數(shù)列型不等式放縮技巧八法7頁

1、 數(shù)列型不等式放縮技巧八法證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一 利用重要不等式放縮1 均值不等式法例1 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項為，即 注：應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！ 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。

2、 例2 已知函數(shù)，若，且在0，1上的最小值為，求證：（02年全國聯(lián)賽山東預(yù)賽題） 簡析 例3 已知為正數(shù)，且，試證：對每一個，.（88年全國聯(lián)賽題）簡析 由得，又，故，而，令，則=，因為，倒序相加得=，而，則=，所以，即對每一個，.例4 求證.簡析 不等式左邊=，原結(jié)論成立.2利用有用結(jié)論例5 求證簡析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有： 法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個性質(zhì)可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個特例(此處)得 注：例5是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特

3、例) 例6 已知函數(shù)求證：對任意且恒成立。（90年全國卷壓軸題） 簡析 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時取等號) （），得證！例7 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對對都成立，證明（無理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析 結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即例8 已知不等式表示不超過 的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證（05年湖北卷第（22）題）簡析 當(dāng)時，即 于是當(dāng)時有 注：本題涉及的和式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散

4、的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來進(jìn)行有效地放縮； 引入有用結(jié)論在解題中即時應(yīng)用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識。例9 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 解析 引入一個結(jié)論：若則（證略）整理上式得（）以代入（）式得即單調(diào)遞增。以代入（）式得此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有。 注：上述不等式可加強(qiáng)為簡證如下： 利用二項展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題） 簡析 對第（2）問

5、：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列遞減，且故即。 當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文1。二 部分放縮 例10 設(shè)求證： 解析 又（只將其中一個變成，進(jìn)行部分放縮），于是例11 設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時證明對所有 有；（02年全國高考題） 解析 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時顯然成立，假設(shè)當(dāng)時成立即，則當(dāng)時，成立。 利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項，可得 注：上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。三 添減項放縮 上

6、述例5之法2就是利用二項展開式進(jìn)行減項放縮的例子。例12 設(shè)，求證.簡析 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證.例13 設(shè)數(shù)列滿足 （）證明對一切正整數(shù)成立；（）令，判定與的大小，并說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）簡析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（）進(jìn)行減項放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1 構(gòu)造數(shù)列如對上述例1，令則，遞減，有，故 再如例5，令則，即遞增，有，得證！ 注：由此可得例5的加強(qiáng)命題并可改造成為探索性問題：求對任意使恒成立的正整數(shù)的最大值；同理可得理科姊妹題的加強(qiáng)命題及其探索性結(jié)論，讀者不妨一試！ 2構(gòu)造函數(shù)例14 已知函數(shù)的最

7、大值不大于，又當(dāng)時（）求的值；（）設(shè)，證明（04年遼寧卷第21題）解析 （）=1 ；（）由得且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15 數(shù)列由下列條件確定：，（I）證明：對總有；(II)證明：對總有（02年北京卷第（19）題） 解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 當(dāng)時在遞增故 對(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。注：本題有著深厚的科學(xué)背景：是計算機(jī)開平方設(shè)計迭代程序的根據(jù)；同時有著高等數(shù)學(xué)背景數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： 是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。五 換元放縮 例16 求證 簡析 令，這里則有，從而有 注：通過換元化為冪

8、的形式，為成功運用二項展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例17 設(shè)，求證.簡析 令，則，應(yīng)用二項式定理進(jìn)行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結(jié)論 進(jìn)行遞推放縮來證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（）之法2所得都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。七 轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例11第問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了（略）。例18 設(shè)，定義，求證：對一切正整數(shù)有解析 用數(shù)學(xué)歸納法推時的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因為出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：對一切正整數(shù)有（證明從略） 例19 數(shù)列滿足證明（01年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題）簡析 將問題一般化：先證明其加強(qiáng)命題用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步： 因此對一切有 八 分項討論 例20 已知數(shù)列的前項和滿足 （）寫出數(shù)列的前3項；（）求數(shù)列的通項公式；（）