17-18版第3章第13課一元二次不等式及其解法

1、第13課一元二次不等式及其解法最新考綱內(nèi)容要求ABC一元二次不等式V抓基礎(chǔ)*自主學(xué)習(xí)|知識栓理元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式= b2 4ac40= 0A0)的圖象Vo 一兀二次方程ax2+ bx+ c=0(a0)的根有兩相異實根xi, X2(X10(a0)的解集xxxgWXiiR2ax + bx+ c0)的解集x|Xl0 一定是一元二次不等式.()x 2不等式- 0? (x 2)(x+ 1)0 的解集是(X,xi)u(x2,+)，則方程 ax2+ bx+ c= 0 的兩 個根是xi和 x2.()不等式 ax2+ bx+ c 0 在 R 上恒成立的條件是 a0 且= b2

2、 4ac0 的解集為_.(用區(qū)間表示)(4,1)由一 x2 3x+ 40 得 x2+ 3x 40，解得一 4x1.3.(教材改編)若關(guān)于 x 的方程 x2+ ax+ a2 1= 0 有一正根和一負根，則 a 的取值范圍為(1,1)令 f(x) = x2+ ax+ a2 1,由題意可知 f(0) = a21 1,x2 x 1 (a+ 1)(a 2)對任意 x 恒成立,513所以一 4a a 2,解得一 1= awq.a0 的解集是bx 1 = 0 的兩個實數(shù)根.a= 6,22X 5.由x-5x+ 60 得2x3.即不等式xbxa0 的解集為(2,3).即1a1 對任意實數(shù) x 恒成立,x2x1二

3、xy-44,12,5. (2017 宿遷模擬)已知不等式 ax2 bx 10 的解集是；則不等式 x2 bx(2,3)由不等式 ax2 bx 10 的解集為| 2,1可知,a 0;(2) x2- (a+ 1)x+ a0.解原不等式化為 x2-2x-30,即(x 3)(x+ 1) 0,故所求不等式的解集為x|-Kx 3.(2) 原不等式可化為(x- a)(x- 1)1 時，原不等式的解集為(1, a)；當(dāng) a= 1 時，原不等式的解集為?;當(dāng) a1 時，原不等式的解集為(a,1).遷移探究將(2)中不等式改為 ax2- (a+ 1)x+ 10,求不等式的解集.解若 a= 0,原不等式等價于x+

4、11.若 a0,1解得 x1.若 a0,原不等式等價于 ix-1(x- 1)0.1 f 1、1當(dāng) a=1 時，a= 1, x-a (x- 1)1 時，a1，解 x-a (x- 1)o 得 ax1 ；1 1、 13當(dāng) oa1 時，評，解 ix-a (x- 1)o 得 1xa.綜上所述：當(dāng) a0 時，解集為 ix x1 r；r1當(dāng) a = 0 時，解集為x|x1;當(dāng) 0a1 時，解集為cx 1x1 時，解集為 ix x0.若A 1 時，不等式無解.當(dāng) kv0 時，若A4 4k20,即1vkv0 時,xv1+廠或 x1k1-若Av0,即 kv 1 時，不等式的解集為 R;若A=0,即 k= 1 時，

5、不等式的解為XM1.綜上所述，k 1 時，不等式的解集為?;0vkv1 時，不等式的解集為vxvk= 0 時，不等式的解集為x|x0; 當(dāng)一 1vkv0 時，不等式的解集為k= 1 時，不等式的解集為X|XM1；kv 1 時，不等式的解集為 R.IL 考向習(xí)_UHJ 元二次不等式恒成立問題?角度 1 形如 f(x) 0(x R)求參數(shù)的范圍不等式(a 2)x2+ 2(a 2)x 40 時，若= 4 4k20,即 0vkv1 時，不等式的解為xv1 + .、1 k2k1+1k或 x(2,2當(dāng) a2 =0,即 a=2 時，不等式即為一 40(x a, b)求參數(shù)的范圍2設(shè)函數(shù) f(x) = mx

6、mx 1.若對于 x 1,3, f(x) m+ 5 恒成立，求 m 的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號：62172075】解要使 f(x)0 時，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)max=g(3)?7m60，所以 m7，所以 0m6；當(dāng) m= 0 時，一 60 恒成立；當(dāng) m0 時，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以 g(x)max= g(1)? m60，所以 m6，所以 m0.r乓綜上所述：m 的取值范圍是cm m0，26 又因為 m(x x+ 1) 60，所以 mvp.x x+ 1因為函數(shù) y=x26x+1= . 3 在1,3上的最小值為 7,所以只需 m6 即可. X Xx2!+4r所以 m 的取

7、值范圍是 F m0(參數(shù) m a, b)求 x 的范圍對任意的 k 1,1，函數(shù) f(x) = x2+ (k 4)x+4 2k 的值恒大于零，則 x 的取當(dāng) aM 2 時，則有乩+ 16a 20,a2,一 2a2-2a2.1,3上恒成立.3-41-2值范圍是_:2x|x3 x + (k 4)x+ 4 2k0 恒成立,即 g(k) = (x 2)k+ (x2 4x+4)0,在 k 1,1時恒成立.2X2 5x+ 60,即，2iX 3x+ 20,解得 x3.規(guī)律方法1解決恒成立問題一定要搞清誰是主元， 誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍, 誰就是主兀，求誰的范圍，誰就是參數(shù).2.對于一元二次不等式恒成

