高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)第八章圓錐曲線的方程理北師大版

1、第八章 圓錐曲線的方程1、已知f1、f2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段f1f2為邊作正三角形，若雙曲線恰好平分正三角形的另兩邊，則雙曲線的離心率是 （ ）a、b、c、d、mxynf21、d 【思路分析】法一：f2 (c , 0)，m (0 ,c) 依m(xù)f2中點(diǎn)n ()在雙曲線上，得=1即=1=1.注意到e >1，解得e =+1.法二：連nf1，則| nf1| =c，| nf2| = c.根據(jù)雙曲線的第一定義，有| nf1| - | nf2| = 2a.即c c = 2a e =+1.2下列命題中假命題是（ ） a離心率為的雙曲線的兩漸近線互相垂直 b過點(diǎn)（1，1）且與直線x2y+=0垂直的直線

2、方程是2x + y3=0 c拋物線y2 = 2x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1 d+=1的兩條準(zhǔn)線之間的距離為2解答：a：e = ，a = b，漸近線y = ±x 互相垂直，真命題。 b：設(shè)所求直線斜率為k，則k=2，由點(diǎn)斜式得方程為2x+y30 也為真命題c：焦點(diǎn)f（，0）準(zhǔn)線x = d = 1真命題d： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 2· 假命題，選d評(píng)析：考察圓錐曲線的基本知識(shí)，考察熟練程度。3.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，點(diǎn)p為該雙曲線在第一象限的點(diǎn)，pf1f2面積為1，且則該雙曲線的方程為ab cd3. a【思路分析】：設(shè)，則， 【命題分析】：

3、考察圓錐曲線的相關(guān)運(yùn)算4、已知點(diǎn)為橢圓上且位于在第三象限內(nèi)一點(diǎn)，且它與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，若點(diǎn)到直線的距離不大于3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )a.-7 ，8 b.， c.， d.(，)8 ，4、a ，設(shè)，則 ， ，, ， ，得 .5、在中，b(-2 ，0)，c(2 ，0)，a(x ，y)，給出滿足的條件，就能得到動(dòng)點(diǎn)a的軌跡方程，下面給出了一些條件及方程，請(qǐng)你用線把左邊滿足的條件及相應(yīng)的右邊a點(diǎn)的軌跡方程連起來：(錯(cuò)一條連線得0分)abc周長為10abc面積為10abc中a=90°abc中ab=ac (b) x2+y2=4 (y0) (c) x=0 (y0)(a) y2=25 (d)

4、(a)(b)(c)(d)5、 (d) ， (a) ， (b) (c) 6已知點(diǎn)p是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，設(shè)p到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為d1,到直線x+2y+10=0的距離為d2,則d1+d2的最不值為 （ ） a5b4c（d）6、 c【思路分析】：由于點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)p到焦點(diǎn)f的距離，所以過焦點(diǎn)f到直線x+2y+10=0的距離即是【命題分析】：考察拋物線的幾何性質(zhì)及距離的轉(zhuǎn)化思想7、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)p在雙曲線上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為 （ ） a、 b、 c、 d、27、（分析：，由 （已知） 又 故選b項(xiàng)）8動(dòng)圓c恒過定點(diǎn)(0，1)并總與y=-1相切，則此動(dòng)圓

5、圓心的軌跡方程為（ ）ay2=4xbx2=4ycy2=2xdx2=2y8b 思路分析：圓心到（0，1）的距離等于到y(tǒng)=-1的距離，則其軌跡為拋物線。命題分析：考查圓的知識(shí)及拋物線定義和四種方程形式。9若、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，點(diǎn)在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）abcd39c【思路分析】：由知四邊形是平行四邊形，又知平分，即是菱形，設(shè)，則. 又，由雙曲線的第二定義知：,且，故選.【命題分析】：考查圓錐曲線的第一、二定義及與向量的綜合應(yīng)用，思維的靈活性.10.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：設(shè)a、b為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為橢圓

