導函數(shù)大題類型總結(完整版)(共11頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上【對分類討論的考查】【例1】（2010西城一模）設且0，函數(shù).（1）當時，求曲線在（3，）處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極值點?！究偨Y】解決這類問題，我們應該注意以下幾點：（1） 函數(shù)的定義域；（2） 當對原函數(shù)求導時，如果導函數(shù)化簡完以后時一個二次函數(shù)且為形如或時，這時一般地就是用“十字交叉”法把導函數(shù)等于零的根求出來（偶爾不能利用十字交叉求出這個二次函數(shù)的根，這時只能利用二次函數(shù)的對稱軸或者求根公式把這個方程的根求出來（詳見2011海淀二模文科試題）；（注：形如形式的導函數(shù)，一般的采用變量分類的方法去處理，如2011石景山一模）（3） 因為我們所要討論的極值問題，極

2、值點問題，函數(shù)的單調性問題都是在函數(shù)的定義域里面討論的，所以這時要分類討論導函數(shù)等于零的根在不在這個定義域內，如果在定義域內，那么解出來的這個方程的兩個根那個大，那個小，這時就要分類討論。（4） 分類討論時，第一步應該先把函數(shù)的定義域標在數(shù)軸上，然后把導函數(shù)等于零的根標在數(shù)軸上，然后再討論兩個根那個大，那個小，在不在區(qū)間里面等等。變式與拓展：【1】 (2011北京豐臺第一學期期末文)已知函數(shù)（）若曲線在點處的切線與x軸平行，求a的值；（）求函數(shù)的極值【2】（2010北京考試院調研試題文）設，函數(shù) （）若，求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)在上的最小值.【3】（2010北京宣武一模文）已知函數(shù)

3、（I）若x=1為的極值點，求a的值； （II）若的圖象在點（1，）處的切線方程為，求在區(qū)間-2，4上的最大值； （III）當時，若在區(qū)間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍.【例2】w（2011西城一模）已知函數(shù).（）求函數(shù)的極值點；（）若直線過點，并且與曲線相切，求直線的方程；（）設函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）【總結】解決這類問題，就是首先求函數(shù)導函數(shù)等于零的值，然后再把函數(shù)的定義域畫在數(shù)軸上，然后分別得討論導數(shù)等于的自變量在各個小區(qū)間上的最值即可。變式與拓展：【1】（2011北京朝陽一模）已知函數(shù)，.（）若曲線在點處的切線垂直于直線，求的值；（）求函數(shù)在區(qū)間

4、上的最小值.【2】（2011北京文）已知函數(shù).（）求的單調區(qū)間；（）求在區(qū)間0,1上的最小值.【3】（2011北京東城二模文）已知函數(shù)()（）若，求證：在上是增函數(shù)； （）求在上的最小值?！纠?】（2011海淀二模文）已知函數(shù) （I）若，求函數(shù)的解析式； （II）若，且在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍. 【總結】解決這類問題一般的有如下兩種方法：第一， 求函數(shù)的導函數(shù)得對稱軸，然后再讓對稱軸和函數(shù)的區(qū)間的左右端點處比較大小，然后分別求出函數(shù)的導函數(shù)在每一小區(qū)間上的最值；第二， 首先判斷導函數(shù)的判別式，然后再用求根公式求出導函數(shù)的兩個根（有時候不一定是兩個根），然后再讓這兩個根和區(qū)間的兩個端點

5、處比，然后再求出導函數(shù)的最值即可。變式與拓展：【1】（2010北京海淀二模理）已知函數(shù)，其中a為常數(shù)，且.（）若，求函數(shù)的極值點；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍.【對變量分類法的考查】（參數(shù)分離）【例4】（2011石景山一模）已知函數(shù)（）若的解析式；（）若函數(shù)在其定義域內為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍【總結】解決這類問題，就是想辦法把含有參數(shù)的變量移到不等式的一邊去，然后再利用均值不等式或者新構造一個函數(shù)，然后再求這個函數(shù)的最值即可。同時要注意運用均值不等式的條件：一正，二定，三相等。變式與拓展：【1】（2011東城第一學期期末文）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值；（）若對于任意