8、立問題， 恒大于 0 就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間 上全部在 x 軸上方，恒小于 0 就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在 x 軸下方， 另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.名師微博思想與方法只需 g( 1)0 且 g(1)0,1.不等式 ax2+ bx+ c0 對任意實數(shù) x 恒成立？不等式 ax2+ bx+ c0 對任意實數(shù) x 恒成立？Jb = 0,&0,或a0 時的情形.般可把 a0,求解時不要忘記討論 a= 0 時的情形. 當(dāng)A0（aM0）的解集為 R 還是？，要注意區(qū)別.2.3.4.含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論.不同參數(shù)范圍的

9、解集切莫取并集，應(yīng)分類表述.課時分層訓(xùn)練（A 組基礎(chǔ)達標(biāo)（建議用時：30 分鐘）一、填空題1.不等式2x2+ x+ 10 的解集為1 2x2+ x+ 10,即2 x 10, (2x+ 1)(x 1)0，解得一|x1,A不等式2,12 .若集合 A=x|ax2 ax+ 10 的解集為a|00,2iA=a4a0,得 0aW4,所以 Owa4.ax_ 13 .已知關(guān)于 x 的不等式門 1的解集疋x x g,則實數(shù) a=ax_ 1i2 不等式I10 等價于(ax_ 1)(x+ 1)0,由題意可知 x= 1 及 x= 1 2是方程(ax_1 11)(x+ 1) = 0 的兩個實數(shù)根， a=_2，即卩 a

10、= 2.2 24. 若關(guān)于 x 的不等式 x 2ax_8a 0)的解集為(x1,X2),且 X2 X1= 15,則 a=_5222 由 x 2ax 8a 0,得(x+ 2a)(x4a)0,所以不等式的解集為(2a,4a),即 X2= 4a, X1= 2a,由 X2 15,5得 4a (2a) = 15,解得 a=5._ 不等式 x3_2x+ 5a2 3a 對任意實數(shù) x 恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍為_ .1,4令 f(x)= x2 2x+ 5,貝Uf(x)= (x 1)2+ 44,由a3aw4 得一 1waW4.6._若不等式 mx2+2mx+ 10 的解集為 R,則 m 的取值范圍是_.

11、0,1)當(dāng) m= 0 時，10 顯然成立；m0,當(dāng) m 0 時，由條件知2得 0m1,上=4m 4m0,(0,1)U(4,+ %)由 f(log2x)f(2)可得2(log2X) + 2log2X 4 + 4,- log2x(2 log2x)2 或 log2x4 或 0 x1,即不等式 f(log2X)20,集是_.【導(dǎo)學(xué)號：62172077】由知 owm1.7.(2016 蘇北四市摸底考試)已知函數(shù) f(x)二X2+ 2x，則不等式 f(log2X)0 的解集為 x 1,4.1不等式 f(e)0 可化為1ex3.4解得 xln 3, x0 的解集為x|x0 恒成立，則 b 的取值范圍是_.b

12、2 由 f(1 x) = f(1 + x)知 f(x)圖象的對稱軸為直線 x= 1,則有|= 1,故 a = 2.由 f(x)的圖象可知 f(x)在1,1上為增函數(shù).-4,2x i或*x0,(x 1 律1,解得-4 x 0 或0 x 2,故不等式 f(x)一 1 的解集是4,2.9已知一元二次不等式 f(x)0 的解集為 lx x”，則 f(ex)0 的解集為12x|x ln 3設(shè)1 和 3 是方程 x + ax+ b = 0 的兩個實數(shù)根， 1 1 b= 3= 3.一元二次不等f(x)0 的解集為収 x3 pf(x)= - j#+* - 3 =1x2-3x+3f(1 x)f(1求 a 的取值

13、范圍;若函數(shù) f(x)的最小值為解關(guān)于 x 的不等式 x2x a2 a 0 恒成立.1當(dāng) a= 0 時，符合題意，2當(dāng) a 0 時，只需a0,2即 0aw1.上=4a 4a 2,a1,當(dāng) a2 a,即 a1 時，N = x|ax2 a,a5，1 1 則 a 才，即 a 2,當(dāng) a=2 a, 即卩 a= 1 時，N= ?，不合題意.綜上可得a9.B 組能力提升(建議用時：15 分鐘)(X, 2)不等式 x2 4x 2 a0 在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于 a(x2 4x 2)max,令 g(x)2=x 4x 2, x (1,4),. g(x)vg(4)= 2, /a 2.X-2)-4.2-a-1,

14、9即 a、m0 在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實數(shù) a 的取值范圍是6 在 R 上定義運算：x*y=x(1 y),若不等式(x y)*(x+y)1 對一切實數(shù) x 恒成立，則 實數(shù) y的取值范圍是_.fi 3、2，2由題意知(x y)*(x+ y) = (xy) 1 (x+y)1 對一切實數(shù) x 恒成立，所以一 x2+ x + y2 y 10 對于 x R 恒成立.故= 12 4X( 1)X(y2 y 1)0,13所以 4y2 4y 30,解得2y0 的解集為x|x2 或 x0 恒成立，求 x 的取值范圍.解(1)因為不等式 f(x)0 的解集為x|x2 或 x2 或 x0)的最小值； 入對于任意的 x 0,2,不等式 f(x)0,所以 x+丄2,x當(dāng)且僅當(dāng) x=，即 x= 1 時，等號成立，x所以 y一 2.所以當(dāng) x= 1 時，y=也的最小值為一 2.x2因為 f(x) a = x 2ax 1,所以要使得“？x 0,2，不等式 f(x)a 成立”只要“xI 2 3 2ax 1 0 在0,2上恒成立不妨設(shè) g(x) = x2 2ax 1,則只要 g(x) 0,解得 b2.二、解答題11.已知函數(shù) f(x) ax2+