中級宏觀配套練習(xí)及答案

1、中級宏觀配套練習(xí)及答案 作者: 日期：第二講配套習(xí)題及答案1.若效用函數(shù)現(xiàn)為：u(c,l) cl1(01)其他條件與實例中給出的相同，試分別求分散經(jīng)濟(jì)與計劃經(jīng)濟(jì)的最 優(yōu)解。計劃者目標(biāo)函數(shù)為：max cl1 c,ls.t. c y zk0(h l)1代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以得到無約束的最大化問題：11max zk0 (h l) l一階條件為：(focl) z ko (1) (h l)(1) 1l1z ko (h l)(1 ) (1 )l求解可得：l (1 )h 1nh-1代n進(jìn)生產(chǎn)函數(shù)可得：1l h (1)c yzko 1企業(yè)利潤函數(shù)為：,1zk n (1 r)k wn企業(yè)利潤最大化的一階條件

2、為：1 1_z k n (1 r) 0kz(1 )k n w 0 n利用這兩個一階條件可以取得均衡的價格解，為:zkoh (1w311 h (1)z ko 12.假設(shè)行為人的效用函數(shù)如下：u ln(c) ln(l),其中c是行為人的消 費(fèi)，l是行為人每天用于閑暇的時間。行為人每天的時間除了用于閑 暇，就是用于工作，但他既可以為自己工作也可以為別人工作。他 為自己工作時的產(chǎn)出函數(shù)為y 4(ns)°其中為用于自己工作的時 間。如果他為別人工作，每小時得到的報酬是工資，記為 w (當(dāng)然 是用消費(fèi)品衡量的)。試寫出該行為人的最優(yōu)化問題，并求解之。maxln(c) ln(l) c,l ,ns0

3、 5st. c 4ms)0.5 (24 l ns)w代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，分別對l和ns兩個變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其 為零，有:(focj(focn)w0 5_4(%) .(24 l %)w2(%) 0.5 w4(ns)°.5 (24 l ns)w求解上述聯(lián)立方程，可得:4 a 一l122w82c12w 4ww3.考慮一個具有如下代表性行為人的模型。代表性消費(fèi)者的效用函數(shù)如下：u(c,l) c l其中，c是消費(fèi)，l是閑暇，且 0。消費(fèi)者擁有一單位的時間稟賦和k0單位的資本。代表性企業(yè)生產(chǎn)消費(fèi)品的技術(shù)由如下的生產(chǎn)函數(shù)來表示：y ak n1其中，y是產(chǎn)出，a是全要素生產(chǎn)率，k是資本投入，n

4、是勞動投入，且01。記w為市場的實際工資，r為資本的租金率。a試求解實現(xiàn)競爭均衡時的所有價格和數(shù)量。b.試分析全要素生產(chǎn)率a的一個變化會對消費(fèi)、產(chǎn)出、就業(yè)、實際工資以及資本租金率產(chǎn)生怎樣的影響。解：a.第一步，分析消費(fèi)者行為：maxu(c,l) max c l c,lc,ls.t.c w(1 l) (1 r)k0代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為無約束的最大化問題。max w(1 l) (1 r)k0 l對l求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：第二步，分析企業(yè)的行為：akd ndwnd (1 r)kd (1 )kdfocn(1 )akd ndw 0fockdakd m r 0根據(jù)市場出清條件，可得如下方

5、程組：1(1)akdnidakd 1ndrkd k0求解得：1n a(1)ko 1r a (1)一第三步，全部均衡解：1l 1 n 1a(1)ko 一111y c ako a(1)ko a (1 廠ko解得:l 1a(1 火0in a(1 )ko 一, l 11b. - (1) a(1) -ko 0an 11_(1)a(1 廠 k° 0a工-c 1a- (1) -ko 0a ar 11_一 a (1)0aw0a說明：閑暇將隨技術(shù)進(jìn)步而減少，因而就業(yè)將隨技術(shù)進(jìn)步而增加；產(chǎn)出、消費(fèi)和資本租金率將隨技術(shù)進(jìn)步而上升；實際工資不會隨技 術(shù)進(jìn)步的變化而變化。4.考慮一個如下的含有政府的代表性行為

6、人的經(jīng)濟(jì)。消費(fèi)者的偏好 由如下的效用函數(shù)代表：u(c,l) in c in l in g這里，c是消費(fèi)；i是閑暇；g是政府購買；，0。消費(fèi)者擁有一單位的時間稟賦。私人消費(fèi)品的生產(chǎn)技術(shù)如下： y zn這里，y是產(chǎn)出，n是勞動投入，z 0。假設(shè)政府通過向消費(fèi)者征收 一個總額稅來為自己的購買融資。(1)對于一個給定的g,試求均衡時的消費(fèi)、產(chǎn)出和就業(yè)。證明這 些均衡數(shù)量是帕累托最優(yōu)的。(2)試分析當(dāng)政府購買發(fā)生變化時，這些均衡數(shù)量會受到怎樣的影 響。平衡預(yù)算乘數(shù)時大于1還是小于1,解釋之。(3)現(xiàn)在假設(shè)政府是一個“仁慈”的政府，它將選擇一個最優(yōu)的g 也就是說，政府將選擇一個合適的g去最大化代表性行為人

7、的福 利。試求解最優(yōu)水平的政府購買數(shù)量。解：(1)在給定g, 0時，消費(fèi)者的最優(yōu)規(guī)劃問題可以表述如下： maxln c ln l in gc,lst.c w(1 l)代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題：max lnw(1 l) lnl in g該最大化問題的一階條件為：ww(1 l)利用這一一階條件，可以求得消費(fèi)者的閑暇需求函數(shù):l 1 1w(w )w(1)利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費(fèi)者的時間約束和預(yù)算約束，我們可以進(jìn)一步求得消費(fèi)者的勞動供給和消費(fèi)需求函數(shù)：w(1)可以注意到，閑暇和消費(fèi)都是都是隨總額稅的增加而減少的，這確 保在我們假設(shè)的效用函數(shù)下，這兩種商品都是正常商品。也可

