靜電場中的導體與介質(zhì) 施衛(wèi)

1、基本內(nèi)容基本內(nèi)容 靜電場中的導體靜電場中的導體電容和電容器電容和電容器電介質(zhì)中的電場、高斯定理、電介質(zhì)中的電場、高斯定理、電位移矢量電位移矢量電場的能量電場的能量第九章第九章 靜電場中的導體和電介質(zhì)靜電場中的導體和電介質(zhì)9.1 靜電場中的導體靜電場中的導體一、導體的靜電平衡一、導體的靜電平衡 1、靜電感應(yīng)、靜電感應(yīng) 在靜電場力作用下，導體中電荷重新分布的現(xiàn)象。在靜電場力作用下，導體中電荷重新分布的現(xiàn)象。導體的靜電感應(yīng)過程導體的靜電感應(yīng)過程無外電場時無外電場時E外外加上外電場后加上外電場后E外外加上外電場后加上外電場后+E外外加上外電場后加上外電場后+加上外電場后加上外電場后E外外+加上外電場后

2、加上外電場后E外外+ 2、靜電平衡：、靜電平衡： 導體中的電荷宏觀定向移動終止，電荷分布不隨時導體中的電荷宏觀定向移動終止，電荷分布不隨時間變化，此時其即達到靜電平衡。間變化，此時其即達到靜電平衡。 3、導體的靜電平衡條件：導體的靜電平衡條件： 用場強描述用場強描述 、導體內(nèi)部任何一點場強為零（、導體內(nèi)部任何一點場強為零（E=0) 、導體表面任何一點場強方向垂直于導體表面、導體表面任何一點場強方向垂直于導體表面 用電勢描述用電勢描述 、導體是等勢體、導體是等勢體 、導體表面為等勢面、導體表面為等勢面 二、靜電平衡時導體上的電荷分布二、靜電平衡時導體上的電荷分布 1、實心導體帶有凈電荷、實心導體

3、帶有凈電荷q，那么這些電荷如何分布？，那么這些電荷如何分布？0E SS S0SSE 凈電荷分布在導體的表面凈電荷分布在導體的表面表面附近的電場強度與電荷密度成正比表面附近的電場強度與電荷密度成正比q0qnii E=000qnii1SqSdE 導體內(nèi)：導體內(nèi)：導體外：導體外： RQqr 定性規(guī)律：定性規(guī)律： 孤立導體表面上的面電荷密度孤立導體表面上的面電荷密度 e的大小與的大小與表面的曲率半徑表面的曲率半徑 有關(guān)。導體表面有關(guān)。導體表面 小的地方，電荷較密小的地方，電荷較密集，集， e較大；較大； 大大的地方，的地方， e較小。較小。2RR4RQ1rr4rq020020 2r4q1 2R4Q2

4、R4Qr4q00U rR21 2、若導體為導體殼時，電荷又是如何分布的呢？、若導體為導體殼時，電荷又是如何分布的呢？ （1）、腔內(nèi)無帶電體的情形）、腔內(nèi)無帶電體的情形+Q+ 靜電平衡時，導體內(nèi)表面沒有電荷，電荷只能分靜電平衡時，導體內(nèi)表面沒有電荷，電荷只能分布在外表面布在外表面 。空腔內(nèi)電場強度為零，電勢處處相等，?？涨粌?nèi)電場強度為零，電勢處處相等，但不一定為零。但不一定為零。S（2）、腔內(nèi)有帶電體的情形）、腔內(nèi)有帶電體的情形 靜電平衡時，導體內(nèi)表面分布的電荷與腔內(nèi)電荷的靜電平衡時，導體內(nèi)表面分布的電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和為零，凈電荷分布在外表面，其數(shù)值為導體所帶代數(shù)和為零，凈電荷分布在外表面，

