畫法幾何之平面的投影基本知識

1、整理課件2.2.3 平面及平面曲線的投影平面及平面曲線的投影本節(jié)提要：（1）平面的表示法（2）平面對投影面的各種相對位置（3）平面上的點、直線（4）平面上的曲線和圖形（自學(xué)）整理課件1、平面的表示法、平面的表示法平面常以確定該平面的點、直線或平面圖形等幾何元素表示。aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd（1）不在）不在一直線上一直線上的三個點；的三個點；（3）相交相交兩直線；兩直線；（2）一直線一直線和和直線外直線外一點；一點；（4）平行平行兩直線；兩直線；（5）任意平面圖形。）任意平面圖形。整理課件2、平面對投影面的各種相對位置平面對投影面的各種相對位置平面一般位置

2、平面：對三個投影面H、V、W都傾斜投影面垂直面（只垂直于一個投影面）鉛垂面（H面，對V、W面都傾斜）正垂面（V面，對H、W面都傾斜）側(cè)垂面（W面，對H、V面都傾斜）投影面平行面（平行于一個投影面，垂直于另外兩個投影面）水平面（H面，V面，W面）正平面（V面，H面，W面）側(cè)平面（W面，H面，V面）其中投影面垂直面、投影面平行面統(tǒng)稱為特殊位置平面整理課件直線一般位置直線：對三個投影面H、V、W都傾斜投影面平行線（只平行于一個投影面）水平線（H面，對V、W面都傾斜）正平線（V面，對H、W面都傾斜）側(cè)平線（W面，對H、V面都傾斜）投影面垂直線（垂直于一個投影面，平行于另外兩個投影面）鉛垂線（H面， V

3、面， W面）正垂線（V 面， H面， W面）側(cè)垂線（W 面， H面， V面）平行線平行于一個投影面，傾斜于另兩個投影面。垂直線垂直于一個投影面，平行于另兩個投影面。特殊位置直線整理課件兩個平面之間的夾角：就是兩平面之間的兩面角，可用與兩平面都垂直的平面和它們相交所得到的兩相交線之間的平面角表示。平面與水平面H、正面V、側(cè)面W的夾角，稱為該平面對投影面H、V、W的傾角，仍用、表示。RQPOBA傾角=0，平面平行于投影面=90，平面垂直于投影面=090，平面傾斜于投影面整理課件H平面圖形的投影特性：當(dāng)平面圖形傾斜于投影面時，投影為面積縮小的類似形（或稱相仿形，可能一邊為真長，另兩邊短于真長）；當(dāng)平

4、面圖形垂直于投影面時，積聚成直線；當(dāng)平面圖形平行于投影面時，投影反映真形（三條邊反映真長）。ABCDEFabcdefGHIghi整理課件（1） 一般位置平面一般位置的平面圖形的投影特性：三個投影面的投影均為面積縮小的類似形。AXYZOBCaabcbcacbaabcbcacbXOYWYHZ整理課件1） 鉛垂面垂直于水平投影面 (3) abc與OX、OY的夾角反映、角的真實大小。PABC abcacb鉛垂面bac YWXZOYH投影特性： (1)abc積聚為一條直線。 (2)abc、abc為ABC的類似形。ab c（2） 投影面垂直面整理課件QACB2）正垂面垂直于正立投影面 (3)abc與OX、

5、OZ的夾角反映 、 角的真實大小。正垂面投影特性： (1)abc積聚為一條直線。 (2)abc、abc為ABC的類似形。c a b bacabcbacYWXZOYH（2） 投影面垂直面整理課件3）側(cè)垂面垂直于側(cè)立投影面 (3)abc與OY、OZ的夾角反映 、 角的真實大小。側(cè)垂面投影特性： (1)abc積聚為一條直線。 (2)abc、 abc為ABC的類似形。SCABab c abcbac ab cYWXZOYH（2） 投影面垂直面整理課件（2）投影面垂直面匯總整理課件投影面垂直面的投影特性：在垂直的投影面上的投影，積聚成直線，并反映與另兩投影面的傾角；在另兩投影面上的投影，為面積縮小的類似性

6、。整理課件XVHZWYO平面P與投影面的交線稱為平面的跡線，用平面名稱的大寫字母加投影面名稱字母的下標(biāo)標(biāo)注。平面與投影面H、V和W的交線分別稱為平面的水平跡線、正面跡線和側(cè)面跡線。跡線的符號用PH、PV和PW表示。PHPVPWP整理課件VHW投影面垂直面有積聚性，在這個投影面上的所有點、線和圖形都積聚在它的有積聚性的跡線上，且這條跡線一定傾斜于投影軸。ABCacbQHDd整理課件可以用投影面垂直面的一條有積聚性的跡線表示這個投影面垂直面。QHaaaOXYWYH鉛垂面的正面跡線可以表示這個鉛垂面。整理課件正垂面的正面跡線可以表示這個正垂面。dddOXYWYHRV側(cè)垂面的側(cè)面跡線可以表示這個側(cè)垂面