8、以注意到，閑暇和消費(fèi)都隨w的增加而增加，這意味著在我們的模型 中，相對于收入效應(yīng)而言，替代效應(yīng)是占主導(dǎo)地位的從企業(yè)的利潤最大化問題中，我們能得到：w z競爭均衡的定義要求政府的預(yù)算要平衡：g代這些表達(dá)式進(jìn)入消費(fèi)者的閑暇和消費(fèi)需求函數(shù)中，可以得到如下的競爭均衡數(shù)量：. (z g)z gz gl, n, cz(1)z(1)1注意，當(dāng)我們把消費(fèi)者的時間預(yù)算代進(jìn)其預(yù)算約束的時候，我們已 經(jīng)運(yùn)用了勞動市場的出清條件，n 1 l。利用或者商品市場出清條件，c g y,或者生產(chǎn)函數(shù)，y zn,并與上述均衡數(shù)量相結(jié)合,可以求得均衡產(chǎn)量:z gy l給定時，g 。我們可以借助如下的社會計劃者最優(yōu)問題來求得帕累

9、托最優(yōu)的均衡數(shù)量:maxln c ln l in g c,lst.c g z(1 l)27代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題:max lnz(1 l) g in l in g該最大化問題的一階條件為：z 0 z(1 l) g l利用該一階條件，可以求得消費(fèi)者的閑暇需求函數(shù):l 1 g1z(z g) z(1)利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費(fèi)者的時間約束、生產(chǎn)函數(shù)和資源約束，我們可以進(jìn)一步求得如下的均衡數(shù)量：z gz gz gn , y , c z(1)11因為這些解與上面我們已經(jīng)推導(dǎo)出來的競爭均衡數(shù)量是相同的，因 此，競爭均衡分配是帕累托最優(yōu)的分配。在這一例子中，之所以兩 者的結(jié)果相

10、同是因為總額稅并不會產(chǎn)生扭曲效應(yīng)。(2)因為在題(1)中我們已經(jīng)求得均衡數(shù)量解，因而，我們之需要簡單地讓這些均衡解對g求全導(dǎo)數(shù)，就可以得到結(jié)論：dndg0z(1)dy dg 1生 ，0dg 1可以注意到，平衡預(yù)算乘數(shù)是小于 1的。因為， 1 ，所以,包 1。（回憶：政府預(yù)算約束g必須成立，因而，g的任dg 1何一個變化一定對應(yīng)著的一個相同變化：d dg。因此，我們有“平衡預(yù)算乘數(shù)”這一名詞。）也可以注意到，擠出是不完全的：因為 0,所以dcdg（3）為了確定最優(yōu)水平的政府購買數(shù)量，政府在給定行為人對g變化的最優(yōu)反應(yīng)的基礎(chǔ)上通過選擇一個合適的g來最大化代表性行為人的福利。我們可以把在題（1）中求

11、得的行為人的決策規(guī)則看成是 一個g的函數(shù)：c c（g）和l l（g）。這些函數(shù)告訴我們行為人的最優(yōu)選擇c和l是如何隨著g的變化而變化的。政府的最優(yōu)化問題可以描述如下:max in c(g) glnl(g) lng或者，等價地:max lngln上lng z(1)一階條件如下:或者(1)注意，方程（1）的左邊代表的是政府購買的邊際成本。這些成本是1）的右借助純財富效應(yīng)通過減少消費(fèi)和閑暇的形式實現(xiàn)的。方程（邊代表的是政府購買的邊際收益。因此，最優(yōu)的 g平衡著政府購買 的邊際收益和邊際成本。注意到邊際成本隨著 g的增加而增加，而 邊際收益則隨著g的增加而減少。求解(1)式可以得到最優(yōu)的政府 購買水平

12、：g 1二15.考慮一個具有和題3相同的偏好和生產(chǎn)技術(shù)的代表性行為人經(jīng)濟(jì)。假設(shè)現(xiàn)在政府通過向消費(fèi)者的勞動收入征收比例稅來為自己的購買進(jìn)行融資。讓t代表稅率，因而政府的總稅收收入等于tw(l 1), 這里，w是實際工資。(1)寫出政府的預(yù)算約束。(2)對于給定的g,試求競爭均衡中的消費(fèi)、產(chǎn)出和就業(yè)。討論這 一均衡是否是帕累托最優(yōu)均衡。(3)證明競爭均衡的最優(yōu)數(shù)量將隨著g的變化而變化。(4)求解實現(xiàn)福利最大化的政府購買g的水平。這里的答案為什么與在題1中征總額稅時的答案不同？請解釋之。解：(1)政府的預(yù)算約束是政府購買等于稅收收入： g tw(1 1)(2)由于稅收扭曲的存在，我們不能用社會計劃者

13、的最優(yōu)問題去求解競爭均衡。在給定g, 0時，消費(fèi)者的最優(yōu)規(guī)劃問題可描述如下：max1n c 1n 1 1n gc,1st. c w(1 1)(1 t)代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題:max 1nw(1 1)(1 t) 1n 1 in g該最大化問題的一階條件為：w(1 t) _ 0w(1 1)(1 t) 1利用該一階條件，可以求得消費(fèi)者的閑暇需求函數(shù):11可以注意到該表達(dá)式與稅后實際工資無關(guān)。在這種情形下，替代效 應(yīng)在數(shù)值上等于收入效應(yīng)，因此正好相互抵消。代閑暇的需求函數(shù)進(jìn)預(yù)算約束方程，我們可以進(jìn)一步求得消費(fèi)者的消費(fèi)需求函數(shù)：w(1 t)c 1可以注意到消費(fèi)與稅后收入成正比關(guān)

