帽，已知紙帽的底面周長為58cm，高為20cm，要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙？（結果精確到0.1cm2）舉一反三：【變式1】如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是，母線長.計算這個煙囪帽側面展開圖的面積及圓心角.【變式2】如圖，已知RtABC的斜邊AB=13cm，一條直角邊AC=5cm，以

11、直線AB為軸旋轉一周得一個幾何體求這個幾何體的表面積三、總結與測評要想學習成績好，總結測評少不了！課后復習是學習不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們鞏固學習效果，彌補知識缺漏，提高學習能力總結規(guī)律和方法強化所學認真回顧總結本部分內容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧（一）首先要結合圖形真正理解掌握正多邊形及其相關的一些概念；（二）在進行正多邊形的有關計算時，要利用由正多邊形的半徑、邊心距及弦的一半組成的直角三角形結合勾股定理進行計算；（三）注意掌握用尺規(guī)等分圓的方法畫一些特殊的正多邊形；（四）注意弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位，若圓心角的單位不統(tǒng)一，應先統(tǒng)一單位，化

12、為度；（五）扇形面積公式與三角形面積公式類似.把弧長看作底，R看做高就比較容易記憶了；（六）對組合圖形面積的計算問題，應認真全面觀察和分析圖形，避免拿起題目就盲目亂做.經典例題透析類型一、正多邊形的概念1（1）（2011江蘇南通）比較正五邊形與正六邊形，可以發(fā)現(xiàn)它們的相同點與不同點.例如 它們的一個相同點：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等. 它們的一個不同點：正五邊形不是中心對稱圖形，正六邊形是中心對稱圖形. 請你再寫出它們的兩個相同點和不同點.相同點：（1）_（2）_不同點：（1）_（2）_答案：相同點（1）每個內角都相等（或每個外角都相等或對角線都相等）；（2）都是軸對稱圖形（或都

13、有外接圓和內切圓）；.不同點（1）正五邊形的每個內角是108°，正六邊形的每個內角是120°（或）；（2）正五邊形的對稱軸是5條，正六邊形的對稱軸是6條（或）.（2）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，若分別以A、B、C、D為圓心，以OA長為半徑作弧，分別與各邊交于E、F、G、H、K、L、M、N點. 求證：八邊形EFGHKLMN是正八邊形.思路點撥：欲證八邊形EFGHKLMN是正八邊形，依據(jù)定義，只要證它的各角相等(都為135°)，各邊也相等.證明：設正方形ABCD的邊長為a，則 同理可證 同理可證 八邊形EFGHKLMN的各邊相等 而BFG、CH

14、K、DML、AEN都是等腰直角三角形， 由三角形的外角性質可得此八邊形的每個內角都為90°+45°=135° 八邊形EFGHKLMN是正八邊形.2已知：如圖，ABC是O的內接等腰三角形，頂角A=36°，弦BD、CE分別平分ABC、ACB.求證：五邊形AEBCD是正五邊形解：ABC是等腰三角形，頂角A=36°，ABC=72°，ACB=72°，又弦BD、CE分別平分ABC、ACBABD=DBC=ACE=BCE=BAC=36°五邊形AEBCD是正五邊形.類型二、正多邊形的有關計算3. （1）（2011廣東中山）正八邊形的

15、每個內角為（ ）A120° B135° C140° D144°思路點撥：正八邊形的每個內角為，故選B.答案：（2）已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積思路點撥：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應與半徑掛上鉤，很自然應連接OA，過O點作OMAB于M，在RtAOM中便可求得AM，又應用垂徑定理可求得AB的長正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的 解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑因此，所求的正六

16、邊形的周長為6a在RtOAM中，OA=a，AM=AB=利用勾股定理，可得邊心距OM=所求正六邊形的面積=6××AB×OM=.舉一反三：【變式1】已知，如圖，正八邊形ABCDEFGH內接于半徑為R的O，求這個八邊形的面積.解：如圖，分別連結OA，OC及AC由正八邊形的對稱性，則ACOB，AOC=90° 探究思考：這個八邊形的邊長a=?提示：如圖所示，當OA=R時，.類型三、考查弧長和扇形的計算4. （1）（2011廣東廣州）如圖4，AB切O于點B，OA=，AB=3，弦BCOA，則劣弧的弧長為（ ）A BC D圖4思路點撥：連結OB、OC，則，OB=，由弦B

17、COA得，所以OBC為等邊三角形，.則劣弧的弧長為，故選A.答案：A（2）制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長(結果精確到0.1mm)思路點撥：要求的弧長，圓心角知，半徑知，只要代入弧長公式即可解：R=40mm，n=110的長=76.8(mm)因此，管道的展直長度約為76.8mm5如圖，已知扇形AOB的半徑為10，AOB=60°，求的長(結果精確到0.1)和扇形AOB的面積(結果精確到0.1).思路點撥：要求弧長和扇形面積，只要有圓心角，半徑的已知量便可求，本題已滿足解：的長=S扇形=因此，的長為10.5，扇形AOB的面積為52

18、.4舉一反三：【變式1】如圖，為的直徑，于點，交于點，于點(1)請寫出三條與有關的正確結論；(2)當，時，求圓中陰影部分的面積解：(1)答案不唯一，只要合理均可例如： ； ； ；是直角三角形；是等腰三角形 (2)連結，則 ， 為的直徑， 在中， ， ，是的中位線 類型四、圓錐面積的計算6（1）（2011山東泰安）一圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積是（ ）A5 B. 4 C3 D2思路點撥：圓錐的側面展開圖的弧長為2，圓錐的側面面積為2，底面半徑為1，圓錐的底面面積為，則該圓錐的全面積是2+=3.故選C.答案：C（2）圣誕節(jié)將近，某家商店正在制作圣誕節(jié)的圓錐形紙帽，已知紙帽的底面周長為58cm，高為20cm，要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙？(結果精確到0.1cm2)思路點撥：要計算制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙，只要計算紙帽的側面積解：設紙帽的底面半徑為rcm，母線長為，則(cm)22.03(cm)S紙帽側=×58×22.03=638.87(cm)638.87×20=12777.4(cm2)所以，至少需要12777.4cm2的紙舉一反三：【變式1】如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是，母線長.計算這個煙囪帽側面展開圖的面積及圓心角.思路點撥：煙囪