華師大版2020九年級數(shù)學上冊第24章解直角三角形自主學習培優(yōu)測試卷(附答案詳解)

1、華師大版2020九年級數(shù)學上冊第24章解直角三角形自主學習培優(yōu)測試卷（附答案詳解）1. 如圖，AC,BD為四邊形 ABCD的對角線，AC丄BC,AB丄AD , CA = CD .若tan/ BAC=貝U tan/ DBC 的值是(3A .14142 如圖，從A處觀測鐵塔頂部的仰角是30 °向前走30米到達B處，觀測鐵塔的頂部的仰角是45°則鐵塔高度是（ ）米riLa9CA .1S?3 1B33 123.tan 60的值是（)A .1B2230 3 1D . 15.3 15C.-2C.3D.匕34 .在 ABC 中，C 90，若 cos BA ., 3B.，則sin A的值為

2、（eV5.如圖，在 口ABCD中，/ B=60° AB=4,對角線 AC丄AB，則口ABCD的面積為A . 6 .3B . 12C. 12.36 .家住重慶兩相鄰小區(qū)的小明和小華在一次數(shù)學課后，進行了一次數(shù)學實踐活動.如 圖，在同一水平面從左往右依次是小明家所在的居民樓、小華家所在的小洋房、背靠小華家的一座小山，實踐內(nèi)容為測量小山的高度，家住頂樓的小明在窗戶 A處測得小山山 頂?shù)囊豢么髽漤敹?E的俯角為10°小華在自家樓下 C處測得小明家窗戶 A處的仰角為 37 °且測得坡面 CD的坡度i= 1 : 2,已知兩家水平距離 BC = 120米，大樹高度 DE = 3

3、 米，則小山山頂 D到水平面BF的垂直高度約為（）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)sin37。手 tan37 °, sin10°, tan10 °)5410050小明家A、f卜華號BCA . 55.0 米B . 50.3 米C. 48.1 米D . 57.3 米4AB = 4 2 , tan/ C =-,過 A 作 AD 丄 BC 交邊 BC 于 D 點,37.如圖，已知 ABC中,)8 .2C. 7D . 7 .2As*弋偏出南/尸8客018 按如圖所示的運算程序，能使輸出的y值為-的是（2A.60 ,45B.30 ,45C.30 ,30D.45 ,309 .如圖，在

4、平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的邊AB在y3k軸上，點D （4, 4）, cos/ BCD =，若反比例函數(shù) y= （ k工05x的圖象經(jīng)過平行四邊形對角線的交點E,貝U k的值為（）A . 1410在 RtjABC 中，C 90 , AB 5, AC 2,則 cosB 的值為（）A . -155B 旦5c.逵52D .-511 .在ABC 中，/3/ C=90° , BC=6,tanA=,4貝 U AC=12 如圖，某艦艇上午 9時在A處測得燈塔C在其南偏東75。方向上，且該艦艇以每小 時10海里的速度沿南偏東 15°方向航行，11小時到達B處，在B處測得燈塔C在北

5、偏東75°方向上，則B處到燈塔C的距離為 海里.13 如圖，某地修建高速公路,要從A地向B地修一條隧道（點A,B在同一水平面上）為了測量A,B兩地之間的距離,一架直升飛機從 A地出發(fā)，垂直上升900米到達C處,15 .如圖，已知直線 y2與x軸，y軸分別交于點 A, B，將 ABO沿直線ABk翻折后得到 ABC，若反比例函數(shù) y （ xv 0）的圖象經(jīng)過點 C,貝V k=x16 .如圖，已知在厶 ABC中，AB=AC= 4,/ BAC= 30 °將厶ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn), 使點B落在點Bi處，點C落在點Ci處，且BBi丄AC .聯(lián)結(jié)BiC和CiC，那么 BiCiC的面積等

6、于.17 .菱形ABCD的邊AB 6, ABC 60，則菱形ABCD的面積為5的圖象x18 計算： J8 - 2si n45 + (- i) 0 =.i9如圖，等腰三角形 ABC的三個頂點分別落在反比例函數(shù)y -與yx20米，則物體升高了.米.2i . 20i9年i2月i7 日,我國第一艘國產(chǎn)航母“山東艦”在海南三亞交付海軍.在民族復興的路上我們偉大的祖國又前進了一大步！如圖，“山東艦”在一次試水測試中，由東向西航行到達 B處時，測得小島C位于距離航母30海里的北偏東37°方向.“山東艦”再向西勻速航行 i.5小時后到達 A處，此時測得小島 C位于航母的北偏東70°方(2)

