計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)-有限元

1、計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)課課 件（二）件（二）第第2章章 有限單元法有限單元法2.1 概述概述2.2 彈性力學(xué)平面問題的矩陣描述彈性力學(xué)平面問題的矩陣描述2.3 三結(jié)點(diǎn)三角形單元分析三結(jié)點(diǎn)三角形單元分析2.4 高精度三角形單元、矩形單元高精度三角形單元、矩形單元2.5 C0連續(xù)型單元形函數(shù)的構(gòu)造連續(xù)型單元形函數(shù)的構(gòu)造2.6 平面等參數(shù)單元分析平面等參數(shù)單元分析2.7 有限元程序?qū)崿F(xiàn)有限元程序?qū)崿F(xiàn)2.8 平面桿件結(jié)構(gòu)有限元平面桿件結(jié)構(gòu)有限元2.9 板彎矩的有限元板彎矩的有限元2.1 概述概述2.1.1 發(fā)展概況發(fā)展概況 Courant1943年應(yīng)用三角形分片插值函數(shù)年應(yīng)用三角形分片插值函數(shù); T

2、urner, Clough等等1956年推廣直接剛度法年推廣直接剛度法; Clough1960年提出年提出“有限單元法有限單元法”名稱；名稱； Zienkiewicz等等編寫第一本有限元方面專著；編寫第一本有限元方面專著； Melosh 證明有限元位移法是里茲法另一形式；證明有限元位移法是里茲法另一形式； 馮康馮康獨(dú)立證明了有限元法；獨(dú)立證明了有限元法； Wilson第一個(gè)編寫通用有限元軟件：第一個(gè)編寫通用有限元軟件：SAP； 1960-70年代理論基礎(chǔ)研究年代理論基礎(chǔ)研究 1960至今：實(shí)際工程應(yīng)用、復(fù)雜問題理論研究至今：實(shí)際工程應(yīng)用、復(fù)雜問題理論研究 2.1 概述概述 1960年代前：起步

3、階段年代前：起步階段 1960年代年代-70初：理論體系建立，快速發(fā)展期；初：理論體系建立，快速發(fā)展期； 1970初初-80中：鞏固期；中：鞏固期； 1980中之后：推廣、綜合應(yīng)用；中之后：推廣、綜合應(yīng)用；2.1.1 發(fā)展概況（續(xù)）發(fā)展概況（續(xù)）通用有限元軟件：通用有限元軟件：SAP, ADINA, NASTRAN, ANSYS, ABAQUS, MIDAS等等2.1.2 有限單元法概念有限單元法概念1) 離散化離散化 劃分為有限數(shù)目的單元；劃分為有限數(shù)目的單元； 單元間在指定點(diǎn)連接單元間在指定點(diǎn)連接結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)。 單元形狀、連接方式可不同。單元形狀、連接方式可不同。rg連續(xù)體 平面問題的常用單

4、元：平面問題的常用單元：三結(jié)點(diǎn)三角形單元三結(jié)點(diǎn)三角形單元六結(jié)點(diǎn)三角形單元六結(jié)點(diǎn)三角形單元矩形單元矩形單元任意四邊形單元任意四邊形單元8結(jié)點(diǎn)曲邊結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元四邊形單元2) 單元分析單元分析 假設(shè)位移模式，分析單元力學(xué)特性：假設(shè)位移模式，分析單元力學(xué)特性： Fe=ke 體力、面力體力、面力 等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載3) 整體分析整體分析 建立建立F=K K= R4) 再次單元分析再次單元分析 求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。靜力等效靜力等效2.2.1 兩類平面問題兩類平面問題1) 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 z=0, zx=0, zy=0 x= x(x, y)y= y(x, y

