傅里葉變換基礎(chǔ)知識(shí)

1、1 1 傅里葉變換基礎(chǔ)知識(shí)1. 傅里葉級(jí)數(shù)展開最簡(jiǎn)單有最常用的信號(hào)是諧波信號(hào) ，一般周期信號(hào)利用傅里葉級(jí)數(shù)展開成多個(gè)乃至無窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)，即一般周期信號(hào)是由多個(gè)乃至無窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)線性疊加而成。1.1 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)在有限區(qū)間上，任何周期信號(hào)( )x t只要滿足狄利克雷（dirichlet ）條件，都可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)。1.1.1 狄利克雷（ dirichlet ）條件狄利克雷（ dirichlet ）條件為：（1）信號(hào)( )x t在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)（當(dāng) t 從左或右趨向于這個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有左極限值和右極限值）；（2）信號(hào)( )x t在一周期內(nèi)只有

2、有限個(gè)極大值和極小值；（3）信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)是絕對(duì)可積分的，即00/2/2( )dtttx t應(yīng)為有限值。1.1.2 間斷點(diǎn)在非連續(xù)函數(shù)( )yf x 中某點(diǎn)處0 x處有中斷現(xiàn)象，那么，0 x 就稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。（1）第一類間斷點(diǎn)（有限型間斷點(diǎn)）：a. 可去間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在且相等，但不等于該點(diǎn)函數(shù)值或函數(shù)在該點(diǎn)無定義（0 x 令分母為零時(shí)等情況）；b. 跳躍間斷點(diǎn)： 函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在， 但不相等 （0/yxx 在點(diǎn)0 x處等情況） 。（2）第二類間斷點(diǎn)：除第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)。1.1.3 傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式為式中：0a 為信號(hào)的

3、常值分量；na 為信號(hào)的余弦信號(hào)幅值；nb 為信號(hào)的正弦信號(hào)幅值。0a 、na 、nb 分別表示為：式中：0t 為信號(hào)的周期；0為信號(hào)的基頻，即角頻率，002/ t ，1,2,3.n。合并同頻項(xiàng)也可表示為式中：信號(hào)的幅值na 和初相位n分別為1.1.4 頻譜的相關(guān)概念（1）信號(hào)的頻譜（三角頻譜）：構(gòu)成信號(hào)的各頻率分量的集合，表征信號(hào)的幅值和相位隨頻率的變化關(guān)系，即信號(hào)的結(jié)構(gòu)，是na（或naf ）和n（或nf ）的統(tǒng)稱；（2）信號(hào)的幅頻譜：周期信號(hào)幅值na 隨（或f）的變化關(guān)系，用na（或naf）表示；（3）信號(hào)的相頻譜：周期信號(hào)相位n隨（或f）的變化關(guān)系，用n（或nf）表示；（4）信號(hào)的頻譜分

4、析：對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，獲得頻譜的過程；（5）基頻：0或0f，各頻率成分都是0或0f的整數(shù)倍；（6）基波：0或0f對(duì)應(yīng)的信號(hào)；1 1 （ 7 ）n次 諧 波 ：0(n2,3,.)n或0(n2,3,.)nf的 倍 頻 成 分0c o s()nnant或0cos(2)nnanf t；1.1.5 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開根據(jù)歐拉公式cossin(1)jtetjt j，則1cos()21sinj()2jtj tjtjtteetee因此，傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式0001( )cossinnnnx taantbnt可改寫成令則或這就是周期信號(hào)的傅里葉復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式。將0000/20/20/

5、20/202( )cos2( )sintnttntax tntdttbx tntdtt代入12nnncajb，則000/2/201( )tjntntcx t edtt在一般情況下nc是復(fù)數(shù)，可以寫成njnnrninccjcce式中由njnnrninccjcce，12nnncajb，12nnncajb可表示為則0( )0, 1, 2,jntnnx tc en變?yōu)橛纱丝梢姡?周期信號(hào)用復(fù)指數(shù)形式展開，相當(dāng)于在復(fù)平面內(nèi)用一系列旋轉(zhuǎn)矢量00nj ntce來描述，但是，負(fù)頻率的出現(xiàn)，僅僅是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果，并無實(shí)際物理意義。1.1.6 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開關(guān)系由12nnncajb，njnnrn