7、求航母的速度.(參考數(shù)據(jù)：sin700.94, cos700.34, tan702.75,sin370.6 , cos37 0.8, tan370.75)22 定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩 個三角形相似(不全等)，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線(1) 如圖1,已知RtAABC在正方形網(wǎng)格中，請你只用無刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點D，使四邊形ABCD是以AC為相似對角線”的四邊形(保留畫圖痕跡)；(2) 如圖2，在四邊形ABCD中，/ ABC = 70°/ ADC = 145°對角線BD平分/ ABC.求證：BD是四邊形

8、ABCD的相似對角線”；(3) 如圖3,已知FH是四邊形EFGH的 相似對角線” / EFH = / HFG = 30°連接EG,若AEFG的面積為2.3，求FH的長.23 已知等腰 ABC中，AB = AC，/ FDE的頂點D在線段BC上，不與B、C重合.(1) 如圖，若DE / AC , DF / AB且點D在BC中點時，四邊形 AEDF是什么四邊 形并證明？(2) 將/ EDF繞點D旋轉(zhuǎn)至如圖 所示位置，若/ B = / C = / EDF = a, BD = m, CD =門，設厶BDE的面積為S1,A CDF的面積為S2,求S1?S2的值.(用含有m、n、a的 代數(shù)式表示)

9、(3) 將/ EDF繞點D旋轉(zhuǎn)至如圖所示位置，連接 EF,若/ B = / C =/ EDF，且EFAE垂直平分AD , BD = m, CD= n,則 的值為多少？(要有解答過程)AF我們經(jīng)?？吹揭恍┐皯羯习惭b著遮陽篷，如圖，現(xiàn)在要為一個面向正南的窗戶設計安裝一個遮陽篷， 已知該地區(qū)冬天正午太陽最低時， 光線與水平線 的夾角為30：;夏天正午太陽最高時， 光線與水平線的夾角為 60： 把圖a畫成圖b , 其中AB表示窗戶的咼， BCD表示直角形遮陽篷.室II內(nèi)ICD(1) 遮陽篷BCD怎樣設計，才能正好在冬天正午太陽最低時光線最大限度地射入室內(nèi),而夏天正午太陽最高時光線剛好不射入室內(nèi)？請在圖

10、c中畫圖表示;(2)已知AB 150cm，在1的條件下，求出BC,CD的長度.25 圖是一個演講臺，圖 是演講臺的側(cè)面示意圖，支架BC是一段圓弧，臺面與兩支架的連接點 A, B間的距離為30cm, CD為水平地面，/ ADC = 75°,/ DAB = 60°, BD 丄 CD .(1) 求BD的長(結(jié)果保留整數(shù)， 參考數(shù)據(jù)：sin75° 0.97, cos75° 0.26,3 1.7)；(2) 如圖，若圓弧BC所在圓的圓心 O在CD的延長線上，且 OD = CD，求支架BC 的長(結(jié)果保留根號).圖1(1)求證：BAPBGN ;(2)若 AB6, BC

11、8，求 PEEFDC,DB,AP,AB 于點 M,G,F, N.26 .如圖1,在矩形ABCD中，點P是BC邊上一點，連接AP交對角線BD于點E, BP BE.作線段AP的中垂線MN分別交線段(3) 如圖2,在(2)的條件下，連接 CF,求tan CFM的值1 127. (1)計算： 12 3tan60( 1)-2(2)已知 x2 2x 1 0，求代數(shù)式(x 1)2 x(x 4) (x 2)(x 2)的值.28 已知，如圖，在 ABC中，AD是邊BC上的高，點E為邊AC的中點，BC 10 ,4AD 8 , sin B -.5求：(1)線段DC的長；參考答案1. D【解析】【分析】根據(jù)tan/

