ch可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系四則運(yùn)算和反函數(shù)求導(dǎo)法則PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1ch可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系四則運(yùn)算和反函數(shù)求可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系四則運(yùn)算和反函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)法則1、函數(shù)可導(dǎo)的充要條件 .0,000時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是是其中其中處可導(dǎo)的充要條件是處可導(dǎo)的充要條件是在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù) xAxxxfxfxyxxfy 由函數(shù)與極限的關(guān)系知Axyx 0lim結(jié)論顯然成立.第1頁(yè)/共30頁(yè)定理23：若函數(shù)證)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x ,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf .,00處處連連續(xù)續(xù)必必在在則則處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在xxxfxxxf 第2頁(yè)

2、/共30頁(yè)連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例 0,0,)(xxxxxxf , 100lim00 xxfx注意: 該定理的逆定理不成立.在例1 討論函數(shù)xy 0 x處的可導(dǎo)性。解 , 100lim00 xxfx 00 ff所以xy 在0 x處不可導(dǎo)。第3頁(yè)/共30頁(yè)例2.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxf處處有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyx.0)(處處

3、不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx第4頁(yè)/共30頁(yè)右導(dǎo)數(shù):3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 定理24第5頁(yè)/共30頁(yè)如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).?,1,1,1,)(2應(yīng)應(yīng)取取什什么么值值處處可可導(dǎo)導(dǎo)為為了了使使函函數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxxbaxxxxf xfx01lim 例3解：201lim

4、 xx xfx01lim )(lim01baxx 1 ba 1 xf第6頁(yè)/共30頁(yè) 所以所以處連續(xù)處連續(xù)在在所以函數(shù)所以函數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù),1,1 xxfxxf1 ba又 11lim11 xfxffx211lim21 xxx 11lim11 xfxffx11lim1 xbaxx 1lim1 xbabaxxaax 1lim1 所以所以處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù),1 xxf,2 a,11 bba知知又由又由.1,2 ba所以所以第7頁(yè)/共30頁(yè) 00011xxexxfx求 0 .f 解解：xe1中當(dāng) 0 x01xe0 xxe1所以，盡管在 x = 0 的左右兩側(cè) f (x

5、)的表達(dá)式一樣， 0 f仍需要用充要條件去判別。xexxx01lim10 xxe1011lim1 0 fxexxx01lim10 xxe1011lim0 0f 不存在0)0(f第8頁(yè)/共30頁(yè)解解: 因?yàn)?設(shè))(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx) 1 ()1 (lim21001(1 ()(1)lim2xfxfx 1) 1 (21f第9頁(yè)/共30頁(yè))(xf在 0 x處連續(xù), 且xxfx)(lim0存在，證明:在0 x處可導(dǎo).證證：因?yàn)閤xfx)(lim0存在， 則有0)(lim0

6、 xfx又)(xf在0 x處連續(xù),0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x處可導(dǎo).xfxfx)0()(lim0)0(f 故)(xf第10頁(yè)/共30頁(yè)不連續(xù), 一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.第11頁(yè)/共30頁(yè)步驟:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例4.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即第12頁(yè)/共30頁(yè)例5.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求

7、求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 第13頁(yè)/共30頁(yè)例6.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地)(.)(1Rxx )( x例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 第14頁(yè)/共30頁(yè)例7.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解haaaxhxhx 0lim)(h

8、aahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 第15頁(yè)/共30頁(yè)例8.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1log1axexa 第16頁(yè)/共30頁(yè) 前面我們利用導(dǎo)數(shù)的定義推出了一些常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如0 C1)( xxaaaxxln)( xxee )(xxcos)(sin xxsin)(cos 第17頁(yè)/共30頁(yè)定理25并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零們

9、的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu 如果求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都用定義來求未免太麻煩，所以要引入導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，利用已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求其它函數(shù)的導(dǎo)數(shù).第18頁(yè)/共30頁(yè)證(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxu

10、h)()()()(lim0 證(1)、(2)略.第19頁(yè)/共30頁(yè)hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf第20頁(yè)/共30頁(yè)推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf第21頁(yè)/共30頁(yè)例9.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解

11、23xy x4 例10.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 第22頁(yè)/共30頁(yè)例11.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得第23頁(yè)/共30頁(yè)例12.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .t

12、ansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得例13.sinh的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 第24頁(yè)/共30頁(yè)例14).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解, 1)( xf,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 第25頁(yè)/共30頁(yè),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(

13、0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf第26頁(yè)/共30頁(yè)三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理26.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對(duì)應(yīng)區(qū)間在對(duì)應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).第27頁(yè)/共30頁(yè)證,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有,1yxxy ,)(連續(xù)連續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(x