14、系。因此，消費(fèi)將隨稅率的提高而下降。從企業(yè)的最大化問題中，我們可以得到：w z市場出清條件是：n 1 1c g y( zn)因此，競爭均衡的數(shù)量解將由如下的表達(dá)式給出:我們在第一題的(1)部分已經(jīng)求得帕累托最優(yōu)的數(shù)量解。通過對 比，可以發(fā)現(xiàn)只有在g 0時兩個解才一致。只要g 0,競爭均衡分配將總是次優(yōu)的0、dncdycdc/(3)0,上0,一1dgdgdg注意，在這種情況下，擠出效應(yīng)是完全的：上1。dg(4)政府的最優(yōu)化問題能描述如下：maxlnc(g) lnl(g) ln g g這里，c(g)和l(g)代表了競爭均衡的數(shù)量(我們已經(jīng)在(2)中求得)。代入c(g)和1(g)的表達(dá)式，可以得到政

15、府的最優(yōu)化問題： i zimax 1n g 1n g 11或者，更簡潔地:z max in g in gg 1一階條件如下：1_1n g(3)再一次，可以注意到，方程3)的左邊代表的是政府購買的邊際成z g(1) g本。方程(3)的右邊代表的是政府購買的邊際收益。求解(3)式可以得到最優(yōu)的政府購買水平：g ;一z(4)1比較表達(dá)式(4)和第一題中的表達(dá)式(2),我們可以看到在目前的情形下，政府的購買水平更小(因為0)。也就是說，最優(yōu)水平的g在征總額稅時要比在征比例稅時來得大。因為，在征比例稅時，稅收將對勞動供給和消費(fèi)需求產(chǎn)生一個扭曲效應(yīng)。而這些額外的成本是伴隨著政府的行為而產(chǎn)生的，因此， g自

16、然會下降。比較 (1)和(3)式可以發(fā)現(xiàn)，在g給定時，在征比例稅時，政府活動 的邊際成本更大，而邊際收益兩者卻是一樣的。第三講 配套習(xí)題及答案1.在我們的講義的實例中曾描述了一個兩期模型，現(xiàn)在，若在這個兩期模型中的期效用函數(shù)成為：1u(ct) ct2(1) .試推導(dǎo)出歐拉方程。(2) .試求代表性消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)組合(。后)。(3) .試求均衡的利率r。(4) 歐拉方程為u (ct)u (ct 1)(1 r)111c2因為改c2,所以u(ct)獷，因而有:(1 r)(5) 我們有三個未知數(shù)，但相應(yīng)的也有三個方程，一個是歐拉方 程，另兩個就是約束條件。c2。2(1 r)2y a bhy2 b1

17、(1 r) c2求解得：cy2 y1(1 r)c1212(1 r) (1 r)22(1 r)y2yi(1r)12(1 r)biy2y(1 r)y1212(1 r)(1 r)(3)在均衡時,bi0,因此:2.假設(shè)瑪麗只生活兩期。在每一期里她都可以不勞而獲地得到一些 消費(fèi)品：第一期記為e；第二期記為62。她對兩期消費(fèi)品的偏好可由如下的效用函數(shù)來表達(dá)：u(c1,c2) ln(c1) ln(c2),其中，c1和c2分別是她在第一期和第二期的消費(fèi)；是一個間于0和1之間的參數(shù)，表示的是時間偏好。當(dāng)然，如果瑪麗覺得第一期的稟賦，也即3太多，她是可以把它儲蓄起來，以供第二期消費(fèi)的。我們把她儲 蓄的數(shù)量記為so

18、非常不幸，老鼠會偷吃她儲蓄的物品，因此，假如她在第一期儲蓄s單位的物品，在第二期她只能得到(1 )s單位，其中，是一個間于0和1之間的參數(shù)。.試寫出瑪麗的最優(yōu)化問題。(你應(yīng)該描述出她的選擇變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。)b.試求解最優(yōu)化問題的解。(當(dāng)然，你應(yīng)給把諸如 8、62、等參數(shù)看作外生給定的。)c.假如瑪麗現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了一種可以減少老鼠偷吃的方法，這會對她的最優(yōu)選擇產(chǎn)生怎樣的影響？(無非是對的變化作一個比較靜態(tài)分析!)a.ln(c2)st.ci s ec2 e2 (1 )sb.構(gòu)建拉格朗日函數(shù)：ln(ci)ln(c2)iei c s 2同(1 )s一階條件為：-1(focc1)10ci(focc

19、2)2 0c2(focs)12(1) 0c2c2c1(1)結(jié)合約束方程，可求得:(1)e1 e2s )(1)(12 e2(1)(1)(1) e2(1)c.分別對 求導(dǎo)數(shù)，可得:(1c1e1c2e2c1e2(1)2(1)c2e1利用三個一階條件可求得歐拉方程：e2(1)(1)2(1)2因為瑪麗學(xué)會了防止老鼠偷吃的技術(shù)，因此，將下降。根據(jù)偏導(dǎo) 數(shù)的符號，我們可以判斷：第一期的消費(fèi)將減少，而第二期的消費(fèi) 和第一期的儲蓄都將增加。3.在講義中，我們假設(shè)行為人在初始時擁有外生給定的資本公，并且這些資本是不能直接用于消費(fèi)的。現(xiàn)在如果我們?nèi)∠Y本不能直 接用于消費(fèi)這一強(qiáng)制性規(guī)定（這樣，第一期的收入就不需要自

20、己去 生產(chǎn)了）。效用函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)的具體形式仍與講義中的相同，試 求每一期的均衡數(shù)量解和價格解。解：考慮計劃經(jīng)濟(jì)的情形max u(c|)u(c2)c1,c2,ks.t.cikok1c2zf (kj如果u(ct)ln(ct) , y zf(k)zk ,可解得:kikocic2z ko1企業(yè)利潤函數(shù)為:zf(kd) (1 r)kd (1 )kd假設(shè)1,企業(yè)利潤最大化的一階條件為:才（kd） 1 r利用這一條件，可求得：1 r z ko112.考慮如下這樣一個兩期問題：行為人在第一期和第二期分別得到外生收入丫1和丫2 ,行為人需要選擇一個最優(yōu)的消費(fèi)組合（c1,c2）來實現(xiàn) 自己的效用最大化。我們假設(shè)