12、BAC = 2，得出/ BAC的度數(shù)，則在 Rt ACB中，設BC = 1,貝U AC =3 ；3證明 CAD為等邊三角形，過點 D作DE丄CA，交CA于點E,設CA與BD交于點F,則J3DE / BC,從而/ DBC = / FDE，設 CF = x，貝EF =- x,根據(jù) tan/DBC = tan/FDE2列出關于x的方程，解得x值，則可求得tan / DBC的值.【詳解】T tan / BAC =/ BAC = 30°,/ AC 丄 BC , / ACB = 90°,設 BC = 1,貝U AC = . 3 , / AB 丄 AD , / BAD = 90°

13、;, / DAC = 60°,/ CA = CD , CAD為等邊三角形，過點D作DE丄CA,交CA于點E,設CA與BD交于點F ,如圖,則有：CE= 1 AC =1! , DE = AD?sin60° =、3 X_l =-,2 2 2 2設 CF= x，貝U EF =- x,2/ AC 丄 BC , DE 丄 CA , DE / BC ,/ DBC = Z FDE ,. tan / DBC = tan / FDE , BC DEx 1解得：X= _!,5 tan / DBC = = 3 .15故選：D.【點睛】本題考查解直角三角形、 等邊三角形的判定與性質(zhì)，明確銳角三角函

14、數(shù)的定義及特殊角的函數(shù)值是解題的關鍵.2. D【解析】【分析】設鐵塔的高度為 x米，在RtA BCD中，根據(jù)仰角為45 °可得BC=CD=x米，然后在Rt ACD中用含x的式子表示出AC的長度，根據(jù) AB=30米，列方程求出x的值即可.【詳解】解：設鐵塔的高度為 x米，在 Rt BCD 中， / DBC=45 BC=CD=x 米,在 Rt ACD 中，/ DAC=30 ° ,DC3tan 30AC3 AC=、3 x米,/ AB=30 米，即 AC-BC=30 米，- . 3 x-x=30 ,解得：x=15.、3+15 ,即鐵塔的高度為（15、_3+15）米.故選：D.【點睛

15、】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，此題涉及到銳角三角函數(shù)的定義及特殊 角的三角函數(shù)值，熟知以上知識是解答此題的關鍵.3. C【解析】【分析】由特殊角的三角函數(shù)值，即可得到答案【詳解】解：tan 60,3 ;故選：C.【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值4. C【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出/B，再求/ A，即可求解【詳解】在ABC中,C 90，若 cosB、32，則/ B=30故/ A=60°，所以 sinA=上32故選：C【點睛】本題考查的是三角函數(shù)，掌握特殊角的三角函數(shù)值是關鍵5. D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義

16、求出AC,再求出 ABC的面積，故可得到 口ABCD的面積.【詳解】/ Z B=60°, AB=4, AC丄 AB,/ AC=ABtan60 =4 南,Saabc= ABX AC=2X 4 X 4.3=8 3 , ABCD的面積=2Smbc=16、.3故選D.【點睛】此題主要考查三角函數(shù)的應用，解題的關鍵是熟知正切的定義及平行四邊形的性質(zhì)6. C【解析】【分析】延長ED交BF于點H，則EH丄BF ,過點E作EG丄AB于點G,可得四邊形BGEH是矩形， 根據(jù)坡面 CD 的坡度 i= 1 : 2,設 DH = x,貝U CH = 2x，可得 GE= BH = BC+CH = 120+2x

17、,BG = HE = HD+DE = x+3，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出AB的值，進而求出小山山頂 D到水平面BF的垂直高度.【詳解】 解：如圖,小明駆/' fq*'<7小華尊5cH r延長ED交BF于點H，貝U EH丄BF , 過點E作EG丄AB于點G,/ AB 丄 BF ,四邊形BGEH是矩形， GE = BH , BG= EH ,坡面CD的坡度i= 1 : 2, DH 1 CH 2設 DH x,貝V CH 2x,GE BH BC+CH 120+2x,BG HE HD+DE x+3 ,在 Rt ABC 中，/ ACB 37°, BC 120, AB 120x

