高等數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、. . jz* 高等數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章函數(shù)與極限（一） 函數(shù)1、 函數(shù)定義及性質(zhì)有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性；2、 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、 初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、 函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)點(diǎn)；函數(shù))(xf在0 x連續(xù))()(lim00 xfxfxx第一類：左右極限均存在。連續(xù)點(diǎn)可去連續(xù)點(diǎn)、跳躍連續(xù)點(diǎn)第二類：左右極限、至少有一個(gè)不存在。無(wú)窮連續(xù)點(diǎn)、振蕩連續(xù)點(diǎn)5、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)： 有界性與最大值最小值定理、 零點(diǎn)定理、介值定理及其推論。（二） 極限1、定義1）數(shù)列極限. . jz* axnnnaxnnn, 0lim2）函

2、數(shù)極限axfxxxaxfxx)(0, 0, 0)(lim00時(shí)，當(dāng)左極限：)(lim)(00 xfxfxx右極限：)(lim)(00 xfxfxx)()()(lim000 xfxfaxfxx存在2、極限存在準(zhǔn)那么1）夾逼準(zhǔn)那么：1)(0nnzxynnn2azynnnnlimlimaxnnlim2）單調(diào)有界準(zhǔn)那么：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。3、無(wú)窮小大量1）定義：假設(shè)0lim那么稱為無(wú)窮小量； 假設(shè)lim那么稱為無(wú)窮大量。2）無(wú)窮小的階：高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小、k階無(wú)窮小th1)(o; . . jz* th2limlimlim,存在，則無(wú)窮小代換4、求極限的方法1）單調(diào)有界準(zhǔn)那么；2）夾

3、逼準(zhǔn)那么；3）極限運(yùn)算準(zhǔn)那么及函數(shù)連續(xù)性；4）兩個(gè)重要極限：a)1sinlim0 xxxb)exxxxxx)11(lim)1 (lim105）無(wú)窮小代換：0 xa)xxxxxarctanarcsintansinb)221cos1xxc)xex1axaxln1d)xx )1ln(axxaln)1 (loge)xx1)1(第二章導(dǎo)數(shù)與微分. . jz* （一） 導(dǎo)數(shù)1、定義：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx左導(dǎo)數(shù)：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx右導(dǎo)數(shù)：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx函數(shù))(xf在0 x點(diǎn)可導(dǎo))()(00 xfxf2、幾何意義：)(

4、0 xf為曲線)(xfy在點(diǎn))(,00 xfx處的切線的斜率。3、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、求導(dǎo)的方法1） 導(dǎo)數(shù)定義；2） 根本公式；3） 四那么運(yùn)算；4） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒敲?；5） 隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6） 參數(shù)方程求導(dǎo)；7） 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。5、高階導(dǎo)數(shù). . jz* 1）定義：dxdydxddxyd222）leibniz 公式：nkknkknnvucuv0)()()(（二） 微分1） 定義：)()()(00 xoxaxfxxfy，其中a與x無(wú)關(guān)。2） 可微 與可 導(dǎo)的 關(guān)系 ：可微可導(dǎo) ，且dxxfxxfdy)()(00第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一） 中值定理1、 rolle定理：假設(shè)函數(shù)

5、)(xf滿足：1 ,)(bacxf；2 ),()(badxf；3 )()(bfaf；那么0)(),(fba使. 2、 lagrange中值定理：假設(shè)函數(shù))(xf滿足：1,)(bacxf；2),()(badxf；那么)()()(),(abfafbfba使. . . jz* 3、 cauchy中值定理：假設(shè)函數(shù))(),(xfxf滿足：1,)(),(bacxfxf；2),()(),(badxfxf； 3),(, 0)(baxxf那么)()()()()()(),(ffafbfafbfba使（二） 洛必達(dá)法那么1、盡量先化簡(jiǎn)（有理化、無(wú)窮小代換、分離非零因子）再用洛必達(dá)法則！注意 :如：xxxx420t

