導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系

1、導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系(1)靜電平衡條件下導(dǎo)體表面的電荷分布是一個(gè)復(fù)雜的靜電學(xué)問題。它不僅與導(dǎo)體表面的曲率有關(guān)。而且與導(dǎo)體本身的形狀、周圍導(dǎo)體和介質(zhì)的分布及帶電 狀態(tài)有關(guān)。一般情況下對(duì)孤立導(dǎo)體它也不是與曲率有簡(jiǎn)單正比關(guān)系。下面我們通過帶電旋轉(zhuǎn)橢球形導(dǎo)體的例子加以說明。橢球面的數(shù)學(xué)表達(dá)式是比較簡(jiǎn)單的，當(dāng)它的三個(gè)半軸相等時(shí)，它就變成球；細(xì)長(zhǎng) 的橢圓繞長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球就相當(dāng)丁細(xì)長(zhǎng)棒；細(xì)長(zhǎng)橢圓繞短鈾旋轉(zhuǎn)時(shí)形成的橢 球就相當(dāng)丁平板，因此研究橢球帶電的電荷分布，有較普遍的意義。無論什么形狀的導(dǎo)體決定電荷平衡分布的唯一條件是導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)必須 為零。凡是能滿足這個(gè)條件的分布，便是實(shí)際存在

2、的分布。根據(jù)這個(gè)條件，以及 靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)求解橢球上的電荷分布， 是一個(gè)典型的電磁學(xué)問題要用到較復(fù) 雜的數(shù)學(xué)工具，本書不嚴(yán)格處理這一問題。這里用一個(gè)不夠嚴(yán)格的方法導(dǎo)出其結(jié) 果。假?zèng)]我們考慮的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球如圖 9.8所示，它有兩個(gè)焦點(diǎn) O和Q。表面 電荷的分布使橢球內(nèi)任一點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為零。 一般說來，這是表面所有的電荷綜合 抵消的結(jié)果。但是對(duì)丁焦點(diǎn) O和Q,很巧，這種抵消是一對(duì)一的。 過焦點(diǎn)O 作一個(gè)小立體角，它在橢球表面上切出兩塊表面 dS和dS2,嚴(yán)格的理論證明， dS上的電荷在 O產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與 O上的電荷在 O產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)恰恰抵消，因此 整個(gè)橢球面上的電荷在 O產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)之和為零。循著這一

3、途徑，便可找出表面 電荷分布的規(guī)律。設(shè)dS處電荷密度為 g ,距O的距離為ri , dS上的電量dqi = dS”，這 部分電荷在 O產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dEi應(yīng)為：d阡上.零 4嗎 4而dS = d S/cos ai 。 a 1是ri與dS2表面法線ni問的火角。同時(shí)類=f , d Qi是dSi對(duì)O所張的立體角。因此有：= -峋4跟荀 cos用同樣的方法，可以得到dS2在O產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)d巳為:場(chǎng)= 峋4陌與。$輪a 2是dL與dS2表面法線n2間的火角。dS2對(duì)O所張的立體角仍然由丁在焦點(diǎn)上對(duì)應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)相互抵消，故有 dEi = d日，從而得到:%電*電，也就是說：° m這就是橢球表面電荷

4、分布的具體規(guī)律。 運(yùn)用微積分和基本的欠量分析，由焦點(diǎn)為 原點(diǎn)的橢圓方程：r=-l + 5cosp+ 2t5cos這里P是焦點(diǎn)參數(shù)，a是橢圓偏心率?？梢郧蟪鰎, 4處的cos a為：從而可以求出任何兩點(diǎn)（即4 1和4 2 ）的表面電荷密度之比。圖9.9中，如在橢圓最尖銳的一端 A, 4 A = 0, cos a A = 1。在最平的一點(diǎn)B,''，可見叫血掰。而在a與B之間的其它的點(diǎn)，cos a的值介丁 1與據(jù)薩之間，電荷的面密度是逐漸由1向 部-尹過渡的。當(dāng)a趨向丁 1,橢球逐漸向細(xì)長(zhǎng)桿過渡；當(dāng) a很接近丁 1時(shí)，焦點(diǎn)O和Q趨向兩瑞，橢球上很大一部分面積的2 ,因而cos 0,故

5、電荷分布集中丁桿的兩端很小的區(qū)域內(nèi)， 桿身絕大部分基本上沒有電荷分布。搞活楚了橢球上電荷分布的具體規(guī)律以后， 再來看面電荷密度與表面曲率的關(guān)系。定性地看一下，可以說，表面曲率大 -： 的地方，a角小，cos a的值大；表面曲率小的地方，a角， 大，cos a的值小。因此曲率大的地方電荷密度大丁曲率小歹二 二的地方，這是正確的。但 b是不是一定與表面曲率 K成，'正比呢？這就要用數(shù)學(xué)方法把橢圓各處的曲率求出來。按平面曲線曲率的定義：da cos odcr K =-=dJ rddl是橢圓上的一段弧長(zhǎng)，經(jīng)過計(jì)算可知 K并不簡(jiǎn)單地與cos a成正比，因此， a也不是簡(jiǎn)單地與 K成正比，它們之間

6、是一個(gè)很復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系。曲率大的地 方電荷密度大只能說是一個(gè)大致的、 定性的規(guī)律，不能簡(jiǎn)單地依據(jù)兩處的曲率來 比較它們的電荷密度。(2)狐立導(dǎo)體表面能否出現(xiàn)電荷異號(hào)面一個(gè)孤立導(dǎo)體的表面會(huì)不會(huì)出現(xiàn)異號(hào)的 面電荷分布呢？例如，如圖9.10所示導(dǎo)體中凹陷進(jìn)去的地方的曲率為負(fù)值，會(huì) 不會(huì)出現(xiàn)異號(hào)面荷分布。結(jié)論是不可能。對(duì)此可以借助電力線用反證法證明。 設(shè) 圖中導(dǎo)體帶有凈正電荷，假如在凹陷處出現(xiàn)負(fù)面電荷分布，則該處要會(huì)聚電力線。 會(huì)聚丁凹陷處的電力線只有兩個(gè)可能的來源： 一種可能是來自無窮遠(yuǎn)處，一種可 能來自導(dǎo)體上的正電荷。假設(shè)無窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)點(diǎn)，對(duì)來自無窮遠(yuǎn)處的電力線， 則沿此電力線求場(chǎng)強(qiáng)的線積分會(huì)得出導(dǎo)體的電勢(shì)是負(fù)值，這與沿導(dǎo)體表面帶正電處發(fā)出的電力線到無窮遠(yuǎn)處的線積分應(yīng)得導(dǎo)體的電勢(shì)是正值的結(jié)論產(chǎn)生矛