18、tan/ ACA 90 ,在 Rt AEG 中，/ AEG 10°, AG AB - BG 90 -( x+3) 87- x , tan10 °AGGE9 87 x50120 2x解得xa48.1（米）.答：小山山頂 D到水平面BF的垂直高度約為 48.1米.故選：C.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解決本題的關鍵是掌握仰角俯角定義.7. C【解析】【分析】解直角三角形分別求出 BD , CD即可.【詳解】解： AD 丄 BC,/ ADB =Z ADC = 90°AB = 4、2，BD = AD , AD = BD = 4,/ tanC =AD

19、CD CD = 3, . BC = BD+CD = 4+3 = 7, 故選：C.【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.8. C【解析】【分析】根據(jù)流程圖以及銳角三角函數(shù)的定義，逐一判定選項，即可得到答案.【詳解】A.60 ,45時,y=sin60 ° :.3=,2B.30 ,45時,y=cos45 °2C.30 ,30時,y=sin30 ° :_ 1 = ?2D.45 ,30時，y=cos45 °=返2故選C.【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關鍵.9. B【解析】【分析

20、】 過點B作BG丄CD于點G,根據(jù)D (4, 4)和勾股定理可得， CG= OB = 3, OA = OB+AB =乙過點E作EF丄x軸于點F，可得EF / AO,所以EF是三角形AOC的中位線，進而可 求EF和OF的長，即可得k的值.【詳解】DC = OC = BG = 4,CG3 cos/ BCD =-=BC5設 CG = 3x,貝BC = 5x, BG = 4,根據(jù)勾股定理，得x= 1 ,CG = OB = 3,四邊形ABCD是平行四邊形,AB = CD = 4,OA = OB+AB = 7,過點E作EF丄x軸于點F, EF / AO ,平行四邊形對角線的交點E, AE = CE , E

21、F / AO , OF = CF, EF是三角形AOC的中位線, EF = -OA =-1OF = OC = 2,2 k = EF?OF= 7,故選：B.【點睛】去求本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)，解答題目的關鍵是正確理解題意，添加合適的輔助線,出EF和OF的長.10. B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出 BC,然后根據(jù)余弦的定義即可求出結(jié)論.【詳解】解： C 90 , AB 5, AC 2 BC= , AB2 AC2.21 cosB=匹亙AB 5此題考查的是求一個角的余弦值，掌握勾股定理和余弦的定義是解決此題的關鍵.11. 8【解析】【分析】bc3根據(jù)正切的定義得到呢=-，然后把BC=6,tan

22、A = 4代入進行計算即可.【詳解】解：T BC = 6, tanA =,4/ tanA =BCAC6 =AC = 4 AC = 8,【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在直角三角形中，銳角的正切等于這個角的對邊與鄰邊的比值.12. 20 , 3【解析】【分析】根據(jù)題意得出ABC 90 , BAC 60，據(jù)此即可求解.【詳解】根據(jù)題意：AB 2 10 20（海里），如圖，根據(jù)題意：EBABAD 15 ,EBCCAD 75 ,ABC EBA EBC 157590 ,BAC CAD BAD 751560 ,BC BC - tan 603AB 20- BC 20 一 ,答：B處到燈塔C的距離為20

23、 、海里.故答案為：20 .D1T%【點睛】本題考查了解直角三角形的應用一方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題， 將解直角三角形的相關知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學應用于實際生活的思想.13. 900 .3【解析】【分析】AB根據(jù)題意得到/ CAB=90 , AC=900米，求出/ ACB=60 ，即可利用tan / ACB= 求出ACAB的距離.【詳解】在 Rt ABC 中，/ CAB=90 ，/ ACB=90 -30 =60 , AC=900 米， tan/ ACB= -ABAC '- AB= AC tan 60 = 900.3 （米）,故答案為：900. 3 .【點睛】此題考查三角函數(shù)的實

24、際應用，此類問題中確定三角形中的邊和角之間的關系是解題的關鍵.14. 105 °【解析】【分析】過點P作PH丄AB于H，由全等可知/ BAP= / DAP=45，從而得到/ APH=45，然后通過 AP可求出HP的長，從而得到/ BPH，即可得到/ APB的度數(shù).【詳解】解：過點P作PH丄AB于H ,四邊形ABCD是正方形, AB=AD，/ BAD=90 , 在厶APB和厶APD中AB ADAP APPB PD APB APD ,/ BAP= / DAP ,由/ BAD=90，可知/ BAP= / DAP=45 ,/ APH=90 -45 °=45° ,/ PA=