6、ancos1lim2、對(duì)于某些數(shù)列極限問(wèn)題，可化為連續(xù)變量的極限，然后用洛必達(dá)法則！nnnnba2lim如：. . jz* （三） taylor公式n階 taylor 公式：10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(! 2)()()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf在0 x與x之間. 當(dāng)00 x時(shí)，成為n階麥克勞林公式：1)1()(2)!1()(!)0(! 2)0(! 1)0()0()(nnnnxnfxnfxfxffxf在0與x之間. 常見函數(shù)的麥克勞林公式：112)!1(!1! 211nnxxnexnxxe. . jz* 在0與x之間，x；212121

7、753)!12(2)12(sin)!12() 1(! 7! 5! 3sinmmmxmmmxxxxxx在0與x之間，x；3mmmxmmmxxxxx2221642)!2(22cos)!22()1(! 6! 4! 21cos在0與x之間，x；4111432)1)(1()1()1(432)1ln(nnnnnnxnxxxxxx在0與x之間，11x5nxnnxxxx!) 1() 1(! 3)2)(1(! 2) 1(1)1(32. . jz* 11)!1()1)() 1(nnxnn，在0與x之間，11x. （四） 單調(diào)性及極值1、 單調(diào)性判別法：,)(bacxf，),()(badxf，那么假設(shè)0)(xf，那

8、么)(xf單調(diào)增加；那么假設(shè)0)(xf，那么)(xf單調(diào)減少。2、 極值及其判定定理：a)必要條件：)(xf在0 x可導(dǎo)，假設(shè)0 x為)(xf的極值點(diǎn)，那么0)(0 xf. b) 第一充分條件：)(xf在0 x的鄰域可導(dǎo)，且0)(0 xf，那么假設(shè)當(dāng)0 xx時(shí)，0)(xf，當(dāng)0 xx時(shí)，0)(xf，那么0 x為極大值點(diǎn)； 假設(shè)當(dāng)0 xx時(shí)，0)(xf，當(dāng)0 xx時(shí)，0)(xf，那么0 x為極小值點(diǎn)；假設(shè)在0 x的兩側(cè))(xf不變號(hào)，那么0 x不是極值點(diǎn)。c)第二充分條件：)(xf在0 x處二階可導(dǎo)，且0)(0 xf，0)(0 xf，那么假設(shè)0)(0 xf，那么0 x為極大值點(diǎn)；假設(shè)0)(0 x

9、f，那么0 x為極小值點(diǎn)。. . jz* 3、 凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)1)(xf在區(qū)間i上連續(xù)， 假設(shè)2)()()2(,212121xfxfxxfixx，那 么 稱)(xf在 區(qū) 間i上 的 圖 形 是 凹 的 ； 假 設(shè)2)()()2(,212121xfxfxxfixx， 那么稱)(xf在區(qū)間i上的圖形是凸的。2判定定理：)(xf在,ba上連續(xù)，在),(ba上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，那么a) 假設(shè)0)(),(xfbax,那么)(xf在,ba上的圖形是凹的；b) 假設(shè)0)(),(xfbax,那么)(xf在,ba上的圖形是凸的。3拐點(diǎn)：設(shè))(xfy在區(qū)間i上連續(xù)，0 x是)(xf的點(diǎn)，如果曲線)(xfy

10、經(jīng)過(guò)點(diǎn))(,(00 xfx時(shí)，曲線的凹凸性改變了，那么稱點(diǎn))(,(00 xfx為曲線的拐點(diǎn)。（五） 不等式證明1、 利用微分中值定理；2、 利用函數(shù)單調(diào)性；. . jz* 3、 利用極值最值。（六） 方程根的討論1、 連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、 rolle定理；3、 函數(shù)的單調(diào)性；4、 極值、最值；5、凹凸性。（七） 漸近線1、 鉛直漸近線：)(limxfax，那么ax為一條鉛直漸近線；2、 水平漸近線：bxfx)(lim，那么by為一條水平漸近線；3、 斜 漸 近 線 ：kxxfx)(limbkxxfx)(lim存在 ， 那 么bkxy為一條斜漸近線。（八） 圖形描繪步驟: 1. 確定函數(shù))(