5、其數(shù)值為導體所帶電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和。電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和。QqSQ+qq-q 例例1 已知兩金屬板帶電量分別為已知兩金屬板帶電量分別為q1、q2，求其表面的電，求其表面的電荷面密度荷面密度 1、 2、 3、 4。 一個接地的空心導體可以隔絕放在它的空腔內(nèi)的帶電一個接地的空心導體可以隔絕放在它的空腔內(nèi)的帶電體和外界帶電體之間的靜電作用，這就是體和外界帶電體之間的靜電作用，這就是靜電屏蔽原理靜電屏蔽原理。+-q1+ 2qq12143a1E2E3E4Eb4E3E2E1Ea點點:0040302012222 0040302012222 b點點:121qSS 243qSS 聯(lián)立可解得：聯(lián)立可解得：

6、S2qq32S2qq4121219.2電容、電容器電容、電容器一、孤立導體的電容一、孤立導體的電容 1、定義定義 使一孤立導體帶電使一孤立導體帶電q，它將具有一定的電位，它將具有一定的電位U，理，理論與實驗表明，隨著論與實驗表明，隨著q的增加，的增加，U將按比例增加，但它將按比例增加，但它們的比值為一定值，即們的比值為一定值，即 ：CUq 式中的式中的C是一個與導體的尺寸和形狀有關(guān)，而與是一個與導體的尺寸和形狀有關(guān)，而與q、U無關(guān)的常數(shù)，稱之為該孤立導體的電容。無關(guān)的常數(shù)，稱之為該孤立導體的電容。物理意義：物理意義： 使導體每升高單位電位所需的電量。使導體每升高單位電位所需的電量。2、單位單位

7、F（法）（法） FPF（106進位）進位）二、電容器及其電容二、電容器及其電容 1、電容器、電容器 電容器是用于存儲電荷或電能的裝置電容器是用于存儲電荷或電能的裝置 如果兩個導體的布置能使它們帶電時所帶電荷總是如果兩個導體的布置能使它們帶電時所帶電荷總是等值異號，那么這樣的導體組合就稱為電容器。每一個等值異號，那么這樣的導體組合就稱為電容器。每一個導體稱為電容器的一個極板，每一個極板上的電荷的絕導體稱為電容器的一個極板，每一個極板上的電荷的絕對值稱為電容器的電量。對值稱為電容器的電量。 常見的電容器有：常見的電容器有： 平行板電容器（忽略邊緣效應(yīng)）、平行板電容器（忽略邊緣效應(yīng)）、圓柱形電容器（

8、同軸柱形）、球面電容器等圓柱形電容器（同軸柱形）、球面電容器等 電容器的符號：電容器的符號：2、電容器的電容、電容器的電容 式中式中C是只與兩個極板的尺寸、形狀及其相對位置是只與兩個極板的尺寸、形狀及其相對位置有關(guān)，而與有關(guān)，而與q、 U無關(guān)的常數(shù)，稱之為電容器的電容。無關(guān)的常數(shù)，稱之為電容器的電容。 計算計算： 、求電場的分布（求、求電場的分布（求E） 、求兩極板間的電勢差（求、求兩極板間的電勢差（求 U） 、利用電容的定義式求電容（求、利用電容的定義式求電容（求C） 定義定義：理論與實驗表明，使電容器的電量：理論與實驗表明，使電容器的電量q增加，電增加，電容器兩個極板上的電勢差容器兩個極板

9、上的電勢差 U按比例增加，但其比值為一按比例增加，但其比值為一定值，即：定值，即：CUq 例例1已知平行板電容器的極板面積為已知平行板電容器的極板面積為S，板間距離為，板間距離為d，求此平行板電容器的電容（忽略邊緣效應(yīng)）。求此平行板電容器的電容（忽略邊緣效應(yīng)）。解：設(shè)電容器的帶電量為解：設(shè)電容器的帶電量為q，電荷面密度分別為，電荷面密度分別為+ 、- +- i1SqSdE0+-dS0qi E=0（ ） SSE010E 、求、求 UEdldEU 、求、求CdSdSUq00C 、求、求E例例2 如圖所示，同軸圓柱形內(nèi)外半徑分別為如圖所示，同軸圓柱形內(nèi)外半徑分別為R1、R2，長，長度為度為l，求此電

