傅里葉變換基礎(chǔ)知識

1、1 1 傅里葉變換基礎(chǔ)知識1. 傅里葉級數(shù)展開最簡單有最常用的信號是諧波信號 ，一般周期信號利用傅里葉級數(shù)展開成多個乃至無窮多個不同頻率的諧波信號，即一般周期信號是由多個乃至無窮多個不同頻率的諧波信號線性疊加而成。1.1 周期信號的傅里葉級數(shù)在有限區(qū)間上，任何周期信號( )x t只要滿足狄利克雷（dirichlet ）條件，都可以展開成傅里葉級數(shù)。1.1.1 狄利克雷（ dirichlet ）條件狄利克雷（ dirichlet ）條件為：（1）信號( )x t在一個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點(diǎn)（當(dāng) t 從左或右趨向于這個間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有左極限值和右極限值）；（2）信號( )x t在一周期內(nèi)只有

2、有限個極大值和極小值；（3）信號在一個周期內(nèi)是絕對可積分的，即00/2/2( )dtttx t應(yīng)為有限值。1.1.2 間斷點(diǎn)在非連續(xù)函數(shù)( )yf x 中某點(diǎn)處0 x處有中斷現(xiàn)象，那么，0 x 就稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。（1）第一類間斷點(diǎn)（有限型間斷點(diǎn)）：a. 可去間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在且相等，但不等于該點(diǎn)函數(shù)值或函數(shù)在該點(diǎn)無定義（0 x 令分母為零時(shí)等情況）；b. 跳躍間斷點(diǎn)： 函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在， 但不相等 （0/yxx 在點(diǎn)0 x處等情況） 。（2）第二類間斷點(diǎn)：除第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)。1.1.3 傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式為式中：0a 為信號的

3、常值分量；na 為信號的余弦信號幅值；nb 為信號的正弦信號幅值。0a 、na 、nb 分別表示為：式中：0t 為信號的周期；0為信號的基頻，即角頻率，002/ t ，1,2,3.n。合并同頻項(xiàng)也可表示為式中：信號的幅值na 和初相位n分別為1.1.4 頻譜的相關(guān)概念（1）信號的頻譜（三角頻譜）：構(gòu)成信號的各頻率分量的集合，表征信號的幅值和相位隨頻率的變化關(guān)系，即信號的結(jié)構(gòu)，是na（或naf ）和n（或nf ）的統(tǒng)稱；（2）信號的幅頻譜：周期信號幅值na 隨（或f）的變化關(guān)系，用na（或naf）表示；（3）信號的相頻譜：周期信號相位n隨（或f）的變化關(guān)系，用n（或nf）表示；（4）信號的頻譜分

4、析：對信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，獲得頻譜的過程；（5）基頻：0或0f，各頻率成分都是0或0f的整數(shù)倍；（6）基波：0或0f對應(yīng)的信號；1 1 （ 7 ）n次 諧 波 ：0(n2,3,.)n或0(n2,3,.)nf的 倍 頻 成 分0c o s()nnant或0cos(2)nnanf t；1.1.5 周期信號的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開根據(jù)歐拉公式cossin(1)jtetjt j，則1cos()21sinj()2jtj tjtjtteetee因此，傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式0001( )cossinnnnx taantbnt可改寫成令則或這就是周期信號的傅里葉復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式。將0000/20/20/

5、20/202( )cos2( )sintnttntax tntdttbx tntdtt代入12nnncajb，則000/2/201( )tjntntcx t edtt在一般情況下nc是復(fù)數(shù)，可以寫成njnnrninccjcce式中由njnnrninccjcce，12nnncajb，12nnncajb可表示為則0( )0, 1, 2,jntnnx tc en變?yōu)橛纱丝梢姡?周期信號用復(fù)指數(shù)形式展開，相當(dāng)于在復(fù)平面內(nèi)用一系列旋轉(zhuǎn)矢量00nj ntce來描述，但是，負(fù)頻率的出現(xiàn)，僅僅是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果，并無實(shí)際物理意義。1.1.6 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開關(guān)系由12nnncajb，njnnrn