6、inccjcc e可知：綜合22nnnaab，22nnrniccc表示為即雙邊頻譜的幅值nc是單邊頻譜幅值na的一半。由arctanninnrcc，/ 2nrnca，/2nincb可知：三角函數(shù)展開表達(dá)式復(fù)指數(shù)展開表達(dá)式常值分量復(fù)指數(shù)常量余弦分量幅值復(fù)數(shù)nc 的實(shí)部正弦分量幅值復(fù)數(shù)nc 的虛部振幅復(fù)數(shù)nc 的模相位相位1 1 2 傅里葉變換出準(zhǔn)周期函數(shù)之外的非周期信號(hào)稱為一般周期信號(hào)，也就是瞬態(tài)信號(hào)。瞬態(tài)信號(hào)具有瞬變性，例如錘子敲擊力的變化、承載纜繩斷裂的應(yīng)力變化、熱電偶插入加熱的液體中溫度的變化過程等信號(hào)均屬于瞬態(tài)信號(hào)。瞬態(tài)信號(hào)是非周期信號(hào)，可以看作一個(gè)周期的周期信號(hào)，即周期t。因此，可以把

7、瞬態(tài)信號(hào)看作周期趨于無窮大的周期信號(hào)。2.1 傅里葉變換設(shè)有一周期信號(hào)x t，則其在/ 2,/ 2tt區(qū)間內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式為0( )jntnnx tc e，式中當(dāng)0t時(shí) ， 積 分 區(qū) 間/ 2,/ 2,tt； 譜 線 間 隔002/td，0n離散率連續(xù)變量頻，所以000/2/201( )tjntntcx t edtt變?yōu)樵撌椒e分后將是的函數(shù)，且一般為復(fù)數(shù)，用xj或x表示為式中：xj稱為信號(hào)( )x t的傅里葉積分變換或簡(jiǎn)稱傅里葉變換（fouier transform ，ft），是把非周期信號(hào)看成周期趨于無窮大的周期信號(hào)來處理的，顯然即xj為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”

8、的含義，故把xj稱為瞬態(tài)信號(hào)的“頻譜密度函數(shù)”，或簡(jiǎn)稱“頻譜函數(shù)”。由000limlimnntfcxjctf得代入0( )jntnnx tc e得當(dāng)0t時(shí)，002/td，0n離散率連續(xù)變量頻，求和積分。則x t稱 為xj的 傅 里 葉 逆 變 換 或 反 變 換 （ inverse fourier transform ， ift） 。jtxjx t edt和12jtx txjed構(gòu)成了傅立葉變換對(duì)一般地， 使用ftift或表示信號(hào)之間的傅立葉變換及其逆變換之間的關(guān)系。由于2f，所以j txjx t edt和12jtx txjed可變?yōu)檫@就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)1/ 2的常數(shù)因子，使公式形式簡(jiǎn)

9、化。由式2jftxjfx t edt可知， 非周期信號(hào)能夠用傅里葉函數(shù)來表示，。而周期信號(hào)可1 1 由傅里葉級(jí)數(shù)0( )jntnnx tc e來表示。2jftxjfx t edt是一般復(fù)數(shù)形式，可表示為式中：rexjf為xjf的實(shí)部；im xjf為xjf的虛部；xjf為信號(hào)x t的連續(xù)幅頻譜；jf為信號(hào)x t的連續(xù)相頻譜。比較周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜可知：首先，非周期信號(hào)幅值xjf隨f變化時(shí)連續(xù)的，即為連續(xù)頻譜，而周期信號(hào)的幅值nc隨f變化時(shí)離散的，即為離散頻譜。其次，nc的量綱和信號(hào)幅值的量綱一致，而xjf的量綱相當(dāng)于/ncf，為單位頻寬上的幅值，即為“頻譜密度函數(shù)”。2.2 傅里葉變換的主要性質(zhì)一個(gè)信號(hào)可以進(jìn)行時(shí)域描述和頻域描述。兩種描述通過傅里葉變換來確立彼此一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此，熟悉傅里葉變換的一些主要性