10、容器的電容（忽略邊緣效應(yīng)）。，求此電容器的電容（忽略邊緣效應(yīng)）。 解：設(shè)電容器的帶電量為解：設(shè)電容器的帶電量為q ，線電荷密度為，線電荷密度為 r2E0 、求、求 UdrldEU21021RRr2RR rh2EESSdES rSh00hi1q 120RR2ln 、求、求C121R2R02RR0lnlUqlnl2C R2R1 l、求、求E例例3如圖所示，同心球面形電容器的內(nèi)外半徑分別為如圖所示，同心球面形電容器的內(nèi)外半徑分別為R1、R2，求此電容器的電容，求此電容器的電容解：設(shè)電容器的帶電量為解：設(shè)電容器的帶電量為QrQR1R20Q2sr4ESdE 20r4QE 、求、求 U)(drldEU21

11、0212021R1R14QRRr4QRR 、求、求C1221RRRR0UQ4C 、求、求E例例4 兩根平行兩根平行“無限長無限長”均勻帶電直導線，相距均勻帶電直導線，相距d，導線，導線半徑都為半徑都為R（Rd），設(shè)導線上電荷密度分別為），設(shè)導線上電荷密度分別為+ 和和- ，試求該導體組單位長度的電容。試求該導體組單位長度的電容。解：解：、求、求EdR+ - xxRd-Rox20E )xd(2x200E 、求、求 Udx)(Uxd1RdRx120 )ln(lnRdRRRd20 RRdln0 、求求CUUqC RRd0RRdlnln0 先設(shè)先設(shè)q 再求再求C求求UCUq CUq 求求E先設(shè)先設(shè)q

12、再求再求C求求 U求求E孤立導體孤立導體:電容器電容器:9.3 電介質(zhì)電介質(zhì)一、電介質(zhì)的極化一、電介質(zhì)的極化 1、電介質(zhì)：（沒有或有極少量的自由電荷）、電介質(zhì)：（沒有或有極少量的自由電荷） 無極分子：分子正負電荷中心重合（無極分子：分子正負電荷中心重合（H2、CH4等）等） +CH+H+H+H甲烷分子甲烷分子正負電荷正負電荷中心重合中心重合HO+H+水分子水分子正電荷中心正電荷中心負電負電荷荷中心中心PePe分子電偶極矩分子電偶極矩有極分子：分子正負電荷中心不重合（有極分子：分子正負電荷中心不重合（H2O、HCl等）等） 2、電介質(zhì)的極化機理、電介質(zhì)的極化機理 、無極分子的位移極化、無極分子的

13、位移極化 無外電場時，分子正負電荷中心重合，整個介質(zhì)不無外電場時，分子正負電荷中心重合，整個介質(zhì)不帶電。帶電。 +fflpeE 加上外電場后，在電場作用下介質(zhì)分子正負電荷中加上外電場后，在電場作用下介質(zhì)分子正負電荷中心不再重合，出現(xiàn)誘導電偶極矩。心不再重合，出現(xiàn)誘導電偶極矩。 E外外+ + 由于誘導電偶極矩的出現(xiàn)，在介質(zhì)左右的兩個端面上由于誘導電偶極矩的出現(xiàn)，在介質(zhì)左右的兩個端面上出現(xiàn)極化電荷層。出現(xiàn)極化電荷層。 、有極分子的旋轉(zhuǎn)極化（取向極化）、有極分子的旋轉(zhuǎn)極化（取向極化） 無外電場時，有極分子的電偶極矩取向不同，整個無外電場時，有極分子的電偶極矩取向不同，整個介質(zhì)不帶電。介質(zhì)不帶電。+

