講義精品一元二次方程講義精品

1、學(xué)而思教育暑假數(shù)學(xué)第一講一元二次方程 主講：郭建康考點(diǎn)一、概念(1)內(nèi)容：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達(dá)式：（3）關(guān)鍵點(diǎn)：強(qiáng)調(diào)對(duì)最高次項(xiàng)的討論：次數(shù)為“2”；系數(shù)不為“0”。典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 變式：當(dāng)k時(shí)，關(guān)于x的方程是一元二次方程。例2、方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為。針對(duì)練習(xí)：1、方程的一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是。2、若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是?？键c(diǎn)二、方程的解內(nèi)容：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題

2、：例1、已知的值為2，則的值為。例2、關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為0，則a的值為。說(shuō)明：任何時(shí)候，都不能忽略對(duì)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)的限制.例3、已知關(guān)于x的一元二次方程的系數(shù)滿足，則此方程必有一根為。說(shuō)明：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì) “代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“-1”巧解代數(shù)式的值。例4、已知，求變式：若，則的值為。針對(duì)練習(xí)：1、已知方程的一根是2，則k為，另一根是。2、已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式。3、已知是的根，則。4、方程的一個(gè)根為（ ）A B 1 C D 5、若。作業(yè)：1、若方程是關(guān)于x的一元一次方程，求m的值；寫(xiě)出關(guān)于x的一元一次方程。2、已知關(guān)于x的方程的一個(gè)解及方程的解相同

3、。求k的值；方程的另一個(gè)解?？键c(diǎn)三、解法方法：直接開(kāi)方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點(diǎn)：降次類型一、直接開(kāi)方法：對(duì)于，等形式均適用直接開(kāi)方法典型例題：例1、解方程：=0; 例2、若，則x的值為。針對(duì)練習(xí)：1、下列方程無(wú)解的是（ ）A. B. C. D.類型二、因式分解法:方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如， ，典型例題：例1、的根為（ ）A B C D 例2、若，則4x+y的值為。變式1：。變式2：若，則x+y的值為。變式3：若，則x+y的值為。例3、方程的解為（ ）A. B. C. D.例4、解方程：例5、已知,則的值為。變式：已知,且,則的值為。針對(duì)練

4、習(xí)：1、下列說(shuō)法中：方程的二根為，則方程可變形為正確的有（ ）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2、寫(xiě)出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)：寫(xiě)出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù)：3、若實(shí)數(shù)x、y滿足，則x+y的值為（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或24、方程：的解是。類型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問(wèn)題。典型例題：例1、試用配方法說(shuō)明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、已知x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的最小值。變式：若，則t的最大值為，最小值為。例3、已知為實(shí)數(shù)，求的值。變式1：已

5、知，則.變式2：如果,那么的值為。類型四、公式法條件：公式： ,典型例題：例1、選擇適當(dāng)方法解下列方程：說(shuō)明：解一元二次方程時(shí)，首選方法是因式分解法和直接開(kāi)方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法?？键c(diǎn)四、根的判別式根的判別式的作用：定根的個(gè)數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是。例2、關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是( )A. B. C. D.例3、已知二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，試求的值.說(shuō)明：若二次三項(xiàng)式為一個(gè)完全平方式，則其相應(yīng)方程的判別式即：若，則二次三項(xiàng)式為完全平方式；反之，若為完全平方式，則.針對(duì)練習(xí)：1、當(dāng)k時(shí)

6、，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式是完全平方式。2、已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是.考點(diǎn)五、根及系數(shù)的關(guān)系前提：對(duì)于而言，當(dāng)滿足、時(shí)，才能用韋達(dá)定理。主要內(nèi)容：應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)恰是方程的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊是（ ）A. B.3 C.6 D.說(shuō)明：要能較好地理解、運(yùn)用一元二次方程根及系數(shù)的關(guān)系，必須熟練掌握、之間的運(yùn)算關(guān)系.例2、解方程組：說(shuō)明：一些含有、的二元二次方程組，除可以且代入法來(lái)解外，往往還可以利用根及系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問(wèn)題.有時(shí)，后者顯得更為簡(jiǎn)便.例3、已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（1）求

7、k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。典型例題：1、關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m為,只有一個(gè)根，則m為。 2、解方程，判斷關(guān)于x的方程根的情況。3、如果關(guān)于x的方程及方程均有實(shí)數(shù)根，問(wèn)這兩方程是否有相同的根？若有，請(qǐng)求出這相同的根及k的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由?？键c(diǎn)六：一元二次方程應(yīng)用題典型例題一例 某公司八月份售出電腦200臺(tái)，十月份售出242臺(tái)，這兩個(gè)月平均每有增長(zhǎng)的百分率是多少？分析 設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x.那么九月份售出電腦臺(tái)，即臺(tái)，十月份售出臺(tái)，即臺(tái)，于是根據(jù)題意，可以列出方程.解：設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x.依題意