25、1 ,sin 45PH1PH二 sin Z BAP =AP- PH ,2 PB= 2 , Z PBA=30 , Z BPH=90 -30 °=60° , Z APB= Z APH+ Z BPH=45 +60° =105°【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角函數(shù)，作出輔助線是解題的關鍵.15.3.3【解析】【分析】先由直線解析式求出 A、B兩點坐標，進而得到Z A、Z B的度數(shù)，連接OC交AB于D，求 出OD的長，由軸對稱性可得 OC的長，過C作CE丄x軸于點E，通過解直角三角形求出OE、CE的長即可.【詳解】對于yX32，當 x=0 時

26、，y=2 ；當 y=0 時，x=-23 A(-23 , 0), B (0, 2) AO=2 3,OB=2, tan/OAB= OB _1OA 3，/ OAB=30 °/ OBA=60 ° ,連接OC,過點C作CE丄x軸，垂足為E,1l OD= - OA= .3 , / AOD=60 OC=2 i 3，/ OCE=30 °1. OE= OC= . 3 ,-CE=、OC2 OE23- C(- .3,3) k= 3.3.故答案為：33.【點睛】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征考查折疊得性質(zhì)、 直角三角形的勾股定理、 解直角三角形,等知識，求出點 C的坐標是解決問題的關鍵.1

27、6. 8 4.3【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一得出§ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)的角度，然后證明 ACCi是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得出 CCi AC和ABi CCi，再1根據(jù)銳角三角函數(shù)求出 BiF的長度，最后利用 Sb1c1cCCi BiF求面積即可.2【詳解】如圖，/ AB ABi, BBi AC ,DABiBAD 30 ,BABi 60, 'ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到& BiACiCACi 60 .i * AC ACi , ACCi是等邊三角形，CCiAC 4 , ABi CCi.:AC4,CAF30 ,AFA

28、Ccos302.3 ,BFABiAF4 2、3 ,SgCQCC1 B-| F24 (4 2.3) 8 4.3故答案為：8 4 3 【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形， 能夠畫出圖形并求出旋轉(zhuǎn)角是解題的關鍵.17. 18.3【解析】【分析】如圖，過點A作AE丄BC于E,利用/ B的正弦可求出 AE的長，根據(jù)菱形面積公式即可得 答案.【詳解】如圖，過點A作AE丄BC于E,菱形ABCD的邊AB 6, AB=AC=BC=6 ,/ B=60° , AE=AB sin60 S 菱形 abcd=BC AE=6X 3.3 = 18,3 ,故答案為：

29、18 一 3【點睛】本題考查菱形的面積求法及解直角三角形，利用/B的正弦求出AE的長是解題關鍵.18. ：2 +1【解析】【分析】先算根號，三角函數(shù)值和 0次幕，再利用實數(shù)的混合運算法則計算即可得出答案.【詳解】 解：原式=22=22 1故答案為：,2 +1 -【點睛】本題考查的是實數(shù)的運算，比較簡單，需要熟練掌握實數(shù)的運算法則.19.【解析】OA=OB，根據(jù)等腰三角形三線合一可證明【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性可得 AOEOCF ,根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得OC2 5OA2 ,由勾股定理 得出AC ,6OA即可求得結(jié)果.【詳解】1解：函數(shù)y圖象關于原點對稱， OA=OB ,

30、x連接OC,過A作AE丄x軸于E,過C作CF丄x軸于F, ABC是底邊為AB的等腰三角形， AO 丄 OC,/ AOC=90 ° , AE丄x軸，CF丄x軸，/ AEO= / OFC= / AOE+ / OAE=90 ° ,/ COF= / OAE , AOE OCF,S AOE / AO、2( ),S OCF OC頂點A在函數(shù) y -圖象的分支上,x5頂點C在函數(shù)y= 圖象的分支上xSaAOE= 1 ,2Sa OCF= 5 ,2AO2OC2故答案為_f.-22-,即 OC2 5OA2，5在 Rt AOC 中，AC=OC2. 6OA, cos/ A= =6AC 6 .本題考