14、有外電場時，有極分子的固有電偶極矩要受到一個力有外電場時，有極分子的固有電偶極矩要受到一個力矩作用。在此力矩作用下，使電偶極矩方向轉(zhuǎn)向和外電場矩作用。在此力矩作用下，使電偶極矩方向轉(zhuǎn)向和外電場方向接近。方向接近。 +peffEMp=eE 轉(zhuǎn)向后在介質(zhì)左右兩端界面上出現(xiàn)極化電荷。轉(zhuǎn)向后在介質(zhì)左右兩端界面上出現(xiàn)極化電荷。 E外外+二、電介質(zhì)中的電場二、電介質(zhì)中的電場（以平行板電容器為例）（以平行板電容器為例） 自由電荷的場強自由電荷的場強E0E介質(zhì)中的合場強介質(zhì)中的合場強極化電荷的場強極化電荷的場強EEEE0 EEE0 + E- 0E+0+-0E000E 0E 000EEE 實驗和理論都可得到：實

15、驗和理論都可得到：r0EE 0r11 r 真空真空空氣空氣1.0001橡膠橡膠玻璃玻璃純水純水變壓器油變壓器油3.56 8803其中其中 為此介質(zhì)的相對介電常數(shù)，是一個只與介質(zhì)為此介質(zhì)的相對介電常數(shù)，是一個只與介質(zhì)本身性質(zhì)有關(guān)的無量綱的量。本身性質(zhì)有關(guān)的無量綱的量。幾種介質(zhì)的相對介電常數(shù)幾種介質(zhì)的相對介電常數(shù) 0r令令（絕對介電常數(shù)）（絕對介電常數(shù)） 對于各向同性均勻的電介質(zhì)，各處的對于各向同性均勻的電介質(zhì)，各處的 相同，為一常相同，為一常數(shù)；各向同性不均勻的電介質(zhì)，各處數(shù)；各向同性不均勻的電介質(zhì)，各處 不相同。不相同。 r0EE 適用的條件：適用的條件： 各向同性的均勻電介質(zhì)充滿電場所在空間

16、各向同性的均勻電介質(zhì)充滿電場所在空間 對于各向異性的對于各向異性的電介質(zhì)，電介質(zhì)， 不再是為一普通的常數(shù)，不再是為一普通的常數(shù)，它是包括它是包括9個分量的張量。個分量的張量。dSC 即：即：dSdSUqr000C r0dEEdldEU 三、電介質(zhì)中的高斯定理三、電介質(zhì)中的高斯定理 以充滿介質(zhì)的平行板電容器為例以充滿介質(zhì)的平行板電容器為例r+ S00S1SdES10r0 S00r0qSSdEEEDr0 令令稱為電位移矢量稱為電位移矢量由高斯定理可得：由高斯定理可得：S 此即為介質(zhì)場中的高斯定理。它指出，此即為介質(zhì)場中的高斯定理。它指出，通過閉合曲通過閉合曲面的電位移通量，等于此閉合曲面內(nèi)所含的自

17、由電荷。面的電位移通量，等于此閉合曲面內(nèi)所含的自由電荷。 說明：說明：、 D是一個輔助量，方便應(yīng)用。是一個輔助量，方便應(yīng)用。 、 q0指曲面內(nèi)所包含的自由電荷，與極化電指曲面內(nèi)所包含的自由電荷，與極化電荷無關(guān)，荷無關(guān)，E是由空間所有的電荷產(chǎn)生。是由空間所有的電荷產(chǎn)生。四、電位移矢量與電場強度的比較四、電位移矢量與電場強度的比較 、E與與D的比較的比較 S0qSdD 點電荷的場強點電荷的場強真空中真空中介質(zhì)中介質(zhì)中20r4QE 20rr4QE 無限長帶電直線的場強無限長帶電直線的場強真空中真空中介質(zhì)中介質(zhì)中r20E r20rE 點電荷的電位移點電荷的電位移無限長帶電直線的電位移無限長帶電直線的電