21、期效用函數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)大于零二階導(dǎo) 數(shù)小于零的，并記利率為r。a.以現(xiàn)值的形式寫出行為人的跨期預(yù)算約束條件。b.現(xiàn)在假設(shè)政府以t的稅率對利息收入征稅。當(dāng)然，我們也假定，如果你是債務(wù)人，當(dāng)你在向債權(quán)人支付利息時，政府也會安相同的比率對你的利息支出進(jìn)行補(bǔ)償?，F(xiàn)在寫出新情形的現(xiàn)值跨期預(yù)算約束 條件。c.假設(shè)在最優(yōu)的情況下，行為人是一個儲蓄者而不是一個借貸者，也即丫1 c1。請計算政府在每一期的稅收收入。d.現(xiàn)在假設(shè)政府取消了對利息征稅，轉(zhuǎn)而決定對每一期都征收一個 固定數(shù)量的總額稅，分別記為t1和丁2：i .寫出行為人新的預(yù)算約束條件。ii .為了維持政府稅收收入的現(xiàn)值不變，新的總額稅應(yīng)該滿足怎樣的 條

22、件？iii .假如新總額稅滿足了（豆）中的條件，行為人在新的情況形下還 能承擔(dān)原先的消費(fèi)組合嗎？iv .假如新總額稅滿足了（ii）中的條件，行為人在第一期的消費(fèi)是上升的、下降的、還是不變的？1a行為人的預(yù)算約束為：c-y1工 1 r 1 rb.行為人新的預(yù)算約束為：ciyi-1 （1 t）r 1 （1 t）rc.政府兩期的總稅收收入為：tr (y1cjd. i .行為人新的預(yù)算約束為:c1三(y1t1)ii .政府在征總額稅以后，其稅收的現(xiàn)值收入為:t1產(chǎn) 1 r要保證政府稅收的現(xiàn)值收入不變，要求下式成立，即:tr（y1 c1）t2/t1 ,1 r1 riii .假如（ii）中所給出的條件成立

23、，意味著在兩種稅收體制下，行為人的收入現(xiàn)值是相同的，因此，老的消費(fèi)組合（c1,c2）在新的稅收制度下一定是消費(fèi)的起得。iv .假如（ii）中所給出的條件成立，行為人第一期得消費(fèi)將減少，因為，在新的稅收制度下，第二期的價格為 ,要比在老的稅收1 r制度下的價格 一1一更低，因此，行為人會減少第一期的消費(fèi)而1 (1 t)r增加第二期的消費(fèi)。3 .考慮一個僅生活兩期的代表性行為人。在第一期行為人參加工作并可獲得w的工資收入，在第二期行為人退休并以自己在第一期的儲蓄為生。行為人一生的效用為u(q),u(c2),其中期效用函數(shù)是1遞增且嚴(yán)格凹的，gc分別表示行為人在第一期和第二期的消費(fèi)數(shù)量。假定行為人在

24、第一期的儲蓄(記為s)可以獲得的報酬率，也即利率為r。(1)寫出行為人的最優(yōu)化問題(目標(biāo)函數(shù)和約束條件)(2)推導(dǎo)出行為人實現(xiàn)效用最大化時的一階條件，并用儲蓄 s表達(dá) 出來。(3)根據(jù)題(2)的結(jié)果，推導(dǎo)出s/ w的表達(dá)式。從中你可以判斷 出工資收入變動會對儲蓄產(chǎn)生怎樣的影響？對你的結(jié)論給出一個簡 單的經(jīng)濟(jì)解釋。(4)根據(jù)題(2)的結(jié)果，推導(dǎo)出s/ r的表達(dá)式。從中你可以 判斷出利率變動會對儲蓄產(chǎn)生怎樣的影響？請試著推導(dǎo)該偏導(dǎo)數(shù)的 符號與跨期替代彈性(我們定義為(c) u (c)cu (c)之間的關(guān)系。1. 、2. (1)max u(c1) u(c2)c1，c21s.t. c1 s wc2 (

25、1 r)s(2)代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，消掉變量 ci和。2,對另一變量s求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，可得:u (ci)1 r ,、-u (c2) 01或者1 ru (w s) u (1 r)s 01(3) (2)式中的一階條件實際上以隱函數(shù)的形式給出了變量的s、w、r之間的關(guān)系，我們把這個隱函數(shù)記為:f(w,s,r) u(w s)1 r u(1 r)s1利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理,f/ wf/ s(tti(0,1)-u (c2)u (g)由偏導(dǎo)數(shù)的值域可知，當(dāng)工資收入上升時，行為人的儲蓄也會隨之增加(4)利用隱含數(shù)求導(dǎo)法則，可以得至上u(c2) (1 r)su g)產(chǎn)u(c2)u(g)u(q)c2；-u (

26、c2)11(1 r) u (c2)u (g)1uc) c2u (c2)(1 r)2u (c2) (1 )u (c1)u g) 11(c2)(1 r)2u (c2) (1)u(g)該符號不確定，依賴于跨期替代彈性的大小。當(dāng)1 時，s/ r 0;當(dāng)時，s/ r 0;當(dāng) 1 時，s/ r 0o第五講 配套習(xí)題及答案1 .考慮一個有如下效用函數(shù)的生活無限期的行為人:ln ct t 1假定該行為人不擁有任何初始資產(chǎn)(a 0)。該行為人可以進(jìn)入一個資本市場，在這里，他(她)可以以固定的利率r借入或借出收入。假設(shè)行為人在每一期的收入固定等于 y 0。(1)寫出行為人的最優(yōu)化問題。確信包含了轉(zhuǎn)換條件。(2)試