6、；過定圓c上一定點(diǎn)a作圓的動(dòng)點(diǎn)弦ab，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為橢圓；到定直線和定點(diǎn)的距離之比為的點(diǎn)的軌跡是雙曲線的左半支；方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；其中真命題的序號(hào)為 （寫出所有真命題的10.11p分的比是x，b分的比是y，則p（x,y）所在的曲線是 （選填直線、拋物線、橢圓、雙曲線）abp···11解答：將ap分為x份，bp占1份， y = 填雙曲線 評(píng)析：考察定比分點(diǎn)概念與公式。難點(diǎn)是函數(shù)y = 的圖象為雙曲線。mbcpqa12如圖，b地在a地正東方向6km處，c地在b地的北偏東30°方向2km處，河流的沿岸pq（曲線）上任一

7、點(diǎn)到a的距離比到b的距離遠(yuǎn)4km，現(xiàn)要在曲線pq上選一處m，建一碼頭，向bc兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物，經(jīng)測算，從m到b、m到c修建公路費(fèi)用分別是20萬元/km、30萬元/km，那么修建這條路的總費(fèi)用最低是 mbcpqayxo12解答：以ab為x軸，ab的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。則c=3，a=2，b= 曲線pq的方程為 （x2） 點(diǎn)c（4，） 焦點(diǎn)b對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線l：x = 由雙曲線第二定義 30|mc|+20|mb|=30（|mc|+dml）30（4）=80（萬元） 填80（萬元）評(píng)析：用雙曲線第一定義求方程，巧用第二定義將|mb|轉(zhuǎn)化為 dml，求出當(dāng)且僅當(dāng)mcab時(shí)，dml+|mc|最短，使這條

8、路造價(jià)最低。13點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離和的最小值是.13【思路分析】：的準(zhǔn)線是. 到的距離等于到焦點(diǎn)的距離，故點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到=的距離之和的最小值為.【命題分析】：考查圓錐曲線的定義及數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)化的思想方法.14（本小題滿分12分）過點(diǎn)的直線與又曲線的下半支交于不同的兩點(diǎn)、，（1） 求直線斜率的取值范圍； （2） 過點(diǎn)與中點(diǎn)的直線在軸上的截距為，求的取值范圍。14 解：（1）設(shè)直線斜率為，方程為，代入雙曲線方程得 其方程兩根都為負(fù)數(shù) 解之得 5分(2)設(shè)中點(diǎn)，則 即則直線的方程為： 化簡得 7分即，而在上為單調(diào)減函數(shù) 12分15（12分）已知圓a的圓心為(，0)

9、，半徑為1，雙曲線c的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且與圓a相切，雙曲線c的一個(gè)頂點(diǎn)a'與點(diǎn)a關(guān)于直線yx對(duì)稱 求雙曲線c的方程； 設(shè)直線l過點(diǎn)a，斜率為k，當(dāng)0k1時(shí)，雙曲線c的上支上有且僅有一點(diǎn)b到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)點(diǎn)b的坐標(biāo)15. 設(shè)雙曲線的漸近線為ykx，則，解得k±1即漸近線為y±x又點(diǎn)a關(guān)于yx的對(duì)稱點(diǎn)a'的坐標(biāo)為(0，)，所以，ab，雙曲線的方程為 4分 直線l：yk(x)，(0k1)依題意設(shè)b點(diǎn)在與l平行的直線l'上，且l與l'間的距離為，設(shè)直線l'：ykxm，則，即m22km2 6分把l'代入雙曲線方程得

