例談不同層次學(xué)生向量教學(xué)的實(shí)施策略精品文檔7

1、例談不同層次學(xué)生向量教學(xué)的實(shí)施策略向量是數(shù)學(xué)地位極其重要的一章，其靈活的變化使得學(xué)生對(duì)向量的試 題往往無(wú)從下手。向量試題往往從不同的策略實(shí)施下手，代數(shù)化策略和圖 形化策略是最主要的解決策略。筆者發(fā)現(xiàn)，成績(jī)較好的學(xué)生往往兩種策略 均能正確掌握，更喜歡圖形化策略；對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)能力運(yùn)用較弱的學(xué)生而 言，代數(shù)化策略是教學(xué)的首選，其將向量問(wèn)題代數(shù)化，使得較難的向量問(wèn) 題運(yùn)用代數(shù)的工具進(jìn)行解決。圖形化策略偏重思考、輕運(yùn)算，代數(shù)化策略 則恰好反之。一、多解策略，發(fā)散思維 多解策略是解題教學(xué)中受教師歡迎的一種策略，該策略注重了學(xué)生發(fā) 散思維的培養(yǎng)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同知識(shí)出發(fā)，將 各種解決手

2、段融合到一起。筆者認(rèn)為，向量教學(xué)中使用這樣的方式，既可 以圍繞向量滲透各種數(shù)學(xué)基本知識(shí)，也能激發(fā)學(xué)生多思維的策略，對(duì)于優(yōu) 等生而言，這是一種極易培養(yǎng)思維發(fā)散性、知識(shí)整合性的優(yōu)秀手段。案例1：如果非零向量a, b滿足|a+b|=|b| ，貝9()。A. |2a|>|2a+b|B. |2a|a+2b|D.|2b|0 ，故選 C。策略二：既然是代數(shù)運(yùn)算，向量坐標(biāo)法必定行得通，得出法二：解法二：設(shè) a= (x, y), b= (m, n),貝9( x+m) 2+ (y+n) 2=m2+n2 即 x2+y2+2mx+2ny=O,貝U 4x2+4y2- ( 2x+m) 2- (2y+n) 2=2 (

3、x2+y2) -m2-n2 無(wú)法判斷正負(fù),而 4m2+4n2-( x+2m)2-( y+2n)2=-4mx-4my-x2-y2=x2+y2 顯然大于 0。故選 C。反思：本題的選擇能體現(xiàn)基礎(chǔ)與本質(zhì)的關(guān)系，突出了主干，也突出了 幾何直觀。教師先引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決此類問(wèn)題常用的方法： 1. 坐標(biāo)法； 2. 數(shù)形結(jié)合； 3. 向量方法的運(yùn)用。讓學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)整體與方法上全面去認(rèn) 識(shí)解題，力求從“一題多解”中學(xué)會(huì)辨析好與不好的解法，把好方法的選 擇與解題落實(shí)到復(fù)習(xí)中。以上兩種解法從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，思路樸實(shí) 正確；但計(jì)算較繁，如果一步出錯(cuò)，滿盤皆輸。這就對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力提 出了高要求，做選擇題時(shí)學(xué)生很

4、少能耐著性子算下去。策略三：對(duì)于向量的題目，很多同學(xué)還是愿意從向量式的幾何意義出 發(fā)，構(gòu)建三角形。解法三：如圖：設(shè) CB=a BA=b貝y BD=2b則 |2b|=|AD|+|CA| ，|CD|=|a+2b| ，在三角形中兩邊之和大于第三邊， 故選 C。反思：該方法符合學(xué)生實(shí)際情況，簡(jiǎn)潔明朗，通俗易懂，將向量問(wèn)題 轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題，計(jì)算難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于解法一和二，筆者認(rèn)為這是本題 最好的方法，也是學(xué)生最容易想到的方法。策略四：順著學(xué)生的思路，既然能構(gòu)建三角形，那么平行四邊形中是 否也蘊(yùn)涵著本題的真相。解法四：通過(guò)平行四邊形法則及菱形的幾何性質(zhì)得在Rt ABC中，|2b|=|AC|>|AB|

