高中數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修4人教B版全國(guó)通用版：第三章三角恒等變換3.1.2

1、31.2兩角和與差的正弦學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式.2.會(huì)用兩角和與差的正、余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、計(jì)算等.3.能利用輔助角公式研究形如f(x)asin xbcos x 的函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一兩角和與差的正弦思考 1如何利用兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式得到兩角和的正弦公式？答案sin( )cos2 cos2cos2cos sin2sin sin cos cos sin . 思考 2怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式？答案用 代換 ，即可得sin( )sin cos cos sin . 梳理兩角和與差的正弦公式內(nèi)容兩角和的正弦兩角差的正弦簡(jiǎn)記

2、符號(hào)ss公式形式sin( )sin cos cos sin sin ( )sin cos cos sin 記憶口訣： “正余余正，符號(hào)相同”知識(shí)點(diǎn)二輔助角公式思考 1asin xbcos x 化簡(jiǎn)的步驟有哪些？答案(1)提常數(shù)，提出a2b2得到a2b2aa2 b2sin xba2b2cos x. (2)定角度，確定一個(gè)角滿(mǎn)足：cos aa2b2，sin ba2b2或 sin aa2b2，cos ba2b2.一般為特殊角4，3等 ，則得到a2b2(cos sin xsin cos x)(或a2 b2(sin sin xcos cos x)(3)化簡(jiǎn)、 逆用公式得asin xbcos xa2b2s

3、in(x )(或 asin xbcos xa2b2cos(x )思考 2在上述化簡(jiǎn)過(guò)程中，如何確定 所在的象限？答案所在的象限由a 和 b 的符號(hào)確定梳理輔助角公式asin x bcos xa2b2sin(x )a2b2cos(x )其中cos aa2b2，sin ba2b2，sin aa2b2，cos ba2b2， ，稱(chēng)為輔助角，它的終邊所在象限由點(diǎn)(a，b)決定1任意角 ， ，都有 sin( )sin cos cos sin .() 提示由兩角和的正弦公式知結(jié)論正確2存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin .() 提示由兩角差的正弦公式知不存在角 ， ，使 sin(

4、)sin cos cos sin . 3存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin .() 提示如 0 時(shí)， sin( )0，sin cos cos sin 0. 4輔助角公式asin x bcos xa2b2sin(x )，其中 所在的象限由a，b 的符號(hào)決定， 與點(diǎn) (a，b)同象限 () 5sin x3cos x2sin x6.() 提示sin x3cos x212sin x32cos x 2sin x3. 類(lèi)型一給角求值例 1(1)化簡(jiǎn)求值： sin(x 27 )cos(18 x)sin(63 x) sin(x18 )解原式 sin(x27 )cos(18 x)cos

5、(x27 ) sin(x18 ) sin(x 27 )cos(18 x)cos(x27 )sin(18x) sin(x27 )(18 x) sin 45 22. (2)sin 50sin 20cos 30 cos 20 _. 答案12解析原式sin 20 30 sin 20cos 30 cos 20 sin 20cos 30 cos 20 sin 30sin 20cos 30 cos 20 cos 20 sin 30cos 20 sin 30 12. 反思與感悟(1)解答此類(lèi)題目一般先要用誘導(dǎo)公式把角化正化小，化切為弦， 統(tǒng)一函數(shù)名稱(chēng)，然后根據(jù)角的關(guān)系和式子的結(jié)構(gòu)選擇公式(2)解題時(shí)應(yīng)注意觀察

6、各角之間的關(guān)系，恰當(dāng)運(yùn)用拆角、拼角技巧，以達(dá)到正負(fù)抵消或可以約分的目的，從而使問(wèn)題得解跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算： (1)sin 14cos 16 sin 76 cos 74 ；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54 x)sin(36x)解(1)原式 sin 14 cos 16 sin(90 14 )cos(90 16 ) sin 14 cos 16 cos 14 sin 16 sin(14 16 )sin 30 12. (2)原式 sin(54 x)(36 x)sin 90 1. 類(lèi)型二給值求值 (角) 例 2已知 sin34513，cos435，且 0 4 34，求 cos( )解0 4

7、34，3434 ，24 0. 又sin34513，cos435，cos341213，sin445. cos( )sin2 sin344sin34cos4cos34sin451335 1213 453365. 反思與感悟(1)給值 (式)求值的策略：當(dāng)“已知角 ”有兩個(gè)時(shí)， “所求角 ” 一般表示為兩個(gè)“已知角 ”的和或差的形式當(dāng)“已知角 ”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角 ”與“已知角 ”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角 ”變成 “已知角 ”(2)給值求角本質(zhì)上為給值求值問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)注意對(duì)角的范圍加以討論，以免產(chǎn)生增解或漏解跟蹤訓(xùn)練2已知 0，2， 2，0 ，且 cos( )35，s

8、in 210，求 的值解 0，2， 2，0 ， (0， )cos( )35，sin( )45. 2，0 ，sin 210，cos 7 210. sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 4572103521022. 又 0，2， 4. 類(lèi)型三輔助角公式例 3將下列各式寫(xiě)成asin(x )的形式(1)3sin xcos x；(2)24sin4x 64cos4 x . 解(1)3sin xcos x232sin x12cos x2 cos 6sin xsin 6cos x2sinx6. (2)原式2212sin4x 32cos4x22sin 6sin4x cos 6cos4x2

