函數(shù)思想在求參數(shù)取值范圍問題中的應(yīng)用

1、    函數(shù)思想在求參數(shù)取值范圍問題中的應(yīng)用    王勝軍【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想 中學數(shù)學思想 參數(shù)取值范圍【摘要】數(shù)學思想是數(shù)學教學的立足點，是數(shù)學問題考察的核心。求參數(shù)取值范圍問題是歷年高考的重點、難點問題，如何化解該難點是很多老師研究的問題，本文就如何利用函數(shù)思想化解該難點提供一種方法供大家參考。：g63 ：a ：1674-098x（2016）7（b）-0000-00數(shù)學教學的目的是向?qū)W生傳授系統(tǒng)的數(shù)學知識，在學習理解應(yīng)用知識的過程中，發(fā)展學生的能力，培養(yǎng)他們良好的個性品質(zhì)，這其中最重要的是解決問題，獲取新知識。因此，在教學過程中不僅要重視知識的教學，

2、使學生掌握好基礎(chǔ)知識和基本技能，而且要加強數(shù)學思想方法的有機滲透，增強學生利用數(shù)學思想解題的能力，使學生充分認識數(shù)學思想是教學的靈魂所在。函數(shù)思想是中學數(shù)學的基本思想方法。函數(shù)的思想，就是運用運動和變化的觀點，集合與對應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學問題中的等量關(guān)系，建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.求參數(shù)取值范圍的題型在近幾年的高考以及各省市的模擬測試中頻頻出現(xiàn)，這也是高中數(shù)學學習的重點及難點，本文給出一些靈活應(yīng)用數(shù)學思想方法解這一類題的例子，以供同仁參考。函數(shù)是高中數(shù)學的一條主線，數(shù)學教學在適當?shù)膯栴}情境下，靈活地在解決問題中有意識地培養(yǎng)學生的函

3、數(shù)思想，對啟迪學生思維，培養(yǎng)學生能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高教學質(zhì)量大有稗益。在解題時通常把題目中的參數(shù)和未知量分離開來，利用函數(shù)有界性解題常能使問題簡單化。函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的。對在某區(qū)間恒成立的不等式問題、方程有解問題，用函數(shù)思想指導求解，主要基于以下顯然成立的命題：命題：記函數(shù)y=f（x）的定義域為d，值域為z，最小值為y ，最大值為y ，則f（x） m恒成立 y m，f（x） m恒成立 y m，f（x）=m有解 m的取值范圍為z。例1.（1）對任意實數(shù)x，不等式 恒成立，則k的取

4、值范圍是 ；（2）對任意實數(shù)x，不等式 恒成立，則k的取值范圍是 ；（3）方程 有解，則k的取值范圍是 ；分析：記y= ，即y= 易得y =3，y =-3，z= ，故（1）所求k的取值范圍是k<-3（2）所求k的取值范圍是k 3，（3）所求k的取值范圍是-3 k 3例2.不等式 >b-1對xr恒成立，求證：a>b證明： 原不等式在 r恒成立，即在 r恒成立，即 在 r恒成立，記y=- ，顯然 ，故a-b>0，即a>b成立。例3.（1）關(guān)于x的方程 有解，求a的取值范圍；（2）關(guān)于x的方程 有解，求a的取值范圍.解析：（1）由原方程可得：a= ，記y= ，可求得其值

5、域z= ，于是a的取值范圍是 .（2）由原方程可得：-（4+a）= ，記y= ，易得y 4， -（4+a） 4，從而所求a的取值范圍是：a -8.例4.（1）若不等式 對 的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。（2）若不等式 對 的所有實數(shù)m都成立，求x的取值范圍。解析：記y= 1，則對（1）（2）均需且只需（1）此時1可視為關(guān)于x的二次函數(shù)，其圖像的對稱軸為x=m，當m<-3時，在 上，1為增函數(shù)，當x=-3時，y =10+8m，由10+8m>0，得 ，又 ，故這時m的取值范圍為 ；當 時，當x=m時， 得 ；當m>3時，在 上，1為減函數(shù)，當x=3時， ，由10-4m>

6、;0得m< ，又m>3，故這種情況下m的取值范圍為（2）把1整理為y=（2-2x）m+ ，m 2當x=1時2即y=2，m ，此時 成立，故x=1可??；當x不為1，2可視為關(guān)于m的一次函數(shù)，記g（m）=（2-2x）m+ ，m 上y=g（m）為單調(diào)函數(shù)，要g（m）>0在m 上恒成立，要且只要g（3）>0與g（-3）>0同時成立，即 解之得x>3+ ，或x<-3-綜上所得x=1或x>x>3+ ，或x<-3- 即為所求x的取值范圍例5.函數(shù)f（x）= 其中a>0，求a的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間0，+）上是單調(diào)函數(shù)。解析：設(shè) 則f（x ）-

7、f（x ）= = ，要使函數(shù)在區(qū)間0，+）上是單調(diào)函數(shù)，須且只需f（x ）-f（x ） 0對滿足 的 的任意值恒成立，或f（x ）-f（x ） 0對滿足 的 的任意值恒成立，又 <0，記y= 1則須且只需y a對滿足 的 的任意值恒成立。視1為關(guān)于 的二元函數(shù)，對 時，由 可得y的值域為（-，1），故只可能有y a對滿足 的 的任意值恒成立，這只要a 1即可。當a 1時，f（x ）-f（x ） 0對滿足 的 的任意值恒成立，f（x）在0，+）上是單調(diào)減函數(shù)。當a<1時，在0，+）上f（x）不可能是單調(diào)函數(shù)。故所求a的取值范圍是：a 1.由上述各例可看出，在不等式恒成立或方程有解時求參數(shù)取值范圍問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值問題。在分離變量的過程中，常采用移項或兩邊同除以某個式子，但是除之前一定要注意分析被除的符號，從而確定變形后不等號“保向”還是“反向”，求解思路自然，過程簡明。對思維過程從思想方法的高度進行提煉總結(jié)，有利于學生對函數(shù)思想意識的滲透。經(jīng)過多次提煉、總結(jié)即可強化函數(shù)思想應(yīng)用的意識，也使學生對應(yīng)用函數(shù)思想處理問題的具體操作方式得到深刻的理解。參考文獻：1. 數(shù)學思想方法在求參數(shù)取值范