總復(fù)習(xí)_計(jì)算方法

1、計(jì)算方法復(fù)習(xí)一、 期末考試試題期末考試的試卷有填空題和解答題。解答題共7個(gè)題，分?jǐn)?shù)約占70。期末考試主要考核：l 基本概念；l 基本原理；l 基本運(yùn)算。必須帶簡(jiǎn)易計(jì)算器?？偝煽?jī)=平時(shí)成績(jī)*20%+期末成績(jī)*80%二、 考核知識(shí)點(diǎn)、復(fù)習(xí)要求第1章 誤差(一) 考核知識(shí)點(diǎn)l 誤差的來(lái)源類型；l 絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字；l 絕對(duì)誤差的傳播。 (二) 復(fù)習(xí)要求1. 產(chǎn)生誤差的主要來(lái)源。2. 了解絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差和相對(duì)誤 差限和有效數(shù)字等概念以及它們之間的關(guān)系。第2章 方程求根 考核知識(shí)點(diǎn)二分法；迭代法；牛頓法；弦截法。(二) 復(fù)習(xí)要求1. 知道有根區(qū)間概念，

2、和方程f(x)=0在區(qū)間 (a,b)有根的充分條件。2. 掌握方程求根的二分法，知道其收斂性；掌握二分法迭代次數(shù)公式;掌握迭代法，知道其收斂性。3. 熟練掌握牛頓法。掌握初始值的選擇條件。4. 收斂階和收斂速度第3章 線性方程組的數(shù)值解法(一)考核知識(shí)點(diǎn)高斯順序消去法，列主元消去法,LU分解法；消去法消元能進(jìn)行到底的條件;雅可比迭代法，高斯賽德爾迭代法，超松弛迭代法；迭代解數(shù)列收斂的條件。(二)復(fù)習(xí)要求1. 掌握線性方程組雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法。2. 知道高斯消去法的基本思想，熟練掌握高斯順序消去法和列主元消去法。3. 知道解線性方程組的高斯消去法消元能進(jìn)行到底的條件，迭代解收斂性的充

3、分條件。4. Cond(A)的概念和性質(zhì)第4章 函數(shù)插值與最小二乘法(一) 考核知識(shí)點(diǎn)l 插值函數(shù)，插值多項(xiàng)式；l 拉格朗日插值多項(xiàng)式;插值基函數(shù)；l 牛頓插值多項(xiàng)式；差商表;l 分段線性插值、線性插值基函數(shù)l 最小二乘法，法方程組，線性擬合、二次擬合、指數(shù)擬合。(二)復(fù)習(xí)要求1. 了解插值函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)等概念。2. 熟練掌握拉格朗日插值多項(xiàng)式的公式，知道拉格朗日插值多項(xiàng)式余項(xiàng)。3. 掌握牛頓插值多項(xiàng)式的公式，掌握差商表的計(jì)算，知道牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。4. 掌握分段線性插值的方法和線性插值基函數(shù)的構(gòu)造。6. 了解曲線擬合最小二乘法的意義和推導(dǎo)過(guò)程，掌握法方程組的求法，以及線性擬合和二次多項(xiàng)式

4、擬合的方法。第5章 數(shù)值積分與微分(一)考核知識(shí)點(diǎn)l 數(shù)值求積公式，求積節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)，代數(shù)精度；l 插值型求積公式，牛頓科特茨求積公式，科特茨系數(shù)及其性質(zhì)，l (復(fù)化)梯形求積公式，(復(fù)化)拋物線求積公式；l 高斯型求積公式，高斯點(diǎn)，(二點(diǎn)、三點(diǎn))高斯勒讓德求積公式； (二) 復(fù)習(xí)要求1. 了解數(shù)值積分和代數(shù)精度等基本概念。2. 了解牛頓¾科茨求積公式和科茨系數(shù)的性質(zhì)。熟練掌握并推導(dǎo)(復(fù)化)梯形求積公式和(復(fù)化)拋物線求積公式。3. 知道高斯求積公式和高斯點(diǎn)概念。會(huì)用高斯¾勒讓德求積公式求定積分的近似值。4. 知道插值型求導(dǎo)公式概念，掌握兩點(diǎn)求導(dǎo)公式和三點(diǎn)求導(dǎo)公式。第6章