5、)xy= xy(x, y)例如：深梁、剪力墻例如：深梁、剪力墻(受豎向力受豎向力)2.2 彈性力學(xué)平面問題的矩陣描述彈性力學(xué)平面問題的矩陣描述xt/2zOyt/2y體積力體積力表面力表面力平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題形狀、受力沿形狀、受力沿z向不變向不變 + z向很薄向很薄平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題z向很長(zhǎng)向很長(zhǎng)平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題2) 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 w=0, z=0, zx=0, zy=0 x= x(x, y) y= y(x, y) xy= xy(x, y) x= x(x, y) y= y(x, y) xy= xy(x, y)例如：擋土墻、重力壩例如：擋土墻、重力壩xOyz平面應(yīng)變

6、問題平面應(yīng)變問題 1) 基本量基本量2.2.2 基本量及基本方程的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示TxyyxTyxqqqTxyyxTvufTyxppp應(yīng)力應(yīng)力:應(yīng)變應(yīng)變:位移位移:體積力體積力:表面力表面力: 幾何方程：幾何方程： 物理方程：物理方程： (平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題) D: 彈性矩陣彈性矩陣; E: 彈性模量彈性模量; : 泊松比。泊松比。TTxyyxyuxvyvxu2) 基本方程基本方程210001011,2EDD平面應(yīng)力平面應(yīng)力 平面應(yīng)變平面應(yīng)變 112EE2100010112ED 平衡方程弱形式平衡方程弱形式 能量原理能量原理 VTSTVTVSqfVpfdddSTVTVT

7、SqfVpfVddd21ii) 變分方程變分方程 勢(shì)能駐值原理勢(shì)能駐值原理 =(U+UR)=0i) 虛功原理：外力虛功虛功原理：外力虛功=內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功AqBxy在集中力在集中力F作用下作用下,F=U1 V1 U2 V2 Un VnT =u1 v1 u2 v2 un vnT yxtFTTddd21FVTVT總勢(shì)能簡(jiǎn)化：總勢(shì)能簡(jiǎn)化：虛功方程簡(jiǎn)化：虛功方程簡(jiǎn)化： 單元局部編號(hào)：?jiǎn)卧植烤幪?hào)：i, j, m 單元結(jié)點(diǎn)位移向量單元結(jié)點(diǎn)位移向量: e=ui vi uj vj um vmT 單元結(jié)點(diǎn)力向量單元結(jié)點(diǎn)力向量: Fe=Ui Vi Uj Vj Um VmT2.3 三結(jié)點(diǎn)三角形單元分析三結(jié)點(diǎn)三角形

8、單元分析yui , (Ui)ixvi , (Vi)ujjvjummvm2.3.1 結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移 整體結(jié)點(diǎn)位移向量整體結(jié)點(diǎn)位移向量: =u1 v1 u2 v2 un vnT 整體結(jié)點(diǎn)力向量整體結(jié)點(diǎn)力向量: F =U1 V1 U2 V2 Un VnT, n 結(jié)點(diǎn)總數(shù)結(jié)點(diǎn)總數(shù).2.3.2 單元位移模式單元位移模式 1) 什么是位移模式（位移函數(shù)）什么是位移模式（位移函數(shù)） 利用單元的結(jié)點(diǎn)位移將整個(gè)單元的位移分量利用單元的結(jié)點(diǎn)位移將整個(gè)單元的位移分量表示為坐標(biāo)的函數(shù)。表示為坐標(biāo)的函數(shù)。 yxP(x, y)ijm2) 三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式 設(shè)：設(shè)： u

9、= 1+ 2 x+ 3 y v= 4+ 5 x+ 6 y系數(shù)系數(shù) 1 6由結(jié)點(diǎn)位移由結(jié)點(diǎn)位移 ui , vi , uj , vj , um , vm確定確定.將位移模式寫成結(jié)點(diǎn)位移的顯式：將位移模式寫成結(jié)點(diǎn)位移的顯式： u= Niui+ Njuj +Nmum v= Nivi+ Njvj +NmvmNi、Nj、Nm：形函數(shù)形函數(shù) (插值函數(shù)插值函數(shù))yxPijm),(,111111輪換mjiyxyxyxyxyxyxNmmjjiimmjjiNi(x, y)ijm1ai、bi、ci：分母行列式第：分母行列式第1行元素代數(shù)余子式：行元素代數(shù)余子式： ai=xjym xmyj bi=yj ym （i,