27、用拉格朗日和動態(tài)規(guī)劃兩種方法推導(dǎo)出行為人的歐拉方程。(3)用行為人的歐拉方程和跨期預(yù)算約束條件求出她的最優(yōu)消費(fèi)路徑。(4)比較行為人的最優(yōu)消費(fèi)路徑和收入路徑，并解釋他們的差異。解：(1)行為人的最優(yōu)化問題可描述如下：“111maxln ctt 1s.t. ct at 1(1 r)a y,t 1,2,timat 1(1 r)t(2)用拉格朗日方法推導(dǎo)跨期歐拉方程，我們首先需要求出如下最大化問題的一階條件：maxt 1 ln ctt (1 r) at y ct at 1ct,at 1, t t 1 t 1這里，t 0是時期t預(yù)算約束的拉格朗日乘子。對于所有的t 1,2,，關(guān)于ct,at1, t的一

28、階條件分別如下： t 1t (1 r) t10(1 r)ay ct at 10利用前兩個一階條件，可以得到跨期歐拉方程:t 11(1 )一(1 )ct 1gct 1用動態(tài)規(guī)劃的方法求解，我們首先需要用遞規(guī)的形式構(gòu)建出行為人 的最優(yōu)化問題:v(a) maxlng v(a 1)ct,at 1s.t.ctat 1(1r)atyv(at) max in (1 r) a y at 1v(at 1)a 1對應(yīng)于該值函數(shù)右邊最大化問題的一階條件為:1,、v (at 1) ct貝爾曼方程兩邊同時對a求導(dǎo)并應(yīng)用包洛定理，有:v(at)ct利用上式替代掉一階條件中的v(a)，可以得到跨期歐拉方程:(1 r) ct

29、 i(3)以如下的方式表述歐拉方程:1(1 )ct 1(1 r)ct 1(1 r)ct我們可以看到，給定g,這最優(yōu)的消費(fèi)路徑由如下形式給出:c2(1r)c1c3(1r)c2(1r)2c13c4(1r)c3(1r)c1或者，更簡潔地表示為：ct (1 r)t1c1，t 1,2,現(xiàn)在，我們需要從跨期預(yù)算約束中決定出 c1。應(yīng)用轉(zhuǎn)換條件、初始 資本a 。這些條件，跨期預(yù)算約束可以寫為：ctv,4t 1/a t 1t 1 (1 r) t 1 (1 r)t 11v mt 1 i r然后，運(yùn)用幾何級數(shù)求和公式，有:ct1 rt 1 (1 r)t 1 r替代掉g ,我們可以求解出gt 1(1 r) g/a

30、t 1t 1(1 r)1 rc1(1)yr因此，最優(yōu)的消費(fèi)路徑將由下式給出:t 11 rct (1 r) (1)y,t 1,2,r(4)注意。假如(1 r) 1 ,那么，對于所有的t 1,2,有y。在這一特殊的情形中，消費(fèi)路徑等于收入路徑(為常數(shù) y)。假如(1 r) 1,那么，最優(yōu)的消費(fèi)路徑是單調(diào)增加的。假如(1 r) 1,那么，最優(yōu)消費(fèi)路徑是單調(diào)減少的。第六講配套習(xí)題及答案1 .我們知道，在連續(xù)時間下，一個變量的增長率可以表示為該變量的自然對數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)，也即 型)膽也。請利用這一事實證明 z(t) dt如下結(jié)論：(a) .兩個變量乘積的增長率等于它們各自增長率之和。也即，如果x(t)y

31、(t),那么,z(t) x(t) y(t)z(t) x(t) y(t)(b) .兩個變量比率的增長率等于它們各自增長率之差。也即，如果z(t)當(dāng)那么型！匈必 y(t) '' z(t) x(t) y(t).如果z(t) x(t)，那么，.x(t)x(t)2 .考慮一處于平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)，為了簡單，假定無技術(shù) 進(jìn)步?，F(xiàn)在假定人口增長率下降。(a) .處于平衡增長路徑上的每工人平均資本、每工人平均產(chǎn)量和每 工人平均消費(fèi)將發(fā)生什么變化？畫出經(jīng)濟(jì)向其新平衡增長路徑移動 的過程中這些變量的路徑。(b) .說明人口增長率下降對產(chǎn)量路徑的影響。3 .假定生產(chǎn)函數(shù)為柯布-道格拉斯函數(shù)。(

32、a) .將k、y和c表示為模型的參數(shù)s、n、g、和 的函數(shù)。(b) .k的黃金值是多少？(c) .為得到黃金資本存量，所需要的儲蓄率是多少？4 .考慮不變替代彈性(ces生產(chǎn)函數(shù)，y k( 1)/ (al)( " ( 1", 其中，0 且 1。(a) .證明：該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬不變的。(b) .求出該生產(chǎn)函數(shù)的密集形式。.在什么條件下該密集形式滿足f () 0,f () 0?(d).在什么條件下該密集形式滿足稻田條件？5 .假定對資本和勞動均按其邊際產(chǎn)品支付報酬。用w表示f(k,an)/ n, r 表示 f(k,an)/ k。(a) .試證明勞動白邊際產(chǎn)出w為af(k)

33、kf(k)。(b) .試證明如果勞動和資本均按其邊際產(chǎn)出取得報酬，規(guī)模報酬不 變意味著：生產(chǎn)要素總收入等于總產(chǎn)量。也就是證明在規(guī)模報酬不 變的情形下，wn rk f(k,an)。(c) .如果生產(chǎn)函數(shù)的具體形式為一柯布-道格拉斯型生產(chǎn)函數(shù)，也即f(k,an) k (an)1 ,試證明這里 就是資本這種生產(chǎn)要素所獲得的 收入在總收入(也即總產(chǎn)出)中所占的份額。(d) .卡爾多(1961年)曾列出了一些關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長的典型特征，其中的兩個是：(1)資本的報酬率(r)近似不變；(2)產(chǎn)量中分配向 資本和勞動收入比例也大致不變。處于平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟(jì) 是否表現(xiàn)出這些性質(zhì)？在平衡增長路徑上，w和r的