31、查了綜合運用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)圖象關于原點對稱，相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形等知識點，難度不大，屬于中檔題.20. 12【解析】【分析】4根據(jù)斜面坡度i 1：-，可以設該物體由斜面向上推了20米時對應的豎直高度和水平距離，3然后根據(jù)勾股定理可以解答此題 【詳解】設該物體由斜面向上推了 20米時，對應的豎直高度為 x米，則此時的水平距離為 -x米，3根據(jù)勾股定理，得 X2 ( 4X)2 2023解得Xi 12 , X212 (舍去)，即該物體由斜面向上推了 20米，此時這個物體升高了 12米.故填：12.【點睛】本題主要考查了坡度的定義，以及勾股定理，正確的運用坡度的

32、定義是解決問題的關鍵.21. (1) 33 ； (2)見解析，航母的速度為32海里/時【解析】【分析】(1) 如解圖所示，易知 BD / AE，從而得出/ ADB= / EAD=70。，然后根據(jù)三角形外角的 性質(zhì)即可求出結(jié)論；(2) 如解圖所示，作 CD AB交AB的延長線于D，利用銳角三角函數(shù)求出 BD和CD,再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出AD，然后根據(jù)“速度=路程十時間”即可求出結(jié)論.【詳解】/ ACB= / AFB -Z FBC=33故答案為：33;作CD AB交AB的延長線于D .RtBCD 中，BC30,BCD 37 BD BC sin BCD 18, CD BC cos BCD 24

33、. RtACD 中,CD 24, ACD 70 . AD 24 tan ACD 66.(66 18) 1.5 32 海里 /時.答：航母的速度為 32海里/時.【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形和三角形外角的性質(zhì)是解決此題的關鍵.22. ( 1 )見解析；(2) BD是四邊形ABCD的 相似對角線”，見解析；(3) 22【解析】【分析】(1) 先求出AB , BC, AC,再分情況求出 CD或AD，即可畫出圖形;(2) 先判斷出/ A+ / ADB = 145° = / ADC，即可得出結(jié)論；(3)先判斷出 AFEHFHG，得出FH2 = FE?

34、FG，再判斷出EQ = 3FE，繼而求出？FE=8，即可得出答案.【詳解】(1 )解：如圖1所示:由勾股定理得：AB = J12 22 = V5， BC = J22 42 = 2 75， / ABC = 90 ° AC = 5,四邊形ABCD是以AC為相似對角線”的四邊形，當/ ACD = 90° 時，ACDABC 或ACDCBA，ACAB1卡 ACBC門二 =一，或 =2,CDBC2 CDABCD = 10,或 CD = 2.5當/ CAD = 90°時，同理：AD = 2.5 或 AD = 10 ；(2)證明：/ ABC = 70°, BD 平分/

35、ABC ,/ ABD =Z DBC = 35°,/ A+ / ADB = 145°/ ADC = 145°,/ BDC+ / ADB = 145°,/ A =Z BDC, BD是四邊形ABCD的相似對角線”；(3) 解：T FH是四邊形EFGH的相似對角線 EFH 與 AHFG 相似，/ EFH = Z HFG , FEHFHG , FE _ FH "FH FG , FH2= FE?FG , EQ = FE?si n60 °= FGXEQ= 2.3 ,2 1FG-3FE= 2 3 ,2 2 FG?FE= 8, FH2= FE?FG=

36、8, FH = 2 伍【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、新定義相似對角線”、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識；理解新定義 相似對角線”，證明三角形相似是解題的關鍵.23. (1)四邊形 AEDF 是菱形，理由見解析；(2) Si?S2= - m2n2. sin2a； (3)歴 2m ° 4AF m 2n【解析】【分析】(1) 根據(jù)平行四邊形的定義易證四邊形AEDF是平行四邊形，根據(jù)三角形的中位線定理和AB = AC可得DE = DF，進而可得結(jié)論；(2) 如圖中，分別過 E, F作EG丄BC于G, FH丄BC于H，先根據(jù)三角形的面積公式和1解直角三角形的知識得出Si0= mn?B