5、=|a+2b| ，故選 C。反思：此法還是采用數(shù)形結(jié)合的思路，有學(xué)生想到了此法，上黑板板 演，但由于圖形相對(duì)復(fù)雜，學(xué)生最終無(wú)法解答，主要靠教師講解分析，學(xué)生才勉強(qiáng)接受。此法也讓學(xué)生重視圖形語(yǔ)言，平時(shí)多畫一些圖，既直觀又 有邏輯，好的數(shù)學(xué)題都蘊(yùn)涵著豐富的圖形。 教師選中此題，可謂用心良苦。 當(dāng)然，要構(gòu)建直角三角形也可以通過(guò)對(duì)已知條件的變型，充分發(fā)掘題目涵 義，如：|a+b|2=|b|2 ，貝U a2+2a?b=0,所以a丄a+2b。如圖所示：顯然， |2b|>|a+2b| ，此方法體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，值得一提。策略五：平行四邊形是一個(gè)重要載體，如果法 4的圖形有點(diǎn)復(fù)雜，巧妙利用一個(gè)不等

6、式，很快答案就出來(lái)了。解法五：如圖 |a+2b|=|a+b+b| <|a+b|+|b|=|2b|。反思：該解法太簡(jiǎn)潔了，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想， 拓展了學(xué)生思維。但對(duì)于絕對(duì)值不等式學(xué)生很陌生，很難想到此法。 策略六：本題為模擬試題，參考答案給出了怎樣的解法呢？學(xué)生很有興趣知道，故又介紹了第六種解法：解法六： a 丄 b|a+b|=|a -b| ,又t |a+b|=|b|，即 2|a+b|=2|b|，即|a+2b+a|=|a+2b-a| ，二 a+2b丄a,從而易得 C。反思：對(duì)式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形、拼湊，是學(xué)生的一個(gè)弱點(diǎn)，此法與解法五一樣技巧性太強(qiáng)，不能普及。策略七：當(dāng)學(xué)生在感嘆這么多方法

7、時(shí)， （教師接著說(shuō)：）既然上述方法想不到，對(duì)于選擇題又有什么特殊的解題技巧呢？解法七：特殊值代入，排除其他選項(xiàng)，如a=（1，0），b=（-2，0），很快排除 B、D。反思：作為教師，我們?cè)谔幚磉@樣的向量問(wèn)題時(shí)，多一些“一題多解”，少一些“單一重復(fù)”，效果會(huì)更好。教師應(yīng)調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)向量學(xué)習(xí)的 好奇心，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的奇妙。其實(shí)，向量問(wèn)題是透明的，指向是很明確的。像這樣的問(wèn)題時(shí)常出現(xiàn)，它分布在選擇題、填空題中，用于考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用，通過(guò)多樣性解決向量問(wèn)題，開(kāi)拓優(yōu)秀學(xué)生的解 題思路，減少無(wú)用功。 二、機(jī)械策略，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算向量對(duì)于數(shù)學(xué)能力較弱的學(xué)生而言，其對(duì)轉(zhuǎn)化、圖形等想法較弱，因 此教學(xué)策略

8、勢(shì)必向代數(shù)化靠攏。代數(shù)策略用吳文俊先生的話說(shuō)，即機(jī)械化 策略。用機(jī)械化策略可以給這些學(xué)生一個(gè)明確的方向： 即少思維、 多運(yùn)算， 只要運(yùn)算細(xì)致便能突破向量問(wèn)題。來(lái)看一個(gè)代數(shù)化案例：案例2:矩形ABCD中AB=2 BC=2點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上, 若AB?AF=2貝V AE?BF的值為。師:本題中我們可以發(fā)現(xiàn)題中的幾何背景是一個(gè)特殊圖形:矩形，這樣我們就容易想到以矩形的兩條相鄰直角邊作為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系。這里我們以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系。（建系） 師:建系后，根據(jù)條件分別求出所對(duì)應(yīng)各點(diǎn)的坐標(biāo)，A（0， 0）， B（2，0）， E（2， 1）， F（x， 2）。（設(shè)點(diǎn)）

9、師:求出各點(diǎn)坐標(biāo)后，接下來(lái)我們把題中的條件進(jìn)行坐標(biāo)化，那么我們有AB?AF=（2，0）?（X，2）=2,求出x=1，這樣我們就知道了 F點(diǎn)的 坐標(biāo)。（條件坐標(biāo)化）師：把F點(diǎn)坐標(biāo)代入所求數(shù)量積式中我們就可以得到AE?BF=2 （計(jì)算求解）師：在上述解題過(guò)程中， 我們根據(jù)條件中圖形幾何的特征建立坐標(biāo)系，然后設(shè)出條件和所求中的點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出條件和所求，最 后通過(guò)計(jì)算得出答案。上述解題步驟也是利用坐標(biāo)法解決向量問(wèn)題的一般步驟，請(qǐng)同學(xué)們回想剛才的過(guò)程。在這些步驟中，建立坐標(biāo)系是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)。本題坐標(biāo)系建立比較容易，利用了易知的垂直關(guān)系。下面我們來(lái)看一道題，請(qǐng)思考本題我們應(yīng)如何建立坐標(biāo)系，

