自動(dòng)控制 控制系統(tǒng)時(shí)域分析

1、第三章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析o 時(shí)域性能指標(biāo)o 一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)o 二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)o 高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)o 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性o 控制系統(tǒng)誤差分析3.1 典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)代表輸入量有一突然變化，如突然加入或突然停止。 000ttatxia=1時(shí)稱為時(shí)稱為單位階躍函數(shù)。單位階躍函數(shù)。輸入量等速度變化。 000ttattxia=1時(shí)稱為時(shí)稱為單位斜坡函數(shù)。單位斜坡函數(shù)。輸入量等加速變化。 000212ttattxi 0000, 000lim0ttttttatxti t系統(tǒng)輸入為單位脈沖時(shí)的輸出響應(yīng)，記為： tg任一時(shí)間函數(shù)信號(hào)可分解為一系列脈沖信任一時(shí)間函數(shù)信號(hào)可分解

2、為一系列脈沖信號(hào)的疊加。號(hào)的疊加。系統(tǒng)對(duì)任一時(shí)間函數(shù)信號(hào)輸入的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任一時(shí)間函數(shù)信號(hào)輸入的響應(yīng)=這一系列脈沖信號(hào)各個(gè)單獨(dú)作這一系列脈沖信號(hào)各個(gè)單獨(dú)作用下系統(tǒng)響應(yīng)的疊加。用下系統(tǒng)響應(yīng)的疊加。 tnkkkndtgxtgxty010lim3.1 典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo) 000sintttatxi控制系統(tǒng)為輸入量隨時(shí)間逐漸變化的函數(shù)時(shí)，選擇斜坡信號(hào)較為合適。如機(jī)床、雷達(dá)天線、火炮、控溫裝置等；控制系統(tǒng)輸入量是沖擊量時(shí)，選擇脈沖信號(hào)較為合適；控制系統(tǒng)的輸入量是隨時(shí)間變化而往復(fù)變化的，選擇正弦信號(hào)。如機(jī)床振動(dòng)研究；控制系統(tǒng)的輸入量是突然變化的，選擇階躍信號(hào)；時(shí)域性能指標(biāo)往往選擇階

3、躍信號(hào)作為輸入來定義。3.1 典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下，輸出量從初始狀態(tài)過的過渡到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程，也稱為。信號(hào)輸入后，系統(tǒng)在時(shí)間趨向于無窮大時(shí)的輸出狀態(tài)。也稱為。3.1 典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)二、過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程二、過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)定系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的兩種類型穩(wěn)定系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的兩種類型3.1 典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)三、時(shí)域性能指標(biāo)三、時(shí)域性能指標(biāo)1. 動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能1. 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)（4）最大超調(diào)量）最大超調(diào)量%：階躍輸入時(shí)，響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分?jǐn)?shù)表示。 %10

4、0%oopoxxtx峰值穩(wěn)態(tài)值延遲時(shí)間 td（1）延遲時(shí)間）延遲時(shí)間td ：階躍響應(yīng)第一次從零上升到穩(wěn)態(tài)值50%所需要的時(shí)間。上升時(shí)間 tr（2）上升時(shí)間）上升時(shí)間tr：階躍響應(yīng)從零時(shí)刻首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間。峰值時(shí)間 tp（3）峰值時(shí)間）峰值時(shí)間tp ：階躍響應(yīng)從零時(shí)刻到達(dá)峰值的時(shí)間。（6）振蕩次數(shù)）振蕩次數(shù)N：調(diào)整時(shí)間內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。（5）調(diào)節(jié)時(shí)間）調(diào)節(jié)時(shí)間ts ：階躍響應(yīng)達(dá)到并一直保持在允許誤差帶5%Xo()內(nèi)的最短時(shí)間。 sooottxxtx%調(diào)節(jié)時(shí)間 ts峰值穩(wěn)態(tài)值延遲時(shí)間 td上升時(shí)間 tr峰值時(shí)間 tp1. 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)無超調(diào)情況下的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)無超調(diào)情況下的動(dòng)態(tài)