18、位移真空中真空中介質(zhì)中介質(zhì)中r2D r2D 介質(zhì)中介質(zhì)中真空中真空中2r4QD 2r4QD 電場強度電場強度E在不同的介質(zhì)分界面上不連續(xù)，而電位移在不同的介質(zhì)分界面上不連續(xù)，而電位移矢量在不同的介質(zhì)分界面上具有連續(xù)性。矢量在不同的介質(zhì)分界面上具有連續(xù)性。 電力線（電力線（E 線）：線）：起源于正電荷起源于正電荷終止于負電荷終止于負電荷、電力線與電位移矢量線的比較、電力線與電位移矢量線的比較終止于負的自由電荷終止于負的自由電荷起源于正的自由電荷起源于正的自由電荷電位移線（電位移線（D 線）：線）：電位移通量：通過某一面積的電位移線的條數(shù)電位移通量：通過某一面積的電位移線的條數(shù)電通量：通過某一面積

19、的電力線的條數(shù)電通量：通過某一面積的電力線的條數(shù)、電通量與電位移通量的比較電通量與電位移通量的比較例例1如圖所示，如圖所示，無限大平板電容器，極板間充滿兩層各無限大平板電容器，極板間充滿兩層各向同性均勻電介質(zhì)。電介質(zhì)的界面都平行于電容器極板，向同性均勻電介質(zhì)。電介質(zhì)的界面都平行于電容器極板，兩層電介質(zhì)的相對介電常數(shù)各為兩層電介質(zhì)的相對介電常數(shù)各為 r1和和 r2，厚度分別為，厚度分別為d1和和d2。求此電容器的電容。求此電容器的電容。解：設(shè)極板的解：設(shè)極板的 自由電荷面密度為自由電荷面密度為 0E1E2D1D21011SSSDSdD1 01D 2022SSSDSdD2 02D DDD021 1

20、r001D1E 2r002D2E 1r + 02r - 0d1d2AB S2 S1、求、求E 、求、求 U 2211BAdEdEldEU )(2r21r100dd 、求、求CUSUq0C )(S2r21r1dd0 CUq 先設(shè)先設(shè)q 再求再求C求求 U求求E介質(zhì)存在時電容器電容的求解介質(zhì)存在時電容器電容的求解:求求D例例2 半徑分別為半徑分別為R1和和R3的同心導體組成的球形電容器，的同心導體組成的球形電容器，中間充滿相對中間充滿相對介電常數(shù)分別為介電常數(shù)分別為 r1和和 r2的兩層各向同性均的兩層各向同性均勻電介質(zhì)，它們的分界面為一半徑為勻電介質(zhì)，它們的分界面為一半徑為R2的同心球面。試求的

21、同心球面。試求此電容器的電容。此電容器的電容。解：解：、求、求E（先求（先求D）R1R2R3o r1 r2 設(shè)電容器帶電量為設(shè)電容器帶電量為q（使外（使外球殼帶負電）球殼帶負電）rqr4DSdD2S1 2r4qD 21r0r4q1E 22r0r4q2E 、求、求 U rdErdEldEU322131RR2RR1RR )()(322r211r0R1R11R1R114q 、求、求C)()(4Uq3R12R12r12R11R11r10C 9.4 電場的能量電場的能量 一、帶電電容器的能量一、帶電電容器的能量 t時刻，極板帶電量時刻，極板帶電量q(t)QQUUA+終終了了時時刻刻dqAuu+q任任一一

22、時時刻刻q) t (u) t (qUqC dqC) t (qdq) t (udW QC21CU21CQ21qdqC1W22Q0 充電過程中：充電過程中：0Q過程中：過程中： 由于由于 U=Ed 所以所以dSC VESdEW221221 DEE21221VWe dVEDdVdWWV21Ve 二、電場的能量二、電場的能量則能量密度則能量密度 e就為就為:ED21e V指此電場存在的所有空間指此電場存在的所有空間例例1有一有一無限大平板電容器，極板間充滿兩層各向同性無限大平板電容器，極板間充滿兩層各向同性均勻電介質(zhì)。電介質(zhì)的界面都平行于電容器極板，兩層電均勻電介質(zhì)。電介質(zhì)的界面都平行于電容器極板，兩層電介質(zhì)的相對介電常數(shù)各為介質(zhì)的相對介電常數(shù)各為 r1和和 r2，厚度分別為，厚度分別為d