7、。dddOXYWYHSW整理課件1） 水平面平行于水平投影面水平面投影特性： (1) abc、abc積聚為一條直線。 (2)水平投影abc反映ABC實形。CABabcabccababcabcYWXZOYHabc（3） 投影面平行面整理課件abcCBA2）正平面平行于正立投影面正平面投影特性： (1) abc、abc積聚為一條直線。 (2)正面投影abc反映ABC實形。bacabcbacYWXZOYHabcbca（3） 投影面平行面整理課件3）側(cè)平面平行于側(cè)立投影面?zhèn)绕矫嫱队疤匦裕?(1) abc、 abc積聚為一條直線。 (2)側(cè)面投影abc反映ABC實形。CABabcacbbacbacYWX

8、ZOYHabcbac（3） 投影面平行面整理課件（3）投影面平行面匯總整理課件投影面平行面的投影特性：在平行的投影面上的投影，反映真形。在另兩投影面上的投影，分別積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。整理課件投影面平行面必定垂直于另兩個投影面，在另兩個投影面上的投影有積聚性。可以用一條或兩條有積聚性的跡線表示這個投影面平行面。整理課件3 、平面上的點、直線、平面上的點、直線（1）平面上的點和直線的幾何條件、投影特性平面上的點和直線的幾何條件是：平面上的點，必在該平面的一條直線上；反之，若點在平面上的某一直線上，則此點必在該平面上 。XOababccHABCMNnmnm整理課件 平面上的直線，必通過

9、平面上的兩點，反之，若經(jīng)過平面上任意兩點的直線必在該平面上。HABCMNXOababccnmnm 通過平面上的一點，且平行于平面上的另一條直線的直線必在該平面上。HABCNXOnnMccababmm整理課件 特殊位置平面上的點和直線的檢驗和作圖，常用它的有積聚性的投影或跡線。如圖點D的水平投影d位于正平面ABC的有積聚性的水平投影abc上，故而點D是正平面ABC上的點。直線EF的水平投影位于鉛垂面P的有積聚性的跡線PH上，故而EF是鉛垂面P上的直線。XOabcabcdd dXOPHefef整理課件一般位置平面上的點和直線的檢驗和作圖，常用上述幾何條件。直線DF通過平面ABC上的點D，且平行于平

10、面ABC上的另一直線BC，所以，DF也是平面ABC上的直線點D、E分別在直線AB、BC上點D、E都是平面ABC上的點DE是平面ABC上的直線baabcOcXffddee整理課件 先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例：已知例：已知K點在平面點在平面ABC上，求上，求K點的水平投影。點的水平投影。bacc a k b k 平面上取點的方法：首先面上取線平面上取點的方法：首先面上取線abcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解整理課件例例2.11 如圖所示，已知正垂面如圖所示，已知正垂面AB

11、C、點、點D和和E、直線直線DE的投影圖，檢驗點的投影圖，檢驗點D、E和直線和直線DE是否在是否在ABC平平面上。面上。OXabcdeabdec結(jié)論：點D在ABC平面上，點E和直線DE不在ABC平面上。整理課件OXabcdabcdef例例2.12 如圖所示，已知如圖所示，已知ABC和點和點D的兩面投影，的兩面投影，以及以及ABC平面上的直線平面上的直線EF的正面投影的正面投影ef，檢驗點，檢驗點D是是否在否在ABC平面上，并作出直線平面上，并作出直線EF的水平投影的水平投影ef。11OXabcdabcdef2323ef整理課件例例2.13 如圖所示，已知點如圖所示，已知點A、B和直線和直線CD

12、的兩面投的兩面投影，求作過點影，求作過點A的正平面，過點的正平面，過點B的與水平面的傾角為的與水平面的傾角為45的正垂面，過直線的正垂面，過直線CD的鉛垂面，并分別說明各有幾的鉛垂面，并分別說明各有幾解。解。OXabcdabcdPHQVRV4545TH一解 兩解 一解整理課件OXabcabc例例2.14 如圖所示，已知如圖所示，已知ABC，在，在ABC平面上取平面上取一點一點D，點，點D在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前10mm，作出，作出點點D的兩面投影。的兩面投影。OXabcabc15121210dd整理課件HPHC(c)D(d)ABPa1 平面上對某一投影面成最大傾角的直線