10、：(k21)x22mkxm220 0k1， k210 4(m22k22)0，即m22k22 8分解，得m，k 10分此時(shí)，x2，y，所以b(2，) 12分16、（本題滿分12分）已知：如圖，雙曲線，b是右焦點(diǎn)，f是左頂點(diǎn)，點(diǎn)a在軸正半軸上，且滿足成等比數(shù)列，過f作雙曲線c，在第一，第三象限的漸近線的垂線，垂足是。（1）求證：；（2）若與雙曲線的左、右兩支分別相交于點(diǎn)d、e，求雙曲線的離心率的取值范圍。16、解：（1）證法一： 解得成等比數(shù)列 ， 證法二：同上得， 軸，（2） 即 即 （本題主要考查圓錐曲線和向量知識(shí)的綜合運(yùn)用，將解析幾何的問題與平面向量的問題有機(jī)地結(jié)合起來，進(jìn)一步考查綜合解題的

11、年能力）17(本題滿分12分)已知點(diǎn)n（1，2），過點(diǎn)n的直線交雙曲線于a、b兩點(diǎn)，且 （1）求直線ab的方程； （2）若過n的直線l交雙曲線于c、d兩點(diǎn)，且，那么a、b、c、d四點(diǎn)是否共圓？為什么？17、【思路分析】：（1）設(shè)直線ab：代入得 （）2 令a（x1，y1），b（x2，y2），則x1、x2是方程的兩根 且 3 n是ab的中點(diǎn) 4 k = 1 ab方程為：y = x + 1 6 （2）將k = 1代入方程（）得 或 7 由得， ， 8 cd垂直平分ab cd所在直線方程為 即代入雙曲線方程整理得 9 令，及cd中點(diǎn) 則， ， |cd| =， ，即a、b、c、d到m距離相等 a、b、

12、c、d四點(diǎn)共圓12分18（12分）設(shè)r，i，j為直角坐標(biāo)系的單位向量，a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，|a|+|b|=8（1）求動(dòng)點(diǎn)m（x，y）的軌跡c的方程（2）過a（0，3）作直線l與曲線c交于a、b兩點(diǎn)，若是否存在直線l使得oapb為矩形，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由18解（1）a=xi+（y+2）j b=xi+（y+2）j |a|+|b|=8動(dòng)點(diǎn)m（x，y）是到定點(diǎn)f1（0，2），f2（0，2）的距離之和8曲線c的軌跡方程為（2）直線l過n（0，3），若l是y軸，則a，b是橢圓的頂點(diǎn)=+=0，p與o重合與oapb為矩形矛盾直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+

13、3 a（x1，y1）b（x2，y2）由得（4+3k2）x2+8kx21=0=64k2+845（4+3k2）0恒成立由韋達(dá)定理得x1+x2= x1·x2=+ oapb是平行四邊形若存在l，使它為矩形，則 即·=0 x1·x2+y1·y2=0即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，（1+k2）·（）+3k·（）+9=0k2= k=± 所求直線l的方程：y=±x+319（14）過曲線c：y=的焦點(diǎn)f作弦ab，（1）求弦ab的中點(diǎn)p的軌跡方程；（2）過點(diǎn)d（2，3）作曲線c的弦m1n1使d恰為m1n1的中點(diǎn)，求

14、m1n1所在直線l1的方程（3）按向量 =（n1）(0，1)平移l1得ln，n=2，3，4，ln與曲線c交于mn nn，記|mnnn|=an，nn*求的前n項(xiàng)和sn及s16019解：（1）焦點(diǎn)f（0，1），設(shè)弦ab的斜率為k，則ab所在的直線方程為 y=kx+1 代入y=化簡為x24kx4=0 設(shè)p（x，y）則：x= y=2k2+1 消去k得p點(diǎn)的軌跡方程為： y= (x0且y1) （2）設(shè)m1n1的坐標(biāo)分別為（xm，ym）（xn，yn）則 l1的方程為:xy+1=0即所求的l1的方程為xy+1=0 (3)由（2）知l1：xy+1=0 ln：xy+n=0將xy+n=0代入y=，整理得： x24