8、，有（不符合題意，舍去）答：平均每月增長(zhǎng)的百分率為10%.說(shuō)明 在有關(guān)增長(zhǎng)率的問(wèn)題中，要掌握等量關(guān)系：，其中a為變化前的數(shù)，如本題中的200臺(tái)，p為變化后的數(shù)，如本題中的242臺(tái)，x為增長(zhǎng)（降低）率，n為變化次數(shù)，如本題從八月到十月份共變化兩次，因此.典型例題二例 某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長(zhǎng)21%，平均每年比上一年增長(zhǎng)的百分率為.解 設(shè)平均增長(zhǎng)率為，則%.（不合題意，舍去）.=10%.說(shuō)明：本題主要考查利用一元二次方程求平均數(shù)增長(zhǎng)率的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，列出方程.典型例題四例 （安徽省，2019）如圖，要建一個(gè)面積為150的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)約材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一條

9、墻，墻長(zhǎng)為米，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長(zhǎng)為35米.（1）求雞場(chǎng)的長(zhǎng)及寬各為多少？（2）題中，墻的長(zhǎng)度對(duì)題目的解起著怎樣的作用？解 （1）設(shè)雞場(chǎng)的寬為米，則當(dāng)寬為10米時(shí)，長(zhǎng)為35-20=15米.當(dāng)寬為米時(shí)，長(zhǎng)為35-15=20米.（2）由（1）的結(jié)果可知，題中的墻長(zhǎng)對(duì)于問(wèn)題的解有嚴(yán)格的限制作用.當(dāng)時(shí)，問(wèn)題無(wú)解；當(dāng)時(shí)，問(wèn)題有一解，只可建寬為10米，長(zhǎng)15米一種規(guī)格的雞場(chǎng)；當(dāng)時(shí)，問(wèn)題有兩解，可建寬10米，長(zhǎng)15米，或?qū)挒槊?，長(zhǎng)為20米兩種規(guī)格的雞場(chǎng).說(shuō)明：本題考查利用一元二次方程解及面積有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，解題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，表示出長(zhǎng)及寬，根據(jù)面積公式列出方程，易錯(cuò)點(diǎn)是在討論的限制作用時(shí)漏解或

10、敘述不清.典型例題五例將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元出售時(shí)，能賣500個(gè)，已知該商品每漲價(jià)1元，其銷售量就要減少10個(gè)，為了賺8000元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？分析：該題屬于經(jīng)營(yíng)問(wèn)題.設(shè)商品單價(jià)為元，則每個(gè)商品得利潤(rùn)元，因?yàn)槊繚q價(jià)1元，其銷售量會(huì)減少10個(gè)，則每個(gè)漲價(jià)元，其銷售量會(huì)減少個(gè)，故銷售量為個(gè)，為了賺得8000元利潤(rùn)，則應(yīng)有，進(jìn)而可以求解.解設(shè)每個(gè)商品漲價(jià)元，則銷售價(jià)為元，銷售量為個(gè).根據(jù)題意，得整理，得解之，得，.經(jīng)檢驗(yàn)，都符合題意.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，答：要想賺8000元，售價(jià)應(yīng)定為60元或80元，若售價(jià)為60元，則進(jìn)貨量應(yīng)為400個(gè)；若售價(jià)為80元，則進(jìn)貨量應(yīng)為200個(gè)

11、.說(shuō)明：根據(jù)題意列出相應(yīng)的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.對(duì)于本題要注意單價(jià)的上漲及銷售量的減少之間的相互關(guān)系.典型例題六例 某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購(gòu)物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率。分析：可設(shè)存款的年利率為，依題意，以本利和為主線列方程解之。解設(shè)這種存款的年利率為，則2000元存入一年后，應(yīng)得本金和利息為元，支取1000元后，還有元，再存入一年后，本息應(yīng)為元，依題意，得整理，得（所得結(jié)果要符合實(shí)際意義）解之，得，（不合題意，舍去）.答：這種存款方式的年利率為.說(shuō)明：存款利率是一種典型的應(yīng)用題，此類題一般年利率為未知數(shù)，依存款本利和列方程解之。典型例題七例“坡耕地退耕還林還草”是國(guó)家對(duì)解決西部地區(qū)水土流失生態(tài)問(wèn)題，幫助廣大農(nóng)民脫貧致富提出的一項(xiàng)戰(zhàn)略措施，某村長(zhǎng)為帶領(lǐng)全村群眾自覺(jué)投入坡耕地退耕還林行動(dòng)，率先垂范，2019年將自家的坡耕地全部退耕，并于當(dāng)年承包20畝坡耕地的還林還草及管護(hù)任務(wù)，而實(shí)際完成的畝數(shù)增加的百分率為.如果保持這一增長(zhǎng)率不變，2000年村長(zhǎng)可完成28.8畝坡耕地還林還草的任務(wù).