10、使我們的解題方便簡(jiǎn)單。變式：在厶ABC中，M是BC中點(diǎn)，AM=3 BC=1Q則AB?AC二師：對(duì)于本題我們應(yīng)該如何建立坐標(biāo)系？在沒(méi)有現(xiàn)成的圖形垂直提示 情況下，我們一般應(yīng)該如何考慮？生：可以考慮以BC為x軸，過(guò)M作BC中垂線為y軸建立坐標(biāo)系。 師：為什么想到以BC的中垂線為y軸？以其他的為y軸是否可行？ 生：以其他的做y軸建立坐標(biāo)系也是可以的，但是以 BC中垂線為y 軸，對(duì)于下一步求點(diǎn)坐標(biāo)和條件坐標(biāo)化的計(jì)算有幫助，方便我們計(jì)算。師：想法很正確。和前一題不同，本題沒(méi)有互相垂直的條件，需要我們自己建立坐標(biāo)系。通常我們可以從圖形對(duì)稱性等方面嘗試建立直角坐標(biāo)系，這樣方便我們的計(jì)算。當(dāng)然有興趣的同學(xué)可以

11、嘗試其他的建系方法，如以BC為x軸，過(guò)B點(diǎn)做BC垂線為y軸等。師：下面我們仿照前一題的求解步驟把條件中的點(diǎn)以坐標(biāo)形式給出：（可由學(xué)生回答） B（-5 ， 0）， M（0， 0）， C（ 5， 0），設(shè) A（x， y）， 然后把條件坐標(biāo)化由 AM=3得：x2+y2=9，最后得到AB和AC點(diǎn)積計(jì)算可得。師：本題中我們建系以其中一條已知線段的中垂線做 y 軸，這樣的好處是方便我們的后續(xù)求值和計(jì)算，這也是我們建系時(shí)常見(jiàn)的思考方法。師：下面給同學(xué)們一個(gè)思考題，請(qǐng)大家從坐標(biāo)系的角度去考慮如何求解，加深認(rèn)知。思考題：設(shè)el, e2為單位向量，非零向量 b=xe1+ye2, x, y R.若 e1, e2的夾

12、角為n 6,則兇|b|的最大值等于 。（答案 2，以單位向量建立坐標(biāo)系） 說(shuō)明：對(duì)這一內(nèi)容所選的題目都是經(jīng)典試題,對(duì)程度較弱的學(xué)生很有 針對(duì)性。針對(duì)建立坐標(biāo)系這一難點(diǎn), 3 個(gè)題目按照由淺入深逐步推進(jìn)。案 例 2 容易建立坐標(biāo)系的一個(gè)題型,讓學(xué)生明確抓住圖形的幾何特征建立坐 標(biāo)系的建系思想；其次讓學(xué)生感受坐標(biāo)法的解題過(guò)程,明確一般的解題步 驟。變式 1 沒(méi)有明確的坐標(biāo)系建系暗示,需要學(xué)生自己建立坐標(biāo)系,這個(gè) 問(wèn)題主要是讓學(xué)生體會(huì)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系可以讓解題更加方便,另外也讓學(xué) 生鞏固坐標(biāo)法解題的步驟。最后一問(wèn)以思考題的形式給出,是坐標(biāo)法的運(yùn) 用,是對(duì)學(xué)生在前兩例題的基礎(chǔ)上的一個(gè)提高和自測(cè)。對(duì) 3 個(gè)題目的處理 方式上,案例 2 主要由教師分析講解,學(xué)生體會(huì)。變式 1 則由學(xué)生和教師 共同參與,同時(shí)教師考查學(xué)生的基本認(rèn)知和掌握情況。思考題則由學(xué)生自 行解決,是對(duì)本方法的課后延伸。綜上,筆者針對(duì)不同層次的學(xué)生研究了不同的向量問(wèn)題的解決策略, 從上述兩個(gè)研究案例發(fā)現(xiàn),針對(duì)程度較好的學(xué)生,教師勢(shì)必研究向量問(wèn)題 的多樣性解決方案。這對(duì)于鞏固向量的幾何本質(zhì)以及數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是有 積極作用的。另一方面,筆者也專門就學(xué)困生研究了代數(shù)化的解決策略。 就學(xué)生數(shù)學(xué)能力而言,