34、增長率各是多少？(e) .假定經(jīng)濟(jì)開始時，k k。隨著k移向k , w的增長率是高于、 低于還是等于其在平衡增長路徑上的增長率？對 r來說，結(jié)果又是什 么？6 .設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為y k (al) r1,其中r為土地數(shù)量。假設(shè)0,0,且+ 1。生產(chǎn)要素按照k sy k、a ga、l nl和r 0變動。(a) .該經(jīng)濟(jì)是否有唯一且穩(wěn)定的平衡增長路徑？也就是說，該經(jīng)濟(jì)是否收斂于這樣一種情形：在此情形下，y、k、l、a和r均以不變(但不必相同)速率增長？如果這樣，其增長率各為多少？若非如此，為什么？(b) .根據(jù)你的答案，土地存量不變這一事實是否意味著持久增長是 不可能的？請直觀地解釋。第七講配套習(xí)題及答

35、案1.考慮一個如下的新古典增長模型，其中，代表性的家庭的偏好由如下的效用函數(shù)給出：t cl t 0這里，01, ct是人均消費(fèi)，1且 0。人口以固定速率n增長，因此：nt (1 n)tno這里，no 0。生產(chǎn)技術(shù)由下述函數(shù)所代表：yt kt n1這里，01, y是總產(chǎn)出，kt是總資本存量。資本使用一期就完全折舊，初始資本存量是正的：k0 0。政府通過向家庭征收總額稅的方式來為自己的購買融資，其數(shù)量為 gnt,其中，g 0。出于簡 單化，我們假設(shè)政府把它所購買的商品均扔入大海里。(1) .以動態(tài)規(guī)劃的形式構(gòu)建社會計劃者的最優(yōu)化問題。這一規(guī)劃能被用作去求競爭均衡解嗎？為什么可以或不可以？(2) .

36、求解均衡路徑上的資本勞動比率、人均消費(fèi)和儲蓄率。(3) .在第(2)部分的解是否依賴g?解釋原因。解：(1)社會計劃者的問題可以寫為：maxct，kt 1s.t.ntctkt 11kt ntgntnt (1 n)t no預(yù)算約束方程兩邊同時除以可以構(gòu)建如下的貝爾曼方程：v(kt) max c- v(kt 1) ct,kt 1st.ct (1 n)kt 1 kt g這里，kt二。因為不存在稅收扭曲、外部性，或者市場失靈，社 nt會計劃者的最優(yōu)問題可以用作去求競爭均衡的最優(yōu)解。注意，社會 計劃者把政府支出看作是外生的變量，也即，在上述的計劃最優(yōu)問 題中，g是作為一個參數(shù)而加以考慮的。(2)代預(yù)算約

37、束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，我們可以重寫題(1)中的動態(tài) 規(guī)劃問題為如下形式：kt (1 n)kt 1 gv(kt) max v(kt 1)kt 1求解右邊的貝爾曼方程，一階條件由下式給定：(1 n)ct 1 v(kt1) 0ct 1- v (kt 1)1 n包洛定理意味著如下的等式成立：v (kt) kt 1ct 1聯(lián)合包洛定理和一階條件可以得到歐拉方程：1.11ct- kt 1 ct 11 n代平衡增長條件，ct ct1 c ,kt kt1 k進(jìn)歐拉方程，可以求得：代平衡增長條件和k的表達(dá)式進(jìn)預(yù)算約束條件，可以得到：11 - 1 nc(1 n) g1 n儲蓄率由下式給出：kt 1 nt 1kt 1(

38、1 n)kt1st ytntktkt因此，k-1s 于(1 n)(k ) yt(3)讓每個平衡增長的表達(dá)式對g求導(dǎo)數(shù)，有：0,1, 0g g g也就是說，儲蓄和資本積累是不受政府支出變化的影響的。產(chǎn)出也不受影響，穩(wěn)定狀態(tài)的消費(fèi)將被政府購買的增加而一對一地擠出。2.考慮一個由許多相同行為人組成的經(jīng)濟(jì)。每個行為人的偏好由如下的效用函數(shù)給出：t ln ctt 0這里，01, g是時期t的消費(fèi)。每個行為人在每一期都擁有一單位的時間稟賦，并且都有相同的初始資本存量 k°。在時期t,消費(fèi)者以實際工資率叫的價格出售單位的時間給代表性的企業(yè)作為企業(yè)的勞動投入；同時，以實際租金率rt的價格租kt單位的

39、資本給企 業(yè)。企業(yè)的利潤歸消費(fèi)者所有，并且消費(fèi)者能以一對一的方式把當(dāng)前的產(chǎn)出轉(zhuǎn)化為下一期的資本。每期資本都完全被折舊。因此，消 費(fèi)者在時期t的預(yù)算約束就為：ct kt 1 wtnt rtkt t代表性企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)如下：1 yt akt nt kt這里，kt代表經(jīng)濟(jì)中所有行為人的平均資本持有量。注意，各參數(shù)受如下的限制：a 0,0,01,1。(1) .解釋在本模型中生產(chǎn)技術(shù)背后的經(jīng)濟(jì)直覺。(2) .設(shè)計一個中央計劃問題，使得勞動努力、消費(fèi)和資本積累的路 徑與競爭均衡的路徑相同。以遞歸的形式寫出這一問題，并標(biāo)明時 期t的狀態(tài)變量和選擇變量。(提示：強(qiáng)制計劃者把 kt看作參數(shù)。) (3).假設(shè)值函