37、E?CF?sin2a,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和已知條件4可得/ DEB = Z FDC ,進而可證明 BDE CFD ,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BE7FC與mn的關系，進一步即可得出結(jié)果；(3) 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得/EDF = Z BAC,進而可推出 ABC 是等邊三角形，于是 AB = BC= AC= m+n，設 AE= ED = x, FA = FD = y,由口 DEBDBE BED CDF可得，代入相關數(shù)據(jù)后再根據(jù)等比性質(zhì)即可求出結(jié)果.DFCF CD【詳解】解：(1)結(jié)論：四邊形 AEDF是菱形.理由：如圖中， BD = DC , DE / AC, DF

38、 / AB, AE = EB, AF = CF，四邊形AEDF是平行四邊形，11- DE = AC, DF = AB,22/ AB = AC,. DE = DF ,四邊形AEDF是菱形；E, F作EG丄BC于G, FH丄BC于H ,則 Si= -BD?EG= -m?BE?sin ,aS2= - CD?FH = n?CF?sin ,2 2 2 2 Si?S2= mn ?BE?CF?sin2a,4/ BDE + Z DEB+ / B= 180° / BDE+ / EDF + / FDC = 180°/ EDF = Z B,/ DEB =Z FDC ,又tZ B=Z C,BDEs

39、 CFD .BD 匹，即 BE?FC = BD?CD = mn , BE CDAD , EA= ED , FA = FD , Z EAD = Z EDA , Z FAD = Z FDA , EDF =Z BAC ,Z B=Z C=Z EDF , / B =Z C = Z BAC = 60° ,ABC 是等邊二角形， AB = BC = AC = m+n ,BECD，設 AE= ED = x , FA = FD = y ,/ BEDCDF , DF CFx m m n xy m n y nx xmmnx 2m ny ymnyn m2n即 AE 2m n本題是典型的一線三等角的相似模型，

40、考查了菱形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及等比性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、靈活應用等比性質(zhì)是解題的關鍵.24. (1)詳見解析；(2) BC、CD長度分別為75cm、75j3cm【解析】【分析】(1) 夏天，光線最高經(jīng)過 A點，光線最低經(jīng)過點 B，應過點A作與水平線成60°的角，過B點作/ CBD=30。，與60°的角交于點 D，過點D向AB引垂線，垂足為 C即可；(2) 設BC x, CD y，根據(jù)題意得出關于x, y的二元一次方程，求解即可.【詳解】解：(1)如圖廠內(nèi)才徉(2)設 BC x, CD y,在 Rt A

41、DC 和 Rt DBC 中,由題意，得150 x y tan60 x y tan30 把 代入，得150 y tan 30 y tan 60：,y15075 '3 cm , x 75 cmtan60tan 30''答：BC、CD長度分別為75cm7573cm 【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，構(gòu)造出直角三角形是解題關鍵.cm25 (1) 98cm； (2) 196 39【解析】【分析】(1)過點B作BE丄AD于點E，根據(jù)三角函數(shù)解答即可；(2)連接BC, OB，根據(jù)等邊三角形的判定和弧長公式解答即可.【詳解】解：(1)過點B作BE丄AD于點E,在 Rt ABE

42、中，AB = 30 cm,/ DAB = 60° BE = AB?sin/ DAB = 30X=15.,3(cm)/ BD 丄 DC , / ADC = 75°/ ADB = 15°/ EBD = 75° .在 Rt DBE 中，BD =BEcos/ EBD15-30.2698 (cm)(2)連接 BC, OB ./ BD 丄 OC , OD= CD , BC = OB .又 OB= OC , OBC是等邊三角形,/ BOC = 60°.ob =D生空(cm),sin/ BOCsin60“3弧 BC 的長為 60196 3 = 196 3(cm).180 39支架BC的長為196 3 cm9【點睛】此題考查解直角三角形的應用，關鍵是根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)解答.PE 226. (1 )見解析；(2)； (3) tan CFGEF 3【解析】【分析】(1)由等角對等邊可得BEPBPE，再由對頂角相等推出GEF BPE，然后利用等角的余角相等即可得證;AD 8,1oAP，(2)在RtABD中，利用勾股定理可求出 BD=10，然后由等角對等邊得到 DE 進而求出