5、 常微分方程的數(shù)值解法(一)考核知識(shí)點(diǎn)歐拉公式，梯形公式，改進(jìn)歐拉法，局部截?cái)嗾`差；龍格庫(kù)塔法，局部截?cái)嗾`差。(二) 復(fù)習(xí)要求1. 掌握歐拉法和改進(jìn)的歐拉法(梯形公式、預(yù)報(bào)校正公式和平均形式 公式)，知道其局部截?cái)嗾`差。2. 知道龍格¾庫(kù)塔法的基本思想。知道二階、三階龍格¾庫(kù)塔法。掌握四階龍格庫(kù)塔法，知道龍格¾庫(kù)塔法的局部截?cái)嗾`差。華中科技大學(xué)計(jì)算方法歷年考題匯編附錄1：20062007學(xué)年 第一學(xué)期 計(jì)算方法課程考試試卷(A卷) 附錄2：20062007學(xué)年 第一學(xué)期 計(jì)算方法課程考試試卷(B卷)附錄3：20052006學(xué)年計(jì)算方法試題附錄4：20042005學(xué)

6、年計(jì)算方法試題(2004年11月26日)附錄5：20032004學(xué)年計(jì)算方法課程考試試卷 三、重、難點(diǎn)分析例1 證明計(jì)算的牛頓切線法迭代公式為：并用它求的近似值（求出即可）解 (1) 因計(jì)算等于求正根，代入牛頓法迭代公式得 (2) 設(shè)，因 所以 選用上面導(dǎo)出的迭代公式計(jì)算得 例2 用迭代法求的最小正根（求出即可）。解 （1）用迭代法因，故在上將，同解變形為 則 取 應(yīng)用迭代公式 ，計(jì)算得 例3 用列主元消元法的方程組 注意：每次消元時(shí)主元的選取是各列中系數(shù)最大的。解 第1列主元為3，交換第1、2方程位置后消元得， 第2列主，元為交換第2、3方程位置后消元得 回代解得 例4將矩陣A進(jìn)行三角分解（

7、Doolittle分解,Crout分解,LDU分解） 其中說(shuō)明：一般進(jìn)行矩陣的三角分解采用緊湊格式。即應(yīng)用矩陣乘法和矩陣相等原則進(jìn)行矩陣的三角分解（或代入公式求得相應(yīng)元素）。在分解時(shí)注意矩陣乘法、矩陣求逆等代數(shù)運(yùn)算。 解： 則矩陣的Doolittle分解為 因?yàn)閷?duì)角陣，則所以矩陣的LDU分解為 矩陣的Crout分解為例5 用LU分解求解方程組 注意：消元過(guò)程是解方程組，和回代過(guò)程是解方程組。解：（1）將矩陣進(jìn)行三角分解，由上例得： 矩陣的三角分解為 （2）解方程組（3）解方程組 所以 例6 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三種常用范數(shù)。 解 ， 例7 證明 證明 因?yàn)?所以 例8 已知

8、矩陣，求矩陣A的三種常用范數(shù)。解 ，例9 已知方程組（1）寫出解此方程組的雅可比法迭代公式（2）證明當(dāng)時(shí)，雅可比迭代法收斂（3）取,，求出。解 （1）對(duì)，從第個(gè)方程解出，得雅可比法迭代公式為：（2）當(dāng)時(shí)，A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以雅可比迭代法收斂。（3）取， 由迭代公式計(jì)算得 ， ， ， ， 則 =（， ，）例10 用高斯塞德爾迭代法解方程組 （1）證明高斯塞德爾迭代法收斂（2）寫出高斯塞德爾法迭代公式（3）取，求出解 （1）因?yàn)锳為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，故高斯塞德爾迭代收斂。（2）對(duì)，從第個(gè)方程解出，得高斯塞德爾法迭代公式為（3） ， ， ， ， 則=（， ，）例11 已知用線性插值計(jì)算，并估計(jì)

9、誤差。解 取插值節(jié)點(diǎn)x0= 4,x1= 9，兩個(gè)插值基函數(shù)分別為 故有 誤差為 例12 已知函數(shù)數(shù)數(shù)值表 1 2 3 1 3 7用拋物插值法求近似值。解 作差商表：一階差商二階差商112323741 代入牛頓插值多項(xiàng)式得： 故 例13 已知的函數(shù)表 x012y8-7.5-18 求在0，2內(nèi)的零點(diǎn)近似值。解 因?yàn)閥i關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)減少，用反插值法求f(x) 零點(diǎn)的近似值比較簡(jiǎn)單，具體作法如下：先作反函數(shù)表 x8-7.5-18y012將節(jié)點(diǎn)x0=8,x1=-7.5，x2=-18及對(duì)應(yīng)函數(shù)值y0=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多項(xiàng)式（2.2），再令x=0,得 于是得f(x)在0，2內(nèi)零點(diǎn)