40、數(shù)是可微的，推導(dǎo)相應(yīng)的一階條件、包洛定理和歐拉 方程。(4) .描述出資本和消費(fèi)的競爭均衡增長路徑。(5) .競爭均衡的增長率會比最優(yōu)增長率更快還是更慢？解釋之。解：(1)由于kt的存在，使得本題中的生產(chǎn)函數(shù)與通常得新古典生產(chǎn) 函數(shù)不一樣。這一生產(chǎn)函數(shù)包涵著如下兩方面的含義：第一，企業(yè) 資本存量的一個增加將通過干中學(xué)的機(jī)制導(dǎo)致知識存量的一個增 加；第二，企業(yè)的知識是一個公共產(chǎn)品，可以瞬時地溢出到整個經(jīng) 濟(jì)中。(2)給定kt 0,以動態(tài)規(guī)劃的形式，中央計劃問題可以表述如下：v(kt,kt) max ln g v(kt1,kt1) ct，kt ist.ct kt 1 akt kt注意，這一問題在概

41、念上與社會計劃問題是不同的。這里，”計劃 者”通過把總資本存量看作參數(shù)而被迫接受外部性的存在。對于這一 類型問題的解有時候也被稱為“限制最優(yōu)”。由于沒有把外部性內(nèi)部 化，這一問題與遞歸形式的競爭均衡相一致。時期t的狀態(tài)變量是kt和kt ；而選擇變量分別是kt i和ct。資源約束條件可以在給定wt, rt和kt 0的情況下，通過考慮企業(yè)的 如下潛在最優(yōu)問題而正式地推導(dǎo)出來：-1,max akt nt kt wtnt rtkt nt ,kt相應(yīng)的一階條件由下式給出：(1 )akt kt ntwt1 1akt kt ntrt在均衡時nt 1給出了競爭均衡的價格：wt (1 )akt ktrt akt

42、 kt 1代這些表達(dá)式以及均衡就業(yè)nt 1進(jìn)入企業(yè)的目標(biāo)函數(shù)意味著均衡利 潤是零： 11takt ntktwtntrtktakt kt (1)aktktakt ktkt0接著代均衡價格，就業(yè)和利潤進(jìn)消費(fèi)者的預(yù)算約束可以得到經(jīng)濟(jì)的資源約束：ctkt 1akt kt(3)代ct進(jìn)目標(biāo)函數(shù):v(kt, kt) max in akt ktkt 1v(kt 1,kt 1)kt 1假設(shè)值函數(shù)是可微的，相應(yīng)于最優(yōu)化問題右邊的貝爾曼方程的一階條件由下式給出:akt kt kt 1vi (kt 1, kt i)043包洛條件可以通過對目標(biāo)函數(shù)的兩邊對kt求全導(dǎo)數(shù)而得到:1vi(kt,kt)akt ktakt k

43、tkt 1包洛條件往前挪一期，并代結(jié)果進(jìn)一階條件方程，可以得到歐拉方 程:1 1akt1kt1 -ct 1(4)對所有的時期應(yīng)用總一致性條件ktkct1)kt 1akt ktakt注意在均衡時，該經(jīng)濟(jì)與簡單的“ ak模型”是相同的。兩邊同除以kt 可得:ctkt i aktkt平衡增長士勻衡意味著資本的增長率等于消費(fèi)的增長率，因此kl是固 定的：kt i ct iaktct因此，在所有的時期，平衡增長路徑上的消費(fèi)-資本比率由下式給士7e：/ a(1)kt(5)這最優(yōu)的增長率是通過求解社會計劃者的如下最優(yōu)化問題而被 確定：v(kt) max ln ctv(kt 1)ct'kt 1s.t.

44、 ct kt 1 akt注意社會計劃者內(nèi)部化了私人間由一個企業(yè)的生產(chǎn)活動對其他企業(yè) 所產(chǎn)生的外部影響。相應(yīng)于這一問題的歐拉方程由下式給出：上式兩邊都乘以ct 1 ,我們可以看到消費(fèi)和資本的增長率由下式給 出:也包 a a ctkt因為01,這一增長率要比競爭均衡的增長率更大。假如投資的收益不反應(yīng)由干中學(xué)和知識生產(chǎn)的外部社會收益，那么，在競爭均 衡中的資本積累是次優(yōu)的。3 .考慮一個經(jīng)濟(jì)處于平衡增長路徑上的時間是連續(xù)的新古典增長模 型。效用函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)均與講義中的相同?，F(xiàn)在假設(shè)政府在某一 期，比如說t0時期宣布他(她)將在未來的某一期，比如說 ti期開始 將向行為人征收投資所得稅，稅率為。因此

45、，行為人的實際利率將成為r(t) (1) f (k(t)。并且假設(shè)政府會把他(她)征收來的稅收一次性地返還給行為人。(1)試畫出ti時期以后的人均消費(fèi)和人均資本的動態(tài)演進(jìn)的相位 圖。(2)在ti時期人均消費(fèi)會出現(xiàn)非連續(xù)的變化嗎？為什么會或者不 會？(3)試畫出ti時期以前的人均消費(fèi)和人均資本的動態(tài)演進(jìn)的相位 圖。(4)根據(jù)你對前三個問題的回答，你認(rèn)為在t。時期，人均消費(fèi)必須 做出怎樣的調(diào)整？(5)請根據(jù)你的分析，畫出人均消費(fèi)和人均資本隨時間推移的演進(jìn) 草圖。4 .請簡要回答如下這些問題：a.李嘉圖等價定理的基本含義是什么？b.請描述一種經(jīng)濟(jì)環(huán)境，在那里，李嘉圖等價定理是成立的。在這 種經(jīng)濟(jì)環(huán)境

46、中，如果政府頒布了一項稅收的減免政策，這一政策會 對行為人的消費(fèi)產(chǎn)生怎樣的影響？c.李嘉圖等價定理成立需要具備怎樣的條件？a.李嘉圖等價定理的基本含義是：如果政府的支出路徑是給定的， 那么，不管政府是采用何種手段來為自己的支出融資（或者是通過 征總額稅的手段或者是發(fā)行債券的方式）都不會對經(jīng)濟(jì)的資源配置 產(chǎn)生影響。行為人并不會改變已有的行為決策。b.只要政府是征收總額稅的話，在新古典增長理論中，李嘉圖等價 定理就會成立。在代際交疊模型中，只要行為人是關(guān)心下一代的， 也即他們會為下一代留下正的遺產(chǎn)，那么，李嘉圖等價定理也將成 立。如果李嘉圖等價定理是成立的，那么，政府實施的稅收減免政 策將會是中性