13、，稱為平面上對某一投影面的最大傾斜線。 平面上對某一投影面的最大傾斜線是與平面上的該投影面的平行線(AB)相垂直的直線(有無數(shù)條) 。明顯的1。最大傾斜線是與AC相平行的一系列直線。投影面最大傾斜線與該投影面的傾角，也就是平面對該投影面的傾角。整理課件4、平面上的曲線和圖形、平面上的曲線和圖形曲線可以看作是不斷改變方向的點的連續(xù)運動的軌跡。曲線的投影是曲線上諸點的投影的集合曲線平面曲線：所有的點都位于同一平 面上的曲線，如圓空間曲線：連續(xù)四點不在同一平面 上的曲線，如圓柱螺旋線平面曲線中圓在工程上應(yīng)用最廣，本文主要闡述圓的投影特性及畫法。整理課件（1） 平面曲線及其投影特性曲線所在的平面平行于

14、投影面時，在該投影面上的投影反映真形；平面曲線對投影面有三種不同的相對位置，分別具有不同的投影特性：整理課件曲線所在的平面垂直于投影面時，在該投影面上的投影成為一直線段；曲線所在的平面傾斜于投影面時，在該投影面上的投影成為形狀縮小的類似形。整理課件例例2.15 如圖所示，已知如圖所示，已知PQR及平面內(nèi)的平面曲線及平面內(nèi)的平面曲線AE的水平投影，求作這條平面曲線的正面投影。的水平投影，求作這條平面曲線的正面投影。b1cd2345f12345fbcdae整理課件（2） 圓及其投影特性正平圓的投影特性：V面上的投影反映真形；H面、W面上的投影為直線，并分別平行于OX軸和OZ軸，長度等于直徑，中點是

15、圓心C的投影c、c 。XOZYHYWccc整理課件鉛垂圓的投影長軸：長軸：鉛垂直徑CD的投影cd=D短軸：短軸：水平直徑AB的投影ab=Dcos整理課件鉛垂圓的投影特性：水平面上的投影成直線，該直線反映圓平面對V面的夾角，長度等于直徑，中點是圓心C的投影c。正面上的投影為一橢圓，長軸是這個鉛垂圓的唯一一條鉛垂直徑的正面投影，且反映真長，短軸是這個圓平面上與鉛垂直徑相垂直的直徑，長短軸的交點是橢圓的中心，也是圓心的投影。整理課件鉛垂圓的兩面投影及其作圖過程baOXdacbeecd整理課件從上述可歸納出圓的投影特性：在與圓平面平行的投影面上的投影反映真形。在與圓平面垂直的投影面上的投影成直線，長度

16、等于圓的直徑，中點是圓心的投影。在與圓平面傾斜的投影面上的投影是橢圓：橢圓的中心是圓心的投影；長軸是平行于這個投影面的直徑的投影，且反映真長；短軸是平行于投影面的直徑相垂直的直徑的投影。整理課件（3） 平面上的圖形作平面上的圖形可歸結(jié)成作平面上的點和直線。YWXaabcOZYH例例2.21 如圖所示，平如圖所示，平面面P為側(cè)垂面，與為側(cè)垂面，與H面的傾角面的傾角為為60，又知平面，又知平面P上的上的ABC的正面投影的正面投影abc和和點點A的水平投影的水平投影a、點、點B在點在點A的前下方，補全的前下方，補全ABC的的水平投影，作出它的側(cè)面投水平投影，作出它的側(cè)面投影。影。dddOXYWYHS

17、W整理課件YWXaabcOZYHaPwbbcc60作平面上的圖形可歸結(jié)成作平面上的點和直線。例例2.16 如圖所示，平如圖所示，平面面P為側(cè)垂面，與為側(cè)垂面，與H面的傾角面的傾角為為60，又知平面，又知平面P上的上的ABC的正面投影的正面投影abc和和點點A的水平投影的水平投影a、點、點B在點在點A的前下方，補全的前下方，補全ABC的的水平投影，作出它的側(cè)面投水平投影，作出它的側(cè)面投影。影。（3） 平面上的圖形整理課件OXabcdeabc例例2.17 如圖所示，已知平面五邊形如圖所示，已知平面五邊形ABCDE的水平的水平投影投影abcde以及兩邊以及兩邊AB、BC的正面投影的正面投影ab、bc

18、，補全，補全ABCDE的正面投影。的正面投影。OXabcdeabc1212de整理課件例：已知四邊形平面例：已知四邊形平面ABCD的的H投影投影abcd和和ABC的的V 投影投影abc，試完成其，試完成其V投影。投影。eedccbabadXO整理課件bckada d b c ada d b c k bc例：已知例：已知AC為正平線，補全平行四邊形為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平的水平投影。投影。解法一解法一解法二解法二整理課件OabbaXefefkjkj例例2.18 如圖所示，已知正方形如圖所示，已知正方形ABCD的左下邊的左下邊AB，正方形正方形ABCD與與H面的傾角面的傾角為為45；已知處于正平面位置；已知處于正平面位置的正方形的正方形EFGH的頂邊的頂邊EF；已知一般位置的正方形；已知一般位置的正方形IJKL的右前邊的右前邊JK，正方形，正方形IJKL的上、下邊的上、下邊KL、IJ為水平線。為水平線。分別補全這三個正方形分別補全這三個