10、值得注意的是，只有所給函數(shù)（或函數(shù)表）在a,b上嚴(yán)格單調(diào)情況下，才能使用反插值方法，否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果。例14 已知數(shù)表：1233.87.210利用最小二乘求線性關(guān)系式。解 設(shè)最小一次式為，由系數(shù)公式得： 于是有法方程組 解法方程組得 所以最小二乘一次式 例15 求下列矛盾方程組的最小二乘解。 解 令 由 得法方程組 解得 所以最小二乘解為 例16 已知插值基函數(shù)，證明 ：當(dāng)時(shí)，證明：令 ， 則有 因?yàn)?，所以。?7 在區(qū)間上，求以為節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式。解：由系數(shù)計(jì)算公式得 所以求積公式為例18 求積公式的代數(shù)精確度為（ ）。 解 由于此公式為3個(gè)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式，代數(shù)精度至少為2。 令，

11、代入內(nèi)插求積公式得l 左邊=，右邊， 所以 左邊=右邊l 再令，代入內(nèi)插求積公式得 左邊=，右邊= 所以 左邊右邊所以此公式具有3次代數(shù)精度。例19 用梯形公式和的復(fù)化梯形公式求積分，并估計(jì)誤差。解 （1） 梯形公式 因?yàn)?，代入梯形公式得 則 （2） 復(fù)化梯形公式 因?yàn)?和復(fù)化梯形公式得 因?yàn)?， ， 所以 例20 用辛卜生公式和復(fù)化辛卜生公式計(jì)算 積分 ，使誤差小于解 （1） 辛卜生公式 因?yàn)?，代入辛卜生公式?4（2） 復(fù)化辛卜生公式 因?yàn)榻獠坏仁?得 ，用，復(fù)化辛卜生公式計(jì)算得 例21 設(shè)為內(nèi)插求積公式系數(shù)求證: 證明：設(shè) ，因?yàn)?所以 。例22 用歐拉法，預(yù)估校正法求一階微分方程初值

12、問(wèn)題，在（0.1）0.2近似解解 （1）用歐拉法計(jì)算公式，計(jì)算得 （2）用預(yù)估校正法計(jì)算公式計(jì)算得 ，3020062007學(xué)年 第一學(xué)期 計(jì)算方法課程考試試卷(A卷) (開卷)院(系)_專業(yè)班級(jí)_學(xué)號(hào)_ 姓名_考試日期: 2007年1月30日 考試時(shí)間: 下午 2:305:00題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分得 分評(píng)卷人解答內(nèi)容不得超過(guò)裝訂線一. 填空題 (每小題 4分，共 28份) 1已知矩陣 ，則 。2 若用正邊形的面積作為其外接圓面積的近似值，則該近似值的相對(duì)誤差是 。3三次方程的牛頓迭代格式是 。4若求解某線性方程組有迭代公式，其中，則該迭代公式收斂的充要條件是 。5設(shè)，則滿足條件的二

13、次插值公式 。6已知求積公式至少具0次代數(shù)精度，則 。7改進(jìn)的Euler方法應(yīng)用于初值問(wèn)題的數(shù)值解 。得 分評(píng)卷人二. (10分) 為數(shù)值求得方程的正根，可建立如下迭代格式,試?yán)玫ǖ氖諗坷碚撟C明該迭代序列收斂，且滿足.得 分評(píng)卷人三. (20分) 給定線性方程組（1）試用Gauss消去法求解其方程組； (2) 給出求解其方程組的Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式，并說(shuō)明其二種迭代格式的收斂性。得 分評(píng)卷人解答內(nèi)容不得超過(guò)裝訂線四. (12分) 已知y=sinx的函數(shù)表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166試造出差商表，利用二次Newt

14、on插值公式計(jì)算sin(1.609) （保留5位有效數(shù)字），并給出其誤差估計(jì)。得 分評(píng)卷人五. (14分) 用Romberg算法計(jì)算積分（精確到）。得 分評(píng)卷人六. (16分) 給出線性-方法，（1） 計(jì)算其方法的截?cái)嗾`差；（2） 當(dāng)=？時(shí)，其方法為2階相容；（3） 當(dāng)該方法應(yīng)用于初值問(wèn)題時(shí)（其中為實(shí)常數(shù)），其在處的數(shù)值解20062007學(xué)年 第一學(xué)期 計(jì)算方法課程考試試卷(B卷) (開卷)院(系)_專業(yè)班級(jí)_學(xué)號(hào)_ 姓名_考試日期: 2007年1月30日 考試時(shí)間: 下午 2:305:00題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分得 分評(píng)卷人解答內(nèi)容不得超過(guò)裝訂線七. 填空題 (每小題 4分，共 28

