chapter方向?qū)?shù)與梯PPT課件

1、第1頁/共18頁教學(xué)要求：1. 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念, 并掌握其計(jì)算方法. 第2頁/共18頁 .方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)一一 .梯度梯度二二第3頁/共18頁1. 方向?qū)?shù)定義引入為為起起點(diǎn)點(diǎn)以以射射線線設(shè)設(shè)有有),(),(yxPlyxfz oxyP(x,y)P1l),(),(1yyxxPyxPl ),(),(yyxxfyxf ),(),(yxfyyxxfz 則則 221)()(|yxPP 第4頁/共18頁. ),( ,),(),(limlim 00的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)點(diǎn)沿著方向點(diǎn)沿著方向在在則稱此極限值為則稱此極限值為存在存在若若lPyxfyxfyyxxfz 定義.軸的方向?qū)?shù)軸的方向?qū)?shù)沿沿是是

2、顯然顯然yxyxfffyx,),(,|),(),(lim:0|xyxfyxxflfxx 軸軸平行平行|),(),(lim:0|yyxfyyxflfyy 軸軸平行平行.,;,yxyxffffyx 負(fù)向時(shí)為負(fù)向時(shí)為軸正向時(shí)為軸正向時(shí)為沿沿第5頁/共18頁,),(),(可微可微在在若若yxPyxfz 則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向 l 的方向?qū)?shù)存在，且. cos,cos的方向余弦的方向余弦為方向?yàn)榉较蚱渲衅渲衛(wèi) Proof. ,),(可微可微yxfz ),( oyfxfzyx ,)( oyfxfzyx oxyPP1 x y 第6頁/共18頁,)(coscos offzyx ,)(coscoslimlim0

3、0 offzyx 第7頁/共18頁3. 推廣 ),(),(的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為沿方向沿方向它在它在對(duì)于對(duì)于lzyxPzyxfu ulflu0lim ),(),(lim0zyxfzzyyxxf 其中其中222)()()(zyx , 的方向角為的方向角為設(shè)方向設(shè)方向l,cos x,cos y,cos z第8頁/共18頁. )32 , 2()2 , 1()2 , 1(. 122的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù)到到處沿從處沿從在點(diǎn)在點(diǎn)求求 yxzexSolution., 2|2)2 , 1(1 xxxz4|2)2 , 1(2 yyyz3, 1 l方向方向,21311cos 23313cos . 3

4、21cos)2 , 1(cos)2 , 1()2, 1( yxzzlz第9頁/共18頁1)2,2()(1. 222222222 byaxbabyaxzex處沿曲線處沿曲線在點(diǎn)在點(diǎn)求求在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù).Solution.如圖所示yo xyxabybyax222222tan1 的的切切線線傾傾角角滿滿足足 )2( tan)2,2( abba處處在在 第10頁/共18頁 23)(2 又又 ,sincos22bab 22cossinbaa ,22axxz 而而22byyz ,2)2,2(axzba byzba2)2,2( . )(21sincos22)2,2(baabyzxzlfba 第1

5、1頁/共18頁,),()0 , 0(. 3 的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為軸到軸到的向徑為的向徑為到到設(shè)由設(shè)由rxryxex.|,22yxrrlrlx 其中其中求求的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為軸到射線軸到射線 Solution.如圖所示O(0,0)(x,y)l xr cos2222 rxyxxxr sin ryyr )cos(sinsincoscos lr. 0,2; 1, lrlr時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)且當(dāng)且當(dāng) 第12頁/共18頁定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)DyxP ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這

6、向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf . 則有則有對(duì)于對(duì)于),(zyxfu .),(kzfjyfixfzyxgradf 第13頁/共18頁方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系 sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,),(cos| ),(|eyxgradfyxgradf (1) 方向?qū)?shù)為梯度在方向 l 上的投影;(2) 沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大, 且等于; ),(yxgradf;),()3(22 yfxfyxgradf.tan,)4(xyffx 則則軸到梯度的轉(zhuǎn)角為軸到梯度的轉(zhuǎn)角為梯度

7、方向第14頁/共18頁cos,cos)1 , 1(. 422 lyxyxuex處處沿沿在在求求函函數(shù)數(shù)的方向的方向?qū)?shù)，問哪個(gè)方向變化率最大？哪個(gè)方向?yàn)?？并用梯度驗(yàn)證.Solution., 1)2()1 , 1()1 , 1( yxxu 1)2()1 , 1()1 , 1( yxyu 2 coscos)1 , 1( 此時(shí)此時(shí)lu)4cos(2)1 , 1( lu從而從而第15頁/共18頁,2,4(max) lu時(shí)時(shí)顯顯然然當(dāng)當(dāng) ,0,24 lu時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , jigradu 而而. 2|4 gradu且且即即 第16頁/共18頁思考題 討論函數(shù)討論函數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點(diǎn)處點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？ Soluti