5、性能指標(biāo)上升時(shí)間：上升時(shí)間：階躍響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間。1. 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)3.1 典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)典型輸入信號(hào)和性能指標(biāo)三、時(shí)域性能指標(biāo)三、時(shí)域性能指標(biāo)2. 穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差：時(shí)間趨向于無窮時(shí)系統(tǒng)實(shí)際輸出與理想輸出之間的誤差，是衡量系統(tǒng)控制準(zhǔn)確度（穩(wěn)態(tài)精度）或抗干擾能力的標(biāo)志。通常在典型輸入信號(hào)下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。3.2 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)域方程：時(shí)域方程： txtxtxTioo 11TssXsXio一、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)一、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) TssTsTsTsssXTssXio111111111 tToet

6、x11一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)分析一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)分析1. 一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定、無振蕩的；一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定、無振蕩的；2. 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間 3T (=5）或）或 4T (=2);3. t=0時(shí)，響應(yīng)曲線的斜率為：時(shí)，響應(yīng)曲線的斜率為：1/T。1AT0.632斜率1/Tt txo二、一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)二、一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng) TsTsTsTsssXTssXio11111122一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)分析一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)分析 tToieTtxtxte11誤差響應(yīng)誤差響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差： TeTtetTtt11limlim ttxi 21ssXi

7、 tToTeTttx1一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)TTtxo(t)0三、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)三、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) TsTTssXTssXio111111 tToeTtx11一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) ttxi 1sXi1/TT1368. 0Ttxo(t)四、一階系統(tǒng)不同輸入信號(hào)下時(shí)域響應(yīng)之間的關(guān)系四、一階系統(tǒng)不同輸入信號(hào)下時(shí)域響應(yīng)之間的關(guān)系 1txi單位階躍輸入：?jiǎn)挝浑A躍輸入：求導(dǎo) tToetx11求導(dǎo)單位階躍響應(yīng)：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)：2. 系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)積分的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)積分的響應(yīng) = 系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)響應(yīng)的積分系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)響應(yīng)的積分1. 系統(tǒng)對(duì)原輸入信

8、號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng) = 系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)結(jié)論：結(jié)論： tToTeTttx1 ttxi單位斜坡輸入：?jiǎn)挝恍逼螺斎耄簡(jiǎn)挝恍逼马憫?yīng)：?jiǎn)挝恍逼马憫?yīng)： ttxi單位脈沖輸入：?jiǎn)挝幻}沖輸入：求導(dǎo) tToeTtx11單位脈沖響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：求導(dǎo)積分積分積分積分3.3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)： 2222nnniosssXsX阻尼比無阻尼自振角頻率n 12122TssTsXsXionT10222nnss122, 1nns特征方程特征方程 ssssXnnno122220222nnss12nns結(jié)論：結(jié)論：過

9、阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是無振蕩的單調(diào)上升曲線。過阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是無振蕩的單調(diào)上升曲線。 兩個(gè)極點(diǎn)離虛軸的遠(yuǎn)近不一樣，當(dāng)兩者差別很大時(shí)，離虛軸太遠(yuǎn)的極點(diǎn)可以忽略不計(jì)，而兩個(gè)極點(diǎn)離虛軸的遠(yuǎn)近不一樣，當(dāng)兩者差別很大時(shí)，離虛軸太遠(yuǎn)的極點(diǎn)可以忽略不計(jì)，而近似處理成一階系統(tǒng)。近似處理成一階系統(tǒng)。 11121111211222222nnnnossssX部分分式展開 ttonnnneetx12212222112111211拉氏反變換11. 過阻尼：過阻尼：一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)過阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)過阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位

10、階躍響應(yīng)過阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布過阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布 222222nnnnniossssXsX nnnnnossssssX111222結(jié)論：結(jié)論：臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條單調(diào)上升的曲線。臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條單調(diào)上升的曲線。 ttnonnetetx1拉氏反變換12. 臨界阻尼：臨界阻尼：一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)臨界阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)臨界阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)臨界阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布臨界阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線一、二階系統(tǒng)的單位階躍

