高中數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修4人教B版全國通用版：第二章平面向量2.2.2

1、22.2向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示.2.掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.3.正確理解向量坐標(biāo)的概念，要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開來知識點(diǎn)一平面向量的正交分解思考如果向量a 與 b 的基線互相垂直，則稱向量a 與 b 垂直，記作ab.互相垂直的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？答案互相垂直的兩個(gè)向量能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底梳理如果基底的兩個(gè)基向量e1，e2互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底在正交基底下分解向量，叫做正交分解知識點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)表示思考 1如圖，向量i，j 是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量a 與

2、 i 的夾角是30 ，且 |a|4，以向量 i，j 為基底，如何表示向量a?答案a23i 2j. 思考 2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，給定點(diǎn) a 的坐標(biāo)為 a(1,1)，則 a 點(diǎn)位置確定了嗎？給定向量a的坐標(biāo)為a (1,1)，則向量a 的位置確定了嗎？答案對于 a 點(diǎn)，若給定坐標(biāo)為a(1,1)，則 a 點(diǎn)位置確定對于向量a，給定 a 的坐標(biāo)為a(1,1)，此時(shí)給出了a 的方向和大小，但因?yàn)橄蛄康奈恢糜善瘘c(diǎn)和終點(diǎn)確定，且向量可以任意平移，因此a 的位置還與其起點(diǎn)有關(guān)，所以不確定梳理(1)基底：在直角坐標(biāo)系xoy 內(nèi)，分別取與x 軸和 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量e1，e2.這時(shí)，我們就在坐標(biāo)平面內(nèi)建立

3、了一個(gè)正交基底 e1，e2這個(gè)基底也叫做直角坐標(biāo)系xoy的基底(2)坐標(biāo)分量：在坐標(biāo)平面xoy 內(nèi)，任作一向量a(用有向線段 ab表示 )，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(a1，a2)，使得 aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a 在基底 e1，e2下的坐標(biāo)， 即 a(a1，a2)，其中 a1叫做向量a 在 x 軸上的坐標(biāo)分量，a2叫做 a 在 y 軸上的坐標(biāo)分量(3)若 oaxe1ye2(x，y)，則 oa的坐標(biāo) (x， y)? 點(diǎn) a 的坐標(biāo) (x， y)知識點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考設(shè) i，j 是分別與x 軸， y 軸同向的兩個(gè)單位向量，若設(shè)a (x1，y1)，b(x

4、2， y2)，則 ax1i y1j，b x2iy2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量ab，ab， a( r)如何分別用基底 i，j 表示？答案ab(x1x2)i(y1 y2)j，ab(x1x2)i (y1y2)j， a x1i y1j. 梳理(1)若 a(a1，a2)，b(b1，b2)，則 ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)， a (a1，a2)( a1， a2)即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差；數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab (x2x1，y2y1)即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始

5、點(diǎn)的坐標(biāo)(3)在直角坐標(biāo)系xoy 中，已知點(diǎn)a(x1， y1)，點(diǎn)b(x2， y2)則線段ab 中點(diǎn)的坐標(biāo)為x1 x22，y1 y22. 1相等向量的坐標(biāo)相等() 2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則向量 ab(x1x2，y1y2) () 提示ab(x2x1， y2 y1)3與 x 軸， y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為：i(1,0)，j(0,1)() 類型一平面向量的坐標(biāo)表示例 1如圖， 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，oa4，ab3，aox45 ，oab105 ，oaa，abb.四邊形 oabc 為平行四邊形(1)求向量 a，b 的坐標(biāo)；(2)求向量 ba的坐標(biāo)；(

6、3)求點(diǎn) b 的坐標(biāo)解(1)作 amx 軸于點(diǎn) m，則 omoa cos 45 42222，amoa sin 4542222. a(22，22)，故 a(22， 2 2) aoc180 105 75 ，aoy 45 ， coy 30 . 又ocab 3，c32，332，ab oc 32，3 32，即 b 32，3 32. (2)ba ab32，332. (3)oboaab(22，2 2) 32，332 2 232，223 32. 即點(diǎn) b 的坐標(biāo)為2 232，2 23 32. 反思與感悟在表示點(diǎn)、向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用向量的相等、加減法運(yùn)算等求坐標(biāo)，也可以利用向量、點(diǎn)的坐標(biāo)的定義求坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練1