6、inccjcc e可知：綜合22nnnaab，22nnrniccc表示為即雙邊頻譜的幅值nc是單邊頻譜幅值na的一半。由arctanninnrcc，/ 2nrnca，/2nincb可知：三角函數(shù)展開表達(dá)式復(fù)指數(shù)展開表達(dá)式常值分量復(fù)指數(shù)常量余弦分量幅值復(fù)數(shù)nc 的實(shí)部正弦分量幅值復(fù)數(shù)nc 的虛部振幅復(fù)數(shù)nc 的模相位相位1 1 2 傅里葉變換出準(zhǔn)周期函數(shù)之外的非周期信號稱為一般周期信號，也就是瞬態(tài)信號。瞬態(tài)信號具有瞬變性，例如錘子敲擊力的變化、承載纜繩斷裂的應(yīng)力變化、熱電偶插入加熱的液體中溫度的變化過程等信號均屬于瞬態(tài)信號。瞬態(tài)信號是非周期信號，可以看作一個周期的周期信號，即周期t。因此，可以把

7、瞬態(tài)信號看作周期趨于無窮大的周期信號。2.1 傅里葉變換設(shè)有一周期信號x t，則其在/ 2,/ 2tt區(qū)間內(nèi)的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式為0( )jntnnx tc e，式中當(dāng)0t時(shí) ， 積 分 區(qū) 間/ 2,/ 2,tt； 譜 線 間 隔002/td，0n離散率連續(xù)變量頻，所以000/2/201( )tjntntcx t edtt變?yōu)樵撌椒e分后將是的函數(shù)，且一般為復(fù)數(shù)，用xj或x表示為式中：xj稱為信號( )x t的傅里葉積分變換或簡稱傅里葉變換（fouier transform ，ft），是把非周期信號看成周期趨于無窮大的周期信號來處理的，顯然即xj為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”

8、的含義，故把xj稱為瞬態(tài)信號的“頻譜密度函數(shù)”，或簡稱“頻譜函數(shù)”。由000limlimnntfcxjctf得代入0( )jntnnx tc e得當(dāng)0t時(shí)，002/td，0n離散率連續(xù)變量頻，求和積分。則x t稱 為xj的 傅 里 葉 逆 變 換 或 反 變 換 （ inverse fourier transform ， ift） 。jtxjx t edt和12jtx txjed構(gòu)成了傅立葉變換對一般地， 使用ftift或表示信號之間的傅立葉變換及其逆變換之間的關(guān)系。由于2f，所以j txjx t edt和12jtx txjed可變?yōu)檫@就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)1/ 2的常數(shù)因子，使公式形式簡

9、化。由式2jftxjfx t edt可知， 非周期信號能夠用傅里葉函數(shù)來表示，。而周期信號可1 1 由傅里葉級數(shù)0( )jntnnx tc e來表示。2jftxjfx t edt是一般復(fù)數(shù)形式，可表示為式中：rexjf為xjf的實(shí)部；im xjf為xjf的虛部；xjf為信號x t的連續(xù)幅頻譜；jf為信號x t的連續(xù)相頻譜。比較周期信號和非周期信號的頻譜可知：首先，非周期信號幅值xjf隨f變化時(shí)連續(xù)的，即為連續(xù)頻譜，而周期信號的幅值nc隨f變化時(shí)離散的，即為離散頻譜。其次，nc的量綱和信號幅值的量綱一致，而xjf的量綱相當(dāng)于/ncf，為單位頻寬上的幅值，即為“頻譜密度函數(shù)”。2.2 傅里葉變換的主要性質(zhì)一個信號可以進(jìn)行時(shí)域描述和頻域描述。兩種描述通過傅里葉變換來確立彼此一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，熟悉傅里葉變換的一些主要性