15、x4n=0an=|mnnn|=an=4sn=s160= =2評(píng)析：考察考生求軌跡方程的能力，直線與曲線的位置關(guān)系，會(huì)用差分法求弦所在的直線方程，弦長公式，數(shù)列與弦長的轉(zhuǎn)換，求和方法應(yīng)用。20文已知abc的兩頂點(diǎn)a、b分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn), 且sinc是sina、sinb的等差中項(xiàng). （）求頂點(diǎn)c的軌跡t的方程； （）設(shè)p(-2,0), 過點(diǎn)作直線l交軌跡t于m、n兩點(diǎn)，問mpn的大小是否為定值？證明你的結(jié)論. 20文、【思路分析】 () 由條件知a (-1 , 0 ) , b (1 , 0 )，且sina + sinb = 2sinc|bc| + |ac| = 2|ab| = 4點(diǎn)c的軌跡

16、是以a、b為焦點(diǎn)，長軸長2a = 4的橢圓（不包括x軸上兩點(diǎn)）.點(diǎn)c的軌跡t的方程是=1 (x±2) 5分 () 當(dāng)lx軸時(shí)，直線l的方程為x =，代入=1解得m、n的坐標(biāo)為（），而|pe| =，mpn = 90°，猜測mpn= 90°為定值. 7分證明：x = my3x2 + 4y2 = 12設(shè)直線l的方程為my = x +，由，得 (3m2 + 4) y2 my= 0 y1 + y2 =，y1 y2 = 9分= (x1 + 2 , y1)·(x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) + y1 y2 = (my1 +) (my1

17、 +) + y1 y2 = (m2 +1) y1 y2 +m (y1 + y2) +=(m2 +1)+m+= 0mpn = 90°，為定值. 13分【命題分析】考查橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及解析幾何基本思想和特殊化思想，考查考生的運(yùn)算能力以及綜合解題能力. 21、（13分）理已知abc的兩頂點(diǎn)a、b分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn), 且sinc是sina、sinb的等差中項(xiàng). （）求頂點(diǎn)c的軌跡t的方程； （）設(shè)p(-2,0), m、n是軌跡t上不同兩點(diǎn)，當(dāng)pmpn時(shí)，證明直線mn恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).21理、【思路分析】() 由條件知a (-1 , 0 ) ,

18、b (1 , 0 )，且sina + sinb = 2sinc|bc| + |ac| = 2|ab| = 4點(diǎn)c的軌跡是以a、b為焦點(diǎn)，長軸長2a = 4的橢圓（不包括x軸上兩點(diǎn)）.點(diǎn)c的軌跡t的方程是=1 (x±2) 5分()解法一：設(shè)m (x1 , y1)、n (x2 , y2)，直線mn：x = my + b由，得 (3m2 + 4) y2 + 6mby + 3b2 12 = 0y1 + y2 =，y1y2 = pmpn，= (x1 +2 , y1)，= (x2 +2 , y2) ·= ( x1 + 2) (x2 + 2) + y1y2 = (my1 + b +2 )

19、 (my2 + b + 2) + y1y2 = 0整理，得(m2 + 1) y1y2 + m (b + 2) (y1 + y2) + (b + 2)2 = 0 9分 (m2 + 1)·+ m (b + 2)·() + (b + 2) 2 = 0化簡，得7b2 + 16b + 4 = 0解得b = 或b = -2（舍去）故直線mn：x = my過定點(diǎn) (, 0 ) 13分解法二：依題意，可設(shè)直線pm：y = k (x +2 )；pn：y = (x + 2)，其中k0由，得(3 + 4k2) x2 + 16k2x + 16k2 12 = 0這個(gè)方程的兩根是-2和xm，xm =， ym = k (xm +2) =將xm、ym中的k換為，得xn =, yn = 8分當(dāng)ymyn即k±1時(shí)，kmn =直線mn的方程為y ，即y = 12分當(dāng)ym = yn即k = ±1時(shí)，直線mn的方程為x =.綜上，