11、響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)10 2222222112nnnnnnossssssssX0222nnss21nnjsdnjs21nd阻尼自然振蕩頻率阻尼自然振蕩頻率 22222221221dnnnnnnnossssssssX 22221dnndnnosssssX 2222211dnddnnosssssX欠阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布欠阻尼二階系統(tǒng)特征根的分布21 arctg 2222211dnddnnosssssX tetetxdtdtonnsin1cos12拉氏反變換 tetxdtonsin112欠阻尼欠阻尼(0(01)1，動(dòng)態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩。零阻

12、尼和負(fù)阻尼0，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。系統(tǒng)一般在欠阻尼00（i= 1, 2, , n）注意：注意：滿足必要條件的一、二階系統(tǒng)一定穩(wěn)定，而滿足必要條件的高階系統(tǒng)未必穩(wěn)定。2. 勞斯判據(jù)：勞斯判據(jù)：系統(tǒng)特征方程中的系數(shù)都具有相同的符號(hào)，且不都為零；按系統(tǒng)特征方程式排出的勞斯表格中，第一列元素都具有相同的符號(hào)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。如果第一列元素的符號(hào)不全相同，則該列元素符號(hào)變化的次數(shù)，就是特征方程所含實(shí)部為正的根的數(shù)目。130211aaaaab150412aaaaab121311bbaabc131512bbaabc141713bbaabc170613aaaaabnnnnnagfee

13、ccccbbbbaaaaaaaasssssss11214321432175316420012321勞斯表格勞斯表格3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、勞斯判據(jù)三、勞斯判據(jù) 0001110aasasasasDnnnn例3-4 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為： 05432234sssssD試應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）用一個(gè)正數(shù)去乘或除勞斯陣的某一整行，不會(huì)改變穩(wěn)定性的結(jié)論。解：解：列寫勞斯表：56514253101234sssss由勞斯表的第一列可見，第一列中的系數(shù)符號(hào)不全為正值，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定另外，改變符號(hào)兩次（+1-6-+5），說明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根，即在s右半平面內(nèi)有兩個(gè)閉

14、環(huán)極點(diǎn)。例3-5 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 212ssssKsG試應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷預(yù)使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。解：解：根據(jù)題意，可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： KssssKsGsGsRsCs2112 系統(tǒng)的特征方程為： 0233234KsssssD列寫勞斯表：KsKsKssKs01234792372331根據(jù)勞斯判據(jù)，可知要使系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足：00792KK使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍為：9140 K（2） 勞斯陣某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零勞斯陣某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零，但其余系數(shù)不全為零的情況：但其余系數(shù)不全為零的情況：可以用一個(gè)有限小的可以用一個(gè)有限小的正數(shù)正數(shù)代替為零的那一項(xiàng)，然后根據(jù)上述公

15、式計(jì)算下一行的各項(xiàng)。如果第一列為零的代替為零的那一項(xiàng)，然后根據(jù)上述公式計(jì)算下一行的各項(xiàng)。如果第一列為零的上項(xiàng)和下項(xiàng)符號(hào)相反，則計(jì)入一次符號(hào)改變。上項(xiàng)和下項(xiàng)符號(hào)相反，則計(jì)入一次符號(hào)改變。例3-6 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為： 0122234sssssD試應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列寫勞斯陣：012341022111sssss由于勞斯陣第一列系數(shù)不全為正，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列各元素符號(hào)改變兩次，因此特征方程有兩個(gè)實(shí)部為正的根。 0221（3）勞斯陣某一行系數(shù)全為零，或某一行只有零的一項(xiàng)，則表明方程具有一些大小相等而符號(hào)相反）勞斯陣某一行系數(shù)全為零，或某一行只有零的一項(xiàng)，則表明方程具有一些大