9、2cos4x622cos12x 22sin x512. 反思與感悟輔助角公式asin xbcos xa2b2 sin(x )可以把含sin x， cos x 的一次式化為 asin(x )的形式， 其中 所在象限由點(diǎn)(a，b)決定， 大小由 tan ba確定 研究形如f(x)asin xbcos x 的函數(shù)的性質(zhì)都要用到該公式跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)3cos 2xsin 2x， xr. (1)求 f(x)的最小正周期與值域；(2)求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)f(x) sin 2x3cos 2x 212sin 2x32cos 2x 2 sin 2xcos3cos 2xsin3 2sin

10、2x3，xr. 最小正周期t22 ，函數(shù)的值域?yàn)?,2(2)由 2k 22x32k 32，kz，得 k 512xk 1112，kz. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為k 512，k 1112(kz). 1計(jì)算2cos 126sin 12的值是 () a.2 b 2 c22 d.22答案b 解析2cos 126sin 122 212cos 1232sin 1222 sin 6cos 12cos 6sin 1222sin61222sin 42. 2sin 20cos 10 cos 160 sin 10等于 () a32b.32c12d.12答案d 解析sin 20 cos 10 cos 160 sin 10

11、sin 20 cos 10 cos 20 sin 10 sin 30 12. 3計(jì)算 sin 43cos 13 cos 43 sin 13的結(jié)果等于 _答案12解析原式 sin(43 13 ) sin 30 12. 4化簡(jiǎn)： cos3sin6_. 答案cos 解析cos3 sin6sin6sin6 2sin 6cos cos . 5化簡(jiǎn)： sin43x cos33x cos6 3x sin43x . 解原式 sin43x cos33x sin33x cos43x sin4 3x 33xsin43sin 4cos 3cos 4sin 322122232264. 1公式的推導(dǎo)和記憶(1)理順公式間

12、的邏輯關(guān)系c 誘導(dǎo)公式s以 代換s. (2)注意公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律對(duì)于公式c，c可記為 “同名相乘，符號(hào)反”；對(duì)于公式s，s可記為 “異名相乘，符號(hào)同”(3)符號(hào)變化是公式應(yīng)用中易錯(cuò)的地方，特別是公式c ，c ，s ，且公式 sin( ) sin cos cos sin ，角 ， 的“地位 ”不同也要特別注意2應(yīng)用公式需注意的三點(diǎn)(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創(chuàng)造條件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表示出來(lái)，使之能直接運(yùn)用公式(3)注意常值代換：用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)公式，其

13、中特別要注意的是 “1” 的代換，如1sin2 cos2 ，1sin 90 ，12cos 60 ，12sin 30 等，再如： 0，12，22，32等均可視為某個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù). 一、選擇題1已知 2，sin 435，則 sin 等于 () a.210b.7 210c210或7 210d7 210答案b 解析由 2，得34 454，所以 cos 41 sin2 4135245. 所以 sin sin 44sin 4cos 4cos 4sin 42235457210，故選 b. 2sin 10cos 20 sin 80sin 20等于 () a32b12c.12d.3

14、2答案c 解析sin 10 cos 20 sin 80 sin 20 sin 10 cos 20 cos 10 sin 20 sin(10 20 )sin 30 12，故選 c. 3在 abc 中， a4，cos b1010，則 sin c 等于 () a.255b255c.55d55答案a 解析sin csin (ab)sin(ab) sin acos bcos asin b22(cos b1 cos2b) 221010310102 55. 4已知 0 2 ，又 sin 35， cos( )45，則 sin 等于 () a0 b 0 或2425c.2425d0 或2425答案c 解析 0 2

15、 ，sin 35，cos( )45，cos 45，sin( )35或35. sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 2425或 0. 2 ， sin 2425. 5在 abc 中，若 sin a2sin bcos c，則 abc 是() a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d等腰三角形答案d 解析 a180 (bc)，sin asin(bc) 2sin bcos c. 又sin(bc)sin bcos ccos bsin c，sin bcos ccos bsin csin(bc)0. bc，故 abc 為等腰三角形6已知 cos 6sin 4 35，則 sin 76的值為

16、 () a235b.2 35c45d.45答案c 解析 cos 6sin 4 35，cos cos 6sin sin 6sin 435，32cos 32sin 4 35，即12cos 32sin 45，sin645，sin 76 sin 645. 二、填空題7sin 15sin 75的值是 _答案62解析sin 15 sin 75 sin(45 30 )sin(45 30 ) 2sin 45 cos 30 62. 8已知 cos 3sin 3，則 tan _. 答案1 9 定義運(yùn)算abcd adbc.若 cos 17，sin sin cos cos 3 314， 0 2， 則 _. 答案3解析

17、由題意，得sin cos cos sin 3314，sin( )3 314.0 2，cos( )1271961314. 又由 cos 17，得 sin 4 37. cos cos ( )cos cos( )sin sin( )1713144 373 31412. 3. 10.sin 27cos 45 sin 18cos 27 sin 45sin 18 _. 答案1 解析原式sin 45 18 cos 45 sin 18cos 45 18 sin 45sin 18sin 45cos 18 cos 45 sin 18cos 45 sin 18cos 45 cos 18 sin 45sin 18si

18、n 45sin 18tan 45 1. 11函數(shù) f(x) sin(x2 )2sin cos(x )的最大值為 _答案1 解析因?yàn)?f(x)sin(x2 )2sin cos(x ) sin(x ) 2sin cos(x ) sin(x )cos cos(x )sin 2sin cos(x ) sin(x )cos cos(x )sin sin(x ) sin x，所以 f(x)的最大值為1. 三、解答題12已知 sin 55，sin( )1010， ， 均為銳角，求的值解為銳角， sin 55，cos 2 55. 2 2且 sin( )1010，cos( )3 1010，sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 10102553101