7、已知邊長為2 的正三角形abc，頂點(diǎn) a 在坐標(biāo)原點(diǎn)， ab 邊在 x 軸上，點(diǎn)c 在第一象限， d 為 ac 的中點(diǎn)，分別求向量ab，ac， bc，bd的坐標(biāo)解如圖，正三角形abc 的邊長為2，則頂點(diǎn)a(0,0)，b(2,0)，c(2cos 60，2sin 60)，c(1，3)，d12，32. ab(2,0)，ac(1，3)，bc (12，30)(1，3)，bd122，320 32，32. 類型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例 2已知 a(2,4)，b(3， 1)，c(3， 4)設(shè) aba，bcb，ca c. (1)求 3ab3c；(2)求滿足 ambnc 的實(shí)數(shù) m，n 的值；解由已知，得a(5，

8、5)，b(6， 3)， c(1,8)(1)3ab3c 3(5， 5) (6， 3)3(1,8) (156 3， 15324)(6， 42)(2) mbnc(6mn， 3m8n)a(5， 5)，6m n5，3m 8n 5，解得m 1，n 1.反思與感悟向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行跟蹤訓(xùn)練2已知 a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)12a13b. 解(1)2a3b2(1,2)3(2

9、,1) (2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1) (1,2)(6,3)(7， 1)(3)12a13b12(1,2)13(2,1) 12， 1 23，13 76，23. 類型三平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例 3已知點(diǎn) a(2,3)，b(5,4)，c(7,10)若 apab ac( r)，試求當(dāng) 為何值時(shí)：(1)點(diǎn) p 在第一、三象限的角平分線上；(2)點(diǎn) p 在第三象限內(nèi)解設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 (x， y)，則ap(x，y)(2,3)(x2，y 3)，ab ac(5,4)(2,3) (7,10)(2,3) (3,1) (5,7)(35 ，17 )apab ac，x235 ，y 3

10、17 ，則x55 ，y47 .(1)若點(diǎn) p 在第一、三象限的角平分線上，則 55 47 ， 12. (2)若點(diǎn) p 在第三象限內(nèi)，則55 0，47 0， 1. 反思與感悟(1)待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，實(shí)質(zhì)是先將未知量設(shè)出來，建立方程(組 )求出未知數(shù)的值，是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應(yīng)用(2)坐標(biāo)形式下向量相等的條件：相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等；對應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量由此可建立相等關(guān)系求某些參數(shù)的值跟蹤訓(xùn)練3已知向量a(2,1)， b(1， 2)，若 ma nb(9， 8)(m，nr)，則 mn 的值為 _答案 3 解析 a(2,1)，b(1， 2)，manb(

11、2mn，m2n)(9， 8)，即2mn9，m2n 8，解得m2，n5，故 mn25 3. 1設(shè)平面向量a (3,5)，b (2,1)，則 a2b 等于 () a(7,3) b(7,7) c (1,7) d(1,3) 答案a 2已知向量 oa(3， 2)，ob( 5， 1)，則向量12ab的坐標(biāo)是 () a.4，12b. 4，12c(8,1) d (8,1) 答案a 解析 aboboa (8,1)，12ab 4，12. 3已知四邊形abcd 的三個(gè)頂點(diǎn)a(0,2)，b( 1， 2)，c(3,1)，且 bc 2ad，則頂點(diǎn)d 的坐標(biāo)為 () a. 2，72b. 2，12c(3,2) d (1,3)

12、 答案a 解析設(shè) d 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x， y)，則bc(4,3)，ad(x，y2)，由bc2ad，得4 2x，32 y2 ，x2y72， d 2，72. 4已知點(diǎn) a(0,1)，b(3,2)，向量 ac(4， 3)，則向量 bc等于 () a( 7， 4) b (7,4) c(1,4) d (1,4) 答案a 解析ab(3,1)，ac( 4， 3)，bcacab(4， 3)(3,1)(7， 4)5 如圖，在 66 的方格紙中， 若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a， b， c滿足 c xayb(x， yr)，則 xy_. 答案197解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)小方格的邊長為1，則可得a(1,2)

13、，b(2， 3)，c(3,4)cxayb，3x2y，42x3y，解得x177，y27.因此 xy197. 1 向量的正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)向量的坐標(biāo)表示，溝通了向量“數(shù)”與“ 形”的特征，使向量運(yùn)算完全代數(shù)化2要區(qū)分向量終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)由于向量的起點(diǎn)可以任意選取，如果一個(gè)向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)就是這個(gè)向量的坐標(biāo)；若向量的起點(diǎn)不是原點(diǎn)，則向量的終點(diǎn)坐標(biāo)不是向量的坐標(biāo)，若a(xa， ya)，b(xb，yb)，則 ab(xbxa，ybya)3向量和、 差的坐標(biāo)就是它們對應(yīng)向量坐標(biāo)的和、差， 數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)與原來向量坐

14、標(biāo)的積一、選擇題1已知向量a(1,2)，b (1,0)，那么向量3ba 的坐標(biāo)是 () a( 4,2) b (4， 2) c(4,2) d (4， 2) 答案d 解析3ba 3(1,0)(1,2)(3,0)(1,2)(31， 02)(4， 2)，故選 d. 2已知 a12b(1,2)，ab(4， 10)，則 a等于 () a( 2， 2) b (2,2) c(2,2) d (2， 2) 答案d 3已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且 c1a2b，則 1， 2的值分別為 () a 2,1 b 1， 2 c2， 1 d 1,2 答案d 解析由1223，21324，解得1 1，22.