16、小相等而符號(hào)相反的根（如：絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的實(shí)根；模相等的共軛虛根），的根（如：絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的實(shí)根；模相等的共軛虛根），可將不為零的最后一行的各可將不為零的最后一行的各項(xiàng)組成一輔助多項(xiàng)式，用輔助多項(xiàng)式各項(xiàng)對(duì)項(xiàng)組成一輔助多項(xiàng)式，用輔助多項(xiàng)式各項(xiàng)對(duì)s求導(dǎo)所得系數(shù)，代替全為零的一行的各項(xiàng)，求導(dǎo)所得系數(shù)，代替全為零的一行的各項(xiàng)，則可繼則可繼續(xù)計(jì)算勞斯陣以下各行。特征方程大小相等，符號(hào)相反的根可由求解輔助方程得出。顯然輔助續(xù)計(jì)算勞斯陣以下各行。特征方程大小相等，符號(hào)相反的根可由求解輔助方程得出。顯然輔助方程的次數(shù)為偶數(shù)。方程的次數(shù)為偶數(shù)。例3-7 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為： 01616201

17、28223456sssssssD試應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。01234560086116122162081sssssss解：解：列寫勞斯陣： 8624sssA ssdssdA1243 41238348 08624sssA令js22, 1js24, 3系統(tǒng)特征方程具有兩對(duì)共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定（不穩(wěn)定，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量為等幅振蕩。系統(tǒng)特征方程具有兩對(duì)共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定（不穩(wěn)定，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量為等幅振蕩。)3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度三、相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度 應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)系統(tǒng)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定定，即只解決

18、了，即只解決了絕對(duì)穩(wěn)定性絕對(duì)穩(wěn)定性的問題。在處理實(shí)際的問題。在處理實(shí)際問題時(shí)，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。因?yàn)椋瑔栴}時(shí)，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。因?yàn)?，?duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，所得到的參數(shù)值往往是近似的，對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，所得到的參數(shù)值往往是近似的，并且有的參數(shù)隨著條件的變化而變化，這樣就給并且有的參數(shù)隨著條件的變化而變化，這樣就給得到的結(jié)論帶來了誤差。為了考慮這些因素，往得到的結(jié)論帶來了誤差。為了考慮這些因素，往往希望知道往希望知道系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少余量系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少余量，這就，這就是是相對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性或或穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度的問題。的問題。1j01p2p3p利用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定

19、性和穩(wěn)定裕度的方法：利用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度的方法：利用勞斯判據(jù)，以s=z-1代人系統(tǒng)特征方程，寫出z的多項(xiàng)式，然后利用勞斯判據(jù)判定z的多項(xiàng)式的根是否都在都在新的虛軸的左側(cè)，即s的多項(xiàng)式的根的實(shí)部都小于-1。1j01p2p3p3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度三、相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度例：例：系統(tǒng)特征方程為：068523sss試檢查上述系統(tǒng)是否有裕度 。1解解：（1）判定系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性653465810123ssss勞斯表為：勞斯表第一列各項(xiàng)全為正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）檢查系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度令：s=z-1代入原特征方程得：061815123zzz202

20、2110123szzz列勞斯表：根據(jù)勞斯判據(jù)可知，方程沒有在s右半平面的根，但有一對(duì)虛根，故原系統(tǒng)剛好有 的穩(wěn)定裕度。02223zzz1三、相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度（勞斯判據(jù)）三、相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度（勞斯判據(jù)）補(bǔ)充：赫爾維茨判據(jù)補(bǔ)充：赫爾維茨判據(jù) nnnnasasasasD1110赫爾維茨行列式赫爾維茨行列式nnnaaaaaaaaaaaaa21203142053100000000000000000階行列式nn系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為： 005. 01000096. 02 . 0001. 04 . 005. 02000134. 04 . 005. 0012 . 001.