6、，恒成立，求的取值范圍【文科生選做】（2011東城第一學期期末理）已知函數(shù)（）求函數(shù)在上的最小值；（）若存在（為自然對數(shù)的底數(shù)，且）使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍【2】（2010北京東城二模文）已知函數(shù)（）若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍；（）設（），求證：(注：此題第一學期期末以前只做第一問)【3】（2010北京宣武二模文）已知函數(shù)（）當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（）若在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍變式與拓展：【對函數(shù)在某個區(qū)間上是不是單調函數(shù)的考查】【例5】（2011東城一模）已知函數(shù)，且（）求的值；（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）設函數(shù)，若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍【例6】

7、(2011清華附中高三第二學期開學考試題)（2009浙江）已知函數(shù) （I）若函數(shù)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值； （II）若函數(shù)在區(qū)間上不單調，求的取值范圍【總結】解決這類單調還是不單調的問題，我們一般的有如下三種方法：第一：如果這個函數(shù)在某一個區(qū)間上為單調增函數(shù)，就是求這個函數(shù)的導函數(shù)在這個區(qū)間上得最小值，然后再讓最小值大于零即可，反之亦然；第二：若一個函數(shù)在區(qū)間上不單調，但是這個導函數(shù)等于零的根很容易求解，那么只需這個根的落在區(qū)間內即可；第三：若一個函數(shù)在區(qū)間上不單調，但是這個導函數(shù)等于零的根很不容易求解，那么這時只能利用函數(shù)的零點定理求解。變式與拓展：【1】（2010北京宣

8、武一模文）已知函數(shù) （I）若x=1為的極值點，求a的值； （II）若的圖象在點（1，）處的切線方程為，求在區(qū)間-2，4上的最大值； （III）當時，若在區(qū)間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍.【2】(2011昌平二模理)已知函數(shù)（）.（）求函數(shù)的單調區(qū)間;(）函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為若函數(shù)，在區(qū)間（1，3）上不是單調函數(shù)，求 的取值范圍。(2011北京東城普通校第一次聯(lián)考)已知函數(shù)，（）討論函數(shù)的單調區(qū)間；（）設函數(shù)在區(qū)間內是減函數(shù)，求的取值范圍【對恒成立問題的考查】【對形如型問題恒成立的考查】【例7】（2010崇文一模文）已知函數(shù)（）（）求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（）當時，若對有恒成立，求

9、實數(shù)的取值范圍【總結】求解關于這類問題，就是求函數(shù)在區(qū)間上得最大值即可，最大值都小于等于,則對于任意的，則都有。變式與拓展：【1】 （2010北京順義一模）已知函數(shù),在時取得極值.（1）求的值及的單調區(qū)間;（2）若對任意，恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【2】（2010北京崇文二模文）已知函數(shù)在與處都取得極值（）求的值及函數(shù)的單調區(qū)間；（）若對，不等式恒成立，求的取值范圍.【對形如型問題恒成立的考查】【例8】（2011清華附中高三模擬）已知，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍?！究偨Y】解決這類問題，就是構造新函數(shù)，這時只需求函數(shù)的最大值，讓最大值即可。也就是想辦法把問題轉化為這種情況?！纠?】（2011

10、東城第一學期期末文）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值；（）若對于任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍【總結】解決這類在區(qū)間恒成立問題，首先觀察在區(qū)間上是否恒為正或者恒為負，想辦法把除過去，即變?yōu)椋ㄗ⒁猓哼@時要大于零，否則變?yōu)椋?，然后把轉化為求函數(shù)，然后再求函數(shù)的最大值即可。在一般情況下，求的最值有兩種方法：第一，就是利用均值不等式法；第二，就是利用求導函數(shù)的方法。變式與拓展：【1】(福建省三明市2011年高三三校聯(lián)考文科)已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）若不等式在區(qū)間（0,+上恒成立，求的取值范圍；【2】(天津十二區(qū)縣重點中學2010年高三聯(lián)考一理)設函數(shù)，其中 （）若，求曲線在點處的

11、切線方程； （）是否存在負數(shù)，使對一切正數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。（文科生選做）（2011天津市河西區(qū)一模文）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù),其中.設兩曲線,有公共點,且在該點處的切線相同.（I）用表示,并求的最大值；（II）求證: .【2】（2010北京延慶一模）已知函數(shù). （）若函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；（）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；【對形如型恒成立問題的考查】【例10】（2011西城第一學期期末）已知函數(shù).()若，求曲線在處切線的斜率；()求的單調區(qū)間；（）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.【總結】求解形如這類問題