47、的，因為行為人會增加自己的儲蓄，并且所增加的數(shù) 量恰好等于政府減免的稅收數(shù)量。因而，政府的減稅政策不會對行 為人的最優(yōu)決策產(chǎn)生影響。c.李嘉圖等價定理要成立，以下條件是必須具備的：（1）政府征收 的是總額稅，也就是說不能有稅收扭曲；（2）行為人是生活無限期 的，他們無法把稅收轉(zhuǎn)移到下一代；（3）信貸市場是完善的，當(dāng)政 府突然增加稅收時，他們能從信貸市場上借到相應(yīng)數(shù)額的資金，從 而維持自己當(dāng)前的消費(fèi)不變。第八講 配套習(xí)題及答案1.考慮如下一個代際交疊增長模型。我們用t 0,1,2,來表示時間。在時期t期里，有nt個生活兩期的消費(fèi)者出生，這里，nt比(1 n);其中，山外生給定，n 0代表人口增長

48、率。在t=0時 期，有一些僅生活一期的老年行為人，他們集體擁有心單位資本并最大化在t=0時期的消費(fèi)。每個時期t出生的消費(fèi)者的偏好由下式給 士 7e：u(gt,c2t 1) u(gt) u(c2t 1) ln gt lnc2t 1這里，gt和c2t 1分別表示第t期的年輕人和第t+1期的老年人的消費(fèi)，也就是同一個行為人在青年期和老年期的消費(fèi)，0為折現(xiàn)因子。每個消費(fèi)者在第一期擁有1單位的勞動稟賦，而在第二期則擁有0單位的勞動稟賦。生產(chǎn)技術(shù)由下式給出： _1f(kt,nt) akt nt這里，yt是產(chǎn)出，kt和nt是資本和勞動投入，a 0, 01。消費(fèi)品能被一對一地轉(zhuǎn)化為資本，反之亦然，即資本品也能

49、一對一轉(zhuǎn) 化為消費(fèi)品。當(dāng)期的資本品只有到下一期才能具有生產(chǎn)性，我們也 假設(shè)生產(chǎn)中不存在折舊。在時期t,政府發(fā)行b單位期限為一期的債券。每一單位債券承諾到時期t+1,將支付1 + r單位的消費(fèi)品給債券的擁有者。在時期 t,政府向每個年輕消費(fèi)者征t單位的是總額稅。我們假設(shè)bt1 bnt,這里，b是一個固定的數(shù)，也就是說，人均政府的債務(wù)是固定的。(a)假設(shè)b=0,試求解實現(xiàn)社會最優(yōu)穩(wěn)定均衡時的人均資本存量k?o(b)假設(shè)b=0,試求解實現(xiàn)競爭均衡時的人均資本存量 k 。現(xiàn)在假設(shè)b 0,試證明政府可以通過選擇一個合適的 b來使得社 會最優(yōu)穩(wěn)定均衡解。與競爭均衡穩(wěn)定解k相同，若定義這個合適的b 為試求解

50、最優(yōu)的b值，判斷b是正的還是負(fù)的，并說明理由。解：(a)在時期t,社會計劃者面臨的資源約束條件如下所示：citnt c2tn-kt i f(kt,nt) kt在長期中，這一模型具有人均數(shù)量趨于常數(shù)的特征。因此，我們把每個變量都表示成人均的形式將會更為方便。定義ktntf(kt) f(kt,1),我們能重寫上式為：c2t,(1 n)kt i cit e f (kt) kt 1 n在穩(wěn)定狀態(tài)下，有kt k?, cit ?和。2t ?2,其中，p, ?和都 是固定不變的。在給定約束條件下，社會計劃者要實現(xiàn)在穩(wěn)定狀態(tài) 下每個消費(fèi)者的效用最大化，實際上就相當(dāng)于在求解如下一個最大 化問題：max in c

51、1in c2st.c1 c2- f (k) nk1 n代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，消掉目標(biāo)函數(shù)中的c2,我們可以得到如下一個無約束的最大化問題:max in c1in (1 n) f (k) nk c1ci，k相應(yīng)于該最大化問題的兩個一階條件分別為：1- 0c1f(k) nk c1以及a k 1 n利用這兩個一階條件，我們能求得實現(xiàn)社會最優(yōu)的穩(wěn)定均衡解：1n(b)出生在t期的消費(fèi)者將求解如下的最優(yōu)化問題：max ln c1t)ln c2tlc1t，c2t 1，sts.t.c1t st wtc2t 1 st(1 rt 1)代把約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，消掉目標(biāo)函數(shù)中的gt和c2t 1 ,就可以得到一個僅含一個決策變量st的最優(yōu)化問題。求解這個最優(yōu)化問題，可 以得到如下一個最優(yōu)的儲蓄函數(shù)：st wt1企業(yè)只需要求解如下一個靜態(tài)的最優(yōu)化問題：1max akt ntwtnt rtktkt，lt最大化這個問題的一階條件就是通常的邊際條件：rt a kt 1wta(1) kt資本市場的出清條件為:kt1(1 n) a(1)kt現(xiàn)在，在給定k的情況下，上述方程決定了唯一的一個資本序列kt t i ,這一序列將收斂于一個唯一的穩(wěn)定狀態(tài) k ,我們可以通過令kt i kt k而求解出k的具體解：1ka(1 )廠(1 n)(1)(c)年輕行為人的最優(yōu)儲蓄為：st;(wtt)1可以證明資本演進(jìn)的利