15、4在 ?abcd 中，已知 ad(3,7)，ab(2,3)，對角線ac，bd 相交于點(diǎn)o，則 co的坐標(biāo)是() a.12， 5b. 12， 5c.12， 5d.12，5答案b 解析co12ac12(abad) 12( 2,3)12(3,7) 12， 5 ，故選 b. 5已知向量a(5,2)，b(4， 3)，c (x， y)，若 3a2bc0，則 c等于 () a( 23， 12) b (23,12) c(7,0) d (7,0) 答案a 解析 a(5,2)，b(4， 3)，c(x， y)，且 3a2bc0，c2b3a2(4， 3) 3(5,2)(8 15， 66)(23， 12)6設(shè)向量 a(

16、1， 3)， b(2,4)，c(1， 2)，若表示向量4a,4b 2c,2(ac)，d 的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d 為() a(2,6) b(2,6) c(2， 6) d( 2， 6) 答案d 解析由題意知4a4b2c2(ac)d 0，d 6a4b4c 6(1， 3)4(2,4)4(1， 2)(684,18168)(2，6)二、填空題7如果將 oa32，12繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120 得到 ob，則 ob的坐標(biāo)是 _答案32，12解析因?yàn)?oa32，12所在直線的傾斜角為30 ， 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120 得到 ob所在直線的傾斜角為150 ，所以 a，b 兩點(diǎn)關(guān)于

17、y 軸對稱，由此可知b 點(diǎn)坐標(biāo)為32，12，故ob的坐標(biāo)是32，12. 8已知 a( 1， 2)， b(2,3)， c(2,0)，d(x，y)，且 ac 2bd，則 xy _. 答案112解析 ac(2,0)(1， 2)(1,2)，bd(x，y)(2,3)(x2，y 3)，又2bd ac，即 (2x4,2y6)(1,2)，2x4 1，2y62，解得x32，y 4，xy112. 9已知點(diǎn) a(4,0)，b(4,4)， c(2,6)，則 ac 與 ob 的交點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 _答案(3,3) 解析方法一由 o， p， b 三點(diǎn)共線， 可設(shè) op ob(4 ， 4 )， 則apopoa(4 4,4

18、)又acocoa(2,6)， 由 ap與ac共線，得(4 4) 64 (2)0，解得 34， 所以 op34ob(3,3)，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (3,3)方法二設(shè)點(diǎn) p(x，y)，則 op(x，y)，因?yàn)?ob(4,4)，且 op與ob共線，所以x4y4，即 xy. 又ap(x4， y)，ac(2,6)，且 ap與ac共線，所以 (x4)6y(2) 0，解得 xy3，所以點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 (3,3)10 已知點(diǎn) a(3， 4)與 b( 1,2)， 點(diǎn) p 在直線 ab 上， 且 |ap| 2|pb|， 則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 _答案13，0 或(5,8) 解析設(shè)點(diǎn) p 坐標(biāo)為 (x， y)， |ap

19、| 2|pb|. 當(dāng)點(diǎn) p 在線段 ab 上時(shí)， ap2pb，即(x3，y 4)2(1 x,2y)，x3 22x，y442y，解得x13，y0.點(diǎn) p 的坐標(biāo)為13，0 . 當(dāng)點(diǎn) p 在線段 ab 的延長線上時(shí)，ap 2pb. (x3，y 4) 2(1x,2y)，即x322x，y 4 42y，解得x 5，y8.點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 (5,8)綜上所述，點(diǎn)p 的坐標(biāo)為13，0 或(5,8)11已知 a(2,1)，b( 1,3)，c(1,2)， 求 p2a3bc，則用基底a， b 表示 p為_答案p197a247b解析p2a 3bc2(2,1)3(1,3)(1,2) (4,2) (3,9)(1,2) (2,13)設(shè) pxayb，則有2xy2，x 3y13，解得x197，y247.p197a247b. 三、解答題12已知點(diǎn)a(1,2)，b(2,8)及ac13ab，da13ba，求點(diǎn) c， d 和cd的坐標(biāo)解設(shè)點(diǎn) c(x1，y1)， d(x2，y2)，由題意可