11、xfy的定義域，并考察其對(duì)稱性及周期性；2. 求)(),(xfxf并求出)(xf及)(xf為零和不存在的點(diǎn)；3. 列表判別函數(shù)的增減及曲線的凹向, 求出極值和拐點(diǎn) ; . . jz* 4. 求漸近線 ; 5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形 . 第四章不定積分（一） 概念和性質(zhì)1、原函數(shù)：在區(qū)間i上，假設(shè)函數(shù))(xf可導(dǎo)，且)()(xfxf，那么)(xf稱為)(xf的一個(gè)原函數(shù)。2、不定積分：在區(qū)間i上，函數(shù))(xf的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為)(xf在區(qū)間i上的不定積分。3、根本積分表 p188 ，13個(gè)公式 ；4、性質(zhì)線性性。（二） 換元積分法1、 第一類換元法湊微分：)()(d)()(x

12、uduufxxxf2、 第二類換元法變量代換：)(1d)()()(xttttfdxxf. . jz* （三） 分部積分法：vduuvudv（四） 有理函數(shù)積分1、 “拆；2、變量代換三角代換、倒代換等 。第五章定積分（一） 概念與性質(zhì)：1、定義：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性質(zhì)： 7 條性質(zhì) 7 積分中值定理函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上連續(xù)，那么,ba， 使)()(abfdxxfba 平 均 值 ：abdxxffba)()(（二） 微積分根本公式 nl 公式1、變上限積分：設(shè)xadttfx)()(，那么)()(xfx. . jz* 推廣：)()()()()()()(xxfxxf

13、dttfdxdxx2、n l公 式 ： 假 設(shè))(xf為)(xf的 一 個(gè) 原 函 數(shù) ， 那 么)()()(afbfdxxfba（三） 換元法和分部積分1、換元法：tttfdxxfbad)()()(2、分部積分法：bababavduuvudv（四） 反常積分1、無(wú)窮積分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf2、瑕積分：btatbadxxfdxxf)(lim)(a為瑕點(diǎn)tabtbadxxfdxxf)(lim)(b為瑕點(diǎn). . jz* 兩個(gè)重要的反常積分：1) 1,11,d1ppapxxpap2)1,1,1)()(d

14、)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq第六章定積分的應(yīng)用（一） 平面圖形的面積1、 直角坐標(biāo)：badxxfxfa)()(122、 極坐標(biāo)：da)()(212122. . jz* （二） 體積1、 旋轉(zhuǎn)體體積：a)曲邊梯形xbxaxxfy,),(軸，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：baxdxxfv)(2b)曲邊梯形xbxaxxfy,),(軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：baydxxxfv)(2柱殼法2、 平行截面面積的立體：badxxav)(（三） 弧長(zhǎng)1、 直角坐標(biāo)：badxxfs2)(12、 參數(shù)方程：dttts22)()(. . jz* 3、 極坐標(biāo)：ds22)()(第七章微分方程（

15、一） 概念1、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程。階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。2、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)。通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)一樣。特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解。（二） 變量可別離的方程dxxfdyyg)()(，兩邊積分dxxfdyyg)()(（三） 齊次型方程)(xydxdy，設(shè)xyu，那么dxduxudxdy；. . jz* 或)(yxdydx，設(shè)yxv，那么dydvyvdydx（四） 一階線性微分方程)()(xqyxpdxdy用常數(shù)變易法或用公式：cdxexqeydxxpdxxp)()()(（五） 可降階的高階微分方程1、)()(xfyn，兩邊積分n次；2、),(yxfy不顯含有y ，令py，那么py；3、),(yyfy不顯含有x ，令py，那么dydppy（六） 線性微分方程解的構(gòu)造1、21, yy是齊次線性方程的解，那么2211ycyc也是；2、21, yy是齊次線性方程的線性無(wú)關(guān)的特解，那么2211ycyc是方程的通解；3、*2211yycycy為非齊次方程的通解，其中21, yy為對(duì)應(yīng)齊次方程的線性無(wú)關(guān)的解，*y非齊次方程的特解。. . jz* （七） 常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程：0qyyp