21、004 . 005. 03000134. 0130001. 00a 014 . 02 . 005. 0001. 0234sssssD例：例：設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為：試應(yīng)用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定。nnnaaaaaaaaaaaaa21203142053100000000000000000 nnnnasasasasD1110赫爾維茨行列式赫爾維茨行列式12 . 0001. 0004 . 005. 00012 . 0001. 0004 . 005. 0作業(yè)：o 習(xí)題3-6 3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)輸入信號(hào)與反饋信號(hào)之差，記為(t)， (s) ?？刂葡到y(tǒng)理想

22、輸出量與實(shí)際輸出量之差，記為e(t)，E(s)。1. 誤差與偏差誤差與偏差一、穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念一、穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念R(s) sG sH(s)C(s)_+R(s) sHE(s)C(s)_+ sH1 sH(s)2. 誤差與偏差的關(guān)系誤差與偏差的關(guān)系 sHsCsRs sCsHsRsE sHssE或 sHsEs 注意：注意：對(duì)于單位反饋控制系統(tǒng)，H(s)=1， E(s)= (s) 3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差：誤差信號(hào)e(t)的穩(wěn)態(tài)分量，記為：ess。 ssEteestss0limlim穩(wěn)態(tài)偏差：穩(wěn)態(tài)偏差：偏差信號(hào)(t) 的穩(wěn)態(tài)

23、分量，記為：ss。 sststss0limlim sHsss0lim3. 穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算4. 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算步驟穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算步驟判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；求誤差傳遞函數(shù)；求誤差傳遞函數(shù)； 用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差；用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差； sHsGsGsHsRssHsRsEsRReR211111 sHsGsGsGsHsGsGsHsGsHsNssHsNsEsNNeN2122121111 ssNssRssEsEsssEeeNeRsNRssss00limlimlim例例3-8 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，

24、將開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)分布在回路的不同位置，討論它們分別對(duì)控制輸入r(t)=t2/2和干擾n(t)=At作用下所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差的作用，并求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)sK1N(s)C(s)_+(s)sK213TsK+解：（解：（1）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)： 1321221TsKKKsKKs特征多項(xiàng)式： 13212TsKKKssD由勞斯判據(jù)可知，當(dāng)K1K2K30，且T0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）求輸入）求輸入r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差作用下的穩(wěn)態(tài)誤差R(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)： 1111111132123223213TsKKKsTsKssTsKKKTsKsRssHsRsEsRReR

25、R(s)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差： 232132123230001111limlimlimKKKTsKKKsTsKssssssRssEeseRseRsssR(s)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差： 321321223000111limlimlimKKKTsKKKsssssRsssRssseRseRsss結(jié)論：結(jié)論：開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)在回路的任何位置，對(duì)于減小或消除r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（穩(wěn)態(tài)偏差）均有效。例例3-8 R(s)sK1N(s)C(s)_+(s)sK213TsK+解：（解：（3）求干擾輸入）求干擾輸入n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差作用下的穩(wěn)態(tài)誤差N(s)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)： 11113212223

26、212TsKKKssKsTsKKKsKsNssHsNsEsNNeNN(s)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差： 313212220001limlimlimKKATsKKKssKsAssssNssEeseNsNsssNN(s)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差： 1321232200011limlimlimKATsKKKsTsKsKsAssNsssNssEsNseNsssN結(jié)論：結(jié)論：分布在前向通道主反饋口到干擾作用點(diǎn)之間的開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)對(duì)減小或消除n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（穩(wěn)態(tài)偏差）有效； 開環(huán)增益分布在主反饋通路上，對(duì)減小n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差有作用，而對(duì)于減小穩(wěn)態(tài)偏差無效。（4）求總的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差）求總的

27、穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差23213231232111KKKKAKKKAKKKeeessNssRss3212132111KKKAKKAKKKssNssRss開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù) njjmiiKsTssKsHsGsG1111式中：開環(huán)傳遞函數(shù)中純積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，稱為系統(tǒng)型別或系統(tǒng)誤差階數(shù)。按開環(huán)傳遞函數(shù)中純積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)，可將系統(tǒng)分為：按開環(huán)傳遞函數(shù)中純積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)，可將系統(tǒng)分為：u 0型系統(tǒng)： =0u型系統(tǒng)： =1u型系統(tǒng)： =2 越高，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差。一般采用0型、型、型系統(tǒng)。3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法給定輸入作用下的穩(wěn)