15、份) 1已知矩陣 ，則 。2 若用正邊形的面積作為其內(nèi)接圓面積的近似值，則該近似值的相對(duì)誤差是 。3方程的牛頓迭代格式是 。4若求解某線性方程組有迭代公式，其中，則該迭代公式收斂的充要條件是 。5設(shè)，則滿足條件的二次插值公式 。6已知求積公式至少具1次代數(shù)精度，則 。7隱式中點(diǎn)方法應(yīng)用于初值問(wèn)題的數(shù)值解 。得 分評(píng)卷人八. (10分) 證明：對(duì)任何初值，由迭代公式所生成的序列均收斂于方程的根。得 分評(píng)卷人九. (20分) 給定線性方程組（1）試用Gauss消去法求解其方程組； (2) 給出求解其方程組的Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式，并說(shuō)明其二種迭代格式的收斂性。得

16、分評(píng)卷人解答內(nèi)容不得超過(guò)裝訂線十. (12分) 已知，插值節(jié)點(diǎn)試構(gòu)造Lagrange插值公式計(jì)算的近似值（保留4位有效數(shù)字），并給出其實(shí)際誤差。得 分評(píng)卷人十一. (14分) 用Romberg算法計(jì)算積分（精確到）。得 分評(píng)卷人十二. (16分) 給出單支-方法，（4） 計(jì)算其方法的截?cái)嗾`差；（5） 當(dāng)=？時(shí)，其方法為2階相容；（6） 當(dāng)該方法應(yīng)用于初值問(wèn)題時(shí)（其中為實(shí)常數(shù)），其在處的數(shù)值解20052006學(xué)年計(jì)算方法試題班級(jí) _ 學(xué)號(hào)_ 姓名 _ 成績(jī)_題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分一. 填空題（每空3分，共18分）1. 已知矩陣，則 = 。2. 方程的Newton迭代格式為 。3. 已知

17、 ，且可分解為，其中為對(duì)角線上元素全等于1的下三角矩陣，則 。 4. 已知且，則其拉格朗日插值余項(xiàng)滿足估計(jì)式 。5. 已知求積公式 ，則 。6. 解常微分方程初值問(wèn)題的梯形公式 是 階方法。二. (10分) 試導(dǎo)出計(jì)算的Newton迭代公式，并由此公式計(jì)算，要求精確到。三. (12分) 給定線性方程組 分別寫出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收斂性。 四. (15分) 利用余弦函數(shù)在處的值導(dǎo)出其二次Lagrange插值多項(xiàng)式, 并以此近似計(jì)算，且給出該近似值的相對(duì)誤差。五. (15分) 某學(xué)生在大學(xué)一、二年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績(jī)?nèi)缦拢簩W(xué)期 1234平均成績(jī) 63.

18、270.576.678.4試求出一條最佳的直線以反映其平均成績(jī)的上升趨勢(shì)，并估計(jì)出他在大學(xué)三、四年級(jí)各個(gè)學(xué)期的平均成績(jī)。六. (15分) 用Romberg算法計(jì)算(步長(zhǎng)從1逐步減半到)。七. (15分) 試導(dǎo)出求解初值問(wèn)題的2步3階公式 ,并給出其絕對(duì)穩(wěn)定域。 20042005學(xué)年計(jì)算方法試題(2004年11月26日)班級(jí)_ 學(xué)號(hào)_ 姓名 _ 成績(jī)_題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分一. (20分)1. 用簡(jiǎn)單迭代法求方程 在附近的具有4位有效數(shù)字的近似根,并證明收斂性。2. 試導(dǎo)出計(jì)算的Newton迭代公式，使公式中既無(wú)開方，又無(wú)除法運(yùn)算。二.(10) 1. 給定線性方程組 分別寫出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收斂性。 三.(15) 設(shè)有線性代數(shù)方程組，其中 ，。1. 用列選主元Gauss消去法求解此方程組。2. 用LU分解法求解此方程組。四.(15) 1. 用二次Lagrange插值公式利用100,121,144的開方求；2. 已知函數(shù)表 ,求其插值多項(xiàng)式，并寫出誤差估計(jì)式。五.(10分) 已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 試用最小二乘法求出擬合直線。六(15分). 1.確定下列公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能的高，并指出所構(gòu)造公式具有幾次代數(shù)精度。2. 用Romberg算法求(步長(zhǎng)從1取到)。七.(15分) 1. 用改進(jìn)Euler法求解初值問(wèn)題，取，