12、，就是求出函數(shù)在區(qū)間上得最大值，再求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，然后這個最大值小于這個最大值即可。變式與拓展：【1】（2011東城一模理）已知函數(shù)（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（）證明：對任意，都有成立【對形如型函數(shù)的考查】(2009江蘇揚州第一學期期末)若函數(shù)滿足：對于任意的都有恒成立，則的取值范圍是 【總結】解決這類問題就是求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，然后再讓最大值減去最小值即可。變式與拓展：（2010北京石景山一模）已知函數(shù)，在點處的切線方程為（）求函數(shù)的解析式；（）若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，求實數(shù)的最小值；（）若過點 ，可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍【對形如型恒成立問

13、題的考查】（2009遼寧）已知函數(shù)（）討論函數(shù)的單調性；（）證明：若，則對任意x，x，xx，有?！究偨Y】解決形如型的問題，一般的我們通過如下方法來解決：不妨假設，則原不等式可以轉化為，即，即證為增函數(shù)即可。變式與拓展：（四川省雅安市2010屆高三第三次診斷性考試理科）給出下列四個函數(shù)：；其中滿足：“對任意，都有”的函數(shù)序號是 。（湖南省長沙等四縣市2011年3月高三調研理科）已知函數(shù)，為正常數(shù)（1）若，且，求函數(shù)的單調增區(qū)間；（2）若，且對任意，都有，求的的取值范圍（2011北京東城普通校第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，（）若是函數(shù)的一個極值點，求；（）討論函數(shù)的單調區(qū)間；（）若對于任意的，不等式在上恒

14、成立，求的取值范圍.【對存在性問題的考查】【例11】（2011海淀一模）已知函數(shù)，（）若，求函數(shù)的極值；（）設函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間；()若在（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍.思考：若在（）上對于任意的一點，使得恒成立，求的取值范圍.（如何求解）【總結】求解這類存在性問題，其實是和“對于任意的一點，使得恒成立，就是求的最大值”正好相反，這時就是求函數(shù)的最小值。變式與拓展：【1】（2010北京西城一模）已知函數(shù)其中。（1）若函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；并確定此時是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，請說明理由?！?】（2010朝陽一模）已知函數(shù)

15、，（）若函數(shù)在處取得極值，試求的值，并求在點處的切線方程；（）設，若函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，求的取值范圍【3】（2011東城第一學期期末理）已知函數(shù)（）求函數(shù)在上的最小值；（）若存在（為自然對數(shù)的底數(shù)，且）使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍【4】(2010浙江杭州第一次質檢)已知函數(shù).（I）若函數(shù)在點處的切線斜率為4，求實數(shù)的值；（II）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍?！緦τ袥]有極值的考查】【例12】（2010北京文）設定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4。（）當a=3且曲線過原點時，求的解析式；（）若在無極值點，求a的取值范圍?！究偨Y】處理這類問題，一般的我們有兩種方法。第一種，如果函

16、數(shù)的定義域是，則只需讓函數(shù)的導函數(shù)的（如果這個函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)的話）；第二種，如果函數(shù)的定義域是，只需利用函數(shù)的零點定理求解即可。變式與拓展：【1】(2011昌平二模文)設函數(shù)（）若函數(shù)在處取得極小值是，求的值; （）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;（）若函數(shù)在上有且只有一個極值點, 求實數(shù)的取值范圍. 【2】（2007山東）設函數(shù)，其中證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值【對函數(shù)零點個數(shù)的考查】【例13】（2010北京密云一模文）函數(shù)，當時，函數(shù)有極值為，（）求函數(shù)的解析式；（）若有3個解，求的取值范圍。【總結】解決這類問題，一般的分為兩種情況：第一種，當函數(shù)的定

17、義域為時，就是求出函數(shù)的極大值和極小值，然后當實數(shù)在極大值和極小值之間時，方程有三個解；當為函數(shù)的極大值或者極小值時，方程正好有兩個解；當小于函數(shù)的極小值或大于函數(shù)的極大值時，方程正好有一個解；第二種，當函數(shù)的定義域為時，解決這類問題一般的都需要分類討論，甚至有的時候還需要用到函數(shù)的零點定理去求解。變式與拓展：【1】(江西省九校2011年高三聯(lián)合考試文科)函數(shù)若函數(shù)上有3個零點，則m的取值范圍為（ ）A（-24,8） B（-24,1 C1,8 D1,8）（注：理科生做）若函數(shù)在區(qū)間1，1上沒有零點，則函數(shù)的遞減區(qū)間是 ?！?】（2010北京密云一模）已知是函數(shù)的一個極值點.（）求；（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若直