28、態(tài)誤差計(jì)算方法給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算方法R(s) sG sH(s)C(s)_+1. 系統(tǒng)型別（系統(tǒng)誤差階數(shù)）系統(tǒng)型別（系統(tǒng)誤差階數(shù)）單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為：?jiǎn)挝浑A躍輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： 011111lim11limlimlim000KKsKsstssGsGsssGsRsssEtee靜態(tài)位置誤差系數(shù)：靜態(tài)位置誤差系數(shù)： sGKKsP0lim型以上的系統(tǒng)型系統(tǒng)0011Kess 型以上的系統(tǒng)型系統(tǒng)0lim0KsGKKsP結(jié)論：結(jié)論：0型系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下有一定的穩(wěn)態(tài)誤差，型系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下有一定的穩(wěn)態(tài)誤差， 型以上系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下型以上系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零。穩(wěn)

29、態(tài)誤差為零。三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法 njjmiiKsTssKsHsGsG11113.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析單位斜坡信號(hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為：?jiǎn)挝恍逼滦盘?hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： ssGsGsssGsRseKsKsKsss1lim111lim11lim0200靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù): ssGKKsv0lim 型以上系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)KssGKKsv00lim0 型以上系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)01011lim0KKssGevKsss三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法 njjmiiKsTssKsHsGsG1111不能跟蹤斜坡信號(hào)不能跟蹤斜坡信號(hào)能跟蹤斜坡信號(hào)，但有

30、一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差能跟蹤斜坡信號(hào)，但有一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差能準(zhǔn)確跟蹤斜坡信號(hào)能準(zhǔn)確跟蹤斜坡信號(hào)結(jié)論：結(jié)論：0型系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為型系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為 ； 型系統(tǒng)在單位斜坡信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)型系統(tǒng)在單位斜坡信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為誤差為1/K； 型以上系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差為零。型以上系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差為零。單位加速度信號(hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為：?jiǎn)挝患铀俣刃盘?hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： sGssGsssGssReKsKsKsss203001lim111lim11lim靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：靜態(tài)加速度誤差系數(shù)： sGsKKsa20lim 型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)KsGs

31、KKsa000lim20 型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)KKsGseaKsss1011lim20三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法 njjmiiKsTssKsHsGsG1111能跟蹤加速度信號(hào)，但有一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差。能跟蹤加速度信號(hào)，但有一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差。不能跟蹤單位加速度信號(hào)不能跟蹤單位加速度信號(hào)結(jié)論：結(jié)論：0型、型、型系統(tǒng)在加速度信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為型系統(tǒng)在加速度信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為 ； 型系統(tǒng)在單位加速度信型系統(tǒng)在單位加速度信號(hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為號(hào)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為1/K。3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析三、靜態(tài)誤差系數(shù)法三、靜態(tài)誤差系數(shù)法 20! 2100txtxxtxiiii結(jié)

32、論：結(jié)論：線性系統(tǒng)在任意輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：該輸入信號(hào)用泰勒級(jí)數(shù)展開線性系統(tǒng)在任意輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：該輸入信號(hào)用泰勒級(jí)數(shù)展開所得的典型信號(hào)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差之和。所得的典型信號(hào)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差之和。泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)例例3-9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。已知輸入r(t)=2t+4t2，確定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件并求穩(wěn)態(tài)誤差。(s)R(s)assK21C(s)_+1Ts解：（解：（1）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 1121TsKassKs特征方程： 01112312KTsKassTsKasssD列勞斯表確定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：010101110111213KKsaTaKaTsa

