高中數(shù)學立體幾何中幾何體的夾角求法芻議

1、    高中數(shù)學立體幾何中幾何體的夾角求法芻議    謝天翊摘 要：數(shù)學學科作為高中數(shù)學中難度較大的學科，面對數(shù)學問題的解答，掌握一定的解題方法十分重要。學生只有具備了扎實的理論知識，靈活的解題方法，具備清晰的解題邏輯，面對困難的數(shù)學問題才能得到解答。基于此，本文針對立體幾何中十分常見的夾角問題進行了研究分析，從線面夾角、二面角以及線線夾角三個方面進行了分析，以期能夠更加有效的處理好夾角問題，能夠讓學生不再受到立體幾何難題的困擾。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；立體幾何；夾角問題；解題方法引言：在高中階段，數(shù)學學科一直是相對困難的一個學科，無論是學生的學習還是教師的教

2、學，都需要花費大量的精力對數(shù)學進行研究。在高中數(shù)學中立體幾何是十分重要的問題，在高考題目中占據(jù)著很大的比例，對于學生而言，解答立體幾何這類問題也十分困難。教師面對這樣的困境，必須要加強對學生解題方法的教學，幫助學生能夠掌握更有效的解題方法，讓立體幾何的相關(guān)問題能夠迎刃而解。一、線和面形成的夾角針對直線和面形成的夾角，假設(shè)在平面a上，存在一個向量n，那么pp0與a平面形成的夾角也就是，這樣能夠得到 的公式為 。例如：在三棱柱中，存在ca=cb、ab=aa1且 =60°。求證明ab和ac是互相垂直的；假設(shè)平面abc是和平面aa1b1b是相互垂直的，且ab和cb的長度是相等的，在這個條件下

3、，求出直線a1c與平面bb1c1c所形成夾角的正弦值。對于這道題目，我們首先做出直線ab的重點為o，然后將oc、a1b、a1o兩點相連接。由于ab和aa1是相等的，那么 =60°，可以推論出三角形baa1是正三角形，也就是說a1o適合ab相互垂直的。由于ca和cb的值是相等的，所以可以得出co是和ab相垂直的。由于co a1o=o，那么就可以得到ab和coa1是相互垂直的，也就是說ab和a1c是相互垂直的。根據(jù)已知條件，我們能夠了解到co適合ab互相垂直的，oa1適合ab互相垂直的，平面abc是和平面abb1a1互相垂直的，面abc 面abb1a1=ab。因此oc也就垂直于平面abb

4、1a1，oc也就垂直于oa1。因此，將o作為坐標的原點，將oa的方向定義為正方向，oa的長度也就是單位長度，建立直角坐標系之后，能夠獲得各個點的坐標，進行求解。最終能夠獲得正弦值的值為 。二、二面角在二面角中，兩個平面上個存在一個法向量，假設(shè)二面角的大小是大于零且小于的，那么 。平面上一個法向量代表著平面的一點，另一個平面上的法向量代表著的一點指向角內(nèi)部。否則二面角中發(fā)出法向量的時候，=-（n1，n2）1。例如：在一個三棱柱中，aa1c1c是正方形，平面abc是和平面aa1c1c互相垂直的，ab的值為3，bc的值為5。aa1適合平面abc互相垂直的，求二面角a1-bc1-b1余弦值。同時需要證

5、明bc1上是存在一點d能夠讓ad和a1b互相垂直的，將bd和bc1的比值求出來。由于在四邊形aa1c1c是正方形，且aa1是和ac相互垂直的，由于平面abc是和平面aa1c1c是互相垂直的，直線aa1也是垂直于ac，因此可以得到aa1適合ab互相垂直的。根據(jù)題目的已知條件，將a作為原點進行坐標系的建立，這樣能夠獲得各個點的坐標，對余弦值進行計算。三、線和線形成的夾角假設(shè)存在異面直線ab，而在ab上存在兩個向量，異面直線形成的夾角也就是 2。例如：在一個直三棱柱中，ab和ac是互相垂直的，ab和ac的值都是2，aa1的值是4，bc的中點是d。根據(jù)已知條件，對異面直線a1b和c1d所形成的夾角余弦

6、值進行計算，還需要求出兩個平面adc1、aba1所形成的夾角的正弦值。在這道題目中，我們能夠了解到這道題目所考察的是異面直線、向量以及二面角的相關(guān)問題，在這道題目中需要使用向量解題方法進行題目的解答。以a作為原點建立直角坐標系，在直角坐標系中能夠得到各個點的坐標。然后能夠獲得直線的向量，這樣也就能夠?qū)Χ娼沁M行解答。根據(jù)直角坐標系能夠知道，a點的坐標為（0，0，0），b的坐標為（2，0，0），c點的坐標為（0，2，0），d點的坐標為（1，1，0），c1點的坐標為（0.2.4）。因此向量 也就是（2，0，-4），向量 也就是（1，-1，-4）。這樣就能夠計算出夾角余弦值，也就是 。在第二個問題中

7、，由于平面aba1上的法向量是 ，假設(shè)在平面adc1上存在一個法向量，由于該法向量和ad以及ac1是相互垂直的，能夠得出方程式，得到答案。在獲得平面adc1法向量的值的基礎(chǔ)上，能夠?qū)Χ娼堑恼抑颠M行解答。假設(shè)平面adc1上的法向量n是（x，y，z），那么能夠得到x+y=0，2y+4z=0，z的值是1，也就得到了x的值是2，y的值是-2.這樣向量n也就是（2，-2，1）。那么二面角的正弦值也就能夠得出 。結(jié)論：綜上所述，本文對高中數(shù)學中難度較大的立體幾何夾角問題進行了研究分析，通過例題講解的方式從線面夾角、二面角以及線線夾角三個方面進行了系統(tǒng)的分析。面對立體幾何的夾角問題，首先需要對題目進行徹底的分析，對題目中提到的以及隱藏的已知條件全部找出來，對已知條件進行分析。然后根據(jù)已知條件確定自己的解題思路，通過建立直角坐標系、做輔助線、做輔助點等多種方式，將問題轉(zhuǎn)化成計算問題，對夾角問題進行解答。參考文獻：1平克.讓立體幾何變