33、KasTKs根據(jù)勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：a0，aT1，K10 11112121sasTsaKassTsKsGK （2）計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差）計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)為型系統(tǒng)，開環(huán)增益：K=K1/a，當(dāng)r1(t)=2t時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：021vssKe assTsKsssGKsKsv21001limlim aKassTsKssGsKsKsa12120201limlim當(dāng)r2(t)=4t2=80.5t2時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：1288KaKeass輸入r(t)=2t+4t2時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：1218Kaeeessssss3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析四、動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)四

34、、動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù) lleeeeslss0!10! 210! 110)(2誤差象函數(shù)：誤差象函數(shù)： sRsCssRCsRCsE2210誤差象函數(shù)的拉氏反變換，即誤差隨時(shí)間變化的函數(shù)：誤差象函數(shù)的拉氏反變換，即誤差隨時(shí)間變化的函數(shù)： 0)(210iiitrCtrCtrCtrCte動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)： sRsEse)(在在s=0的鄰域展開的鄰域展開成泰勒級(jí)數(shù)成泰勒級(jí)數(shù) trtrtr210111 記：記： 0,1,2, 0!1)(iiCiei注：大部分自動(dòng)控制書籍中關(guān)于動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的定義。單位加速度信號(hào)單位斜坡信號(hào)輸

35、入系統(tǒng)1的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)2的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍信號(hào)例例3-10 已知兩個(gè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試分析其穩(wěn)態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差。解：（解：（1）靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算）靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 1101ssG 15102ssG 0110limlim0101ssssGKssv 10110limlim0101ssGKssp 0110limlim201201sssGsKssa 01510limlim0202ssssGKssv 101510limlim0202ssGKssp 01510limlim202202sssGsKssa111111pssKevssKe11vssKe12111112pssKea

36、ssKe11assKe12注意：注意：兩系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差完全相同，看不出兩系統(tǒng)控制精度上的區(qū)別。單位階躍信號(hào)r(t)=1單位速度信號(hào)r(t)=t單位加速度信號(hào)r(t)=0.5t2輸入動(dòng)態(tài)誤差輸入的各階導(dǎo)數(shù)例例3-10 已知兩個(gè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試分析其穩(wěn)態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差。解：（解：（2）動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差計(jì)算）動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差計(jì)算 1101ssG 15102ssG系統(tǒng)系統(tǒng)1的動(dòng)態(tài)誤差分析的動(dòng)態(tài)誤差分析系統(tǒng)1的誤差傳遞函數(shù)： 1111111sssGse23211101110111ss動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)：111K動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)：101122K動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)：10

37、1133K 232111101110111sssRssRsEe trtrtrsssRLte3223211110111011111101110111 111te 21110111tte , 0, 0 trtr , 0, 1 trtr 0, 1, trtrttr 3221110111021111ttte結(jié)論：結(jié)論：通過動(dòng)態(tài)誤差分析，可得誤差隨時(shí)間變化的規(guī)律。單位階躍信號(hào)單位速度信號(hào)單位加速度信號(hào)輸入動(dòng)態(tài)誤差輸入的各階導(dǎo)數(shù)例例3-10 已知兩個(gè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試分析其穩(wěn)態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差。解：（解：（2）動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差計(jì)算）動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差計(jì)算 1101ssG 15102ss

38、G系統(tǒng)系統(tǒng)2的動(dòng)態(tài)誤差分析的動(dòng)態(tài)誤差分析系統(tǒng)2的誤差傳遞函數(shù)： 115151122sssGse232115051150111ss動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)：111K動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)：501122K動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)：5051133K 2321115051150111sssRssRsEe trtrtrsssRLte322321115051150111115051150111 111te 21150111tte , 0, 0 trtr , 0, 1 trtr 0, 1, trtrttr 32211505115021111ttte結(jié)論：結(jié)論：比較可見，兩系統(tǒng)隨時(shí)間變化的規(guī)律不同，系統(tǒng)2在單位加速度信號(hào)輸入下，

39、誤差隨時(shí)間增大較快3.6 控制系統(tǒng)的誤差分析控制系統(tǒng)的誤差分析五、穩(wěn)態(tài)誤差分析小結(jié)五、穩(wěn)態(tài)誤差分析小結(jié)靜態(tài)位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)分別用于衡量階躍、斜坡、勻加速度信號(hào)輸入時(shí)所引起的輸出位置上的誤差。輸入一定時(shí)，增大開環(huán)增益K，可以減小穩(wěn)態(tài)誤差；增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，即提高系統(tǒng)型別，可以消除穩(wěn)態(tài)誤差；系統(tǒng)型別反映系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出跟蹤輸入型號(hào)的一種能力儲(chǔ)備。系統(tǒng)回路中的積分環(huán)節(jié)越多，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出跟蹤輸入信號(hào)的能力越強(qiáng)，但積分環(huán)節(jié)越多，系統(tǒng)越不容易穩(wěn)定，實(shí)際系統(tǒng) 型以上的很少。為使系統(tǒng)具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，必須針對(duì)不同的輸入量選擇不同類型的系統(tǒng)，并且選取較高的K值。

40、考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般選擇型以內(nèi)的系統(tǒng)，并且K也要滿足穩(wěn)定性的要求。作業(yè)：o 習(xí)題3-7 習(xí)題習(xí)題3-1 一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，要求系統(tǒng)閉環(huán)增益K=2，調(diào)節(jié)時(shí)間ts 0.4s，試確定參數(shù)K1，K2 。習(xí)題和例題習(xí)題和例題(s)R(s)sK1C(s)_+2K解：解：根據(jù)題意，可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)： 1111212211211sKKKKKsKKsKsKs5 . 02122KKK 該一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)為：211KKT 調(diào)節(jié)時(shí)間：%24 . 04%54 . 03sTsTts%24 . 05 . 044%54 . 05 . 033121121sKKKsKKK%220%51511KK習(xí)題習(xí)題3-2 設(shè)角

41、速度指示隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，若要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，且調(diào)節(jié)時(shí)間盡可能短，問開環(huán)增益K應(yīng)取何值，調(diào)節(jié)時(shí)間ts是多少？習(xí)題和例題習(xí)題和例題(s)R(s)11 . 0ssKC(s)_+解：解：根據(jù)題意，可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)： KssKKssKKssKssKssKs1010101 . 011 . 011 . 0111 . 022Kn10102nKn105210要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，則：1105K5 . 2K當(dāng)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，即=1時(shí)，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間最短，因此開環(huán)增益K的取值應(yīng)為：K=2.5，則n=5(rad/s)。=1時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為： ttnetettcn515111取%

42、=5%對(duì)應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts滿足： %51515stsssettcte s95. 0575. 475. 4nst補(bǔ)充調(diào)節(jié)時(shí)間計(jì)算公式：補(bǔ)充調(diào)節(jié)時(shí)間計(jì)算公式：臨界阻尼：過阻尼：nst75. 47 . 145. 61nst習(xí)題和例題習(xí)題和例題解：解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 222212212nnnssKKassKKsnnaK221由單位階躍響應(yīng)曲線可得： 21221001limlim3KsKassKKssRsshss 31334%s1 . 01212etnp33. 0s128.33n96.2128.33333. 0256.110728.33221aKn因此K1= 1142.44，K2=3

43、 ，a=21.96。習(xí)題習(xí)題3-8 設(shè)如圖（a）所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖（b）所示，試確定系統(tǒng)參數(shù)K1，K2和a。assK1 sR sC2K sE(b) 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)(a) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖習(xí)題和例題習(xí)題和例題習(xí)題習(xí)題3-6 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。（1）確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K與阻尼比的取值范圍，并畫出相應(yīng)區(qū)域；（2）當(dāng)=2時(shí)，確定使系統(tǒng)極點(diǎn)全部落在s=-1左邊的K的取值范圍。100202sssKa sR sC aaKsssKs1002023由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：解：解：（1）根據(jù)題意可得系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 12 . 001. 001. 01002022sssKsssKsGaaK因此系統(tǒng)的開環(huán)增益為：K=0.01KaaaaKsKsKss01232010