10、j, m輪換）輪換） ci= xj+xm ),()(21111111輪換mjiycxbaAyxyxyxyxyxyxNiiimmjjiimmjjiNi(x, y)ijm1 形函數(shù)的性質(zhì)形函數(shù)的性質(zhì): (i) (Ni )i=1，(Ni )j=0，(Ni )m=0 (ii) 單元內(nèi)任一點(diǎn)：?jiǎn)卧獌?nèi)任一點(diǎn)：Ni+Nj+Nm=1emmjjiimmjjiiNvNvNvNuNuNuNvuf3) 位移模式的矩陣表示位移模式的矩陣表示形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣mjimjiNNNNNNN000000yxPijm2.3.3 單元應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣單元應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣：B= Bi Bj Bm ,)3 , 2

11、 , 1(0021ibccbABiiiiif =N e得到得到代入代入幾何方程幾何方程 =B ebi=yj ymci= xj+xmB元素均為常數(shù)元素均為常數(shù) 常應(yīng)變單元常應(yīng)變單元 =B e得到得到代入代入物理方程物理方程 =S e應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣：S=DB)3 , 2 , 1(2121)1(22ibccbcbAESiiiiiiibi , ci為常數(shù)為常數(shù)S元素均為常數(shù)元素均為常數(shù) 常應(yīng)力單元常應(yīng)力單元S= Si Sj Sm ，對(duì)平面應(yīng)力問題：對(duì)平面應(yīng)力問題：2.3.4 有限元方程的建立有限元方程的建立得到得到代入代入 (U+UR)=0有限元方程有限元方程位移模式位移模式f =N e結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)

12、離散eSTTeeATTeeAeTTeSTVTVTeeestqNyxtpNyxtBDBsqfVpfVd)(dd)(dd)(21ddd21令：e=G， G 62n位置矩陣 eATeyxtBDBkdd 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噀eSTATeqepestqNyxtpNRRRddd 單元等效結(jié)點(diǎn)荷載向量單元等效結(jié)點(diǎn)荷載向量eeTTeeTTRGGkG)(21eSTTeeATTeeAeTTeeeestqNyxtpNyxtBDBd)(dd)(dd)(21令： 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 整體等效結(jié)點(diǎn)荷載向量整體等效結(jié)點(diǎn)荷載向量eeTTeeTTRGGkG)(21eeTGkGKeeTRGR21RKTT00RK有限元

13、方程有限元方程2.3.5 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯蝿偭惺絾蝿偭惺絤mmjmijmjjjiimijiiTATkkkkkkkkktABDByxtBDBkedd),( ,),(,21212121)1 (42輪換。mjixxcyybmjisrbbcccbbcbccbccbbAEtkmjimjisrsrsrsrsrsrsrsrrs k元素的物理意義元素的物理意義 kpq：第第q個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量為單位位移（其它結(jié)個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量為單位位移（其它結(jié)點(diǎn)位移點(diǎn)位移=0），所引起的第），所引起的第p個(gè)結(jié)點(diǎn)力分量。個(gè)結(jié)點(diǎn)力分量。 如如: k26。 k的性質(zhì)：的性質(zhì)： (1) 對(duì)稱性：對(duì)稱性： kpq= kqp (2)

14、 奇異性；奇異性； (3) 每行（列）元素之和為零。每行（列）元素之和為零。 (4) k取決于單元的形狀、方位和彈性常數(shù)，與取決于單元的形狀、方位和彈性常數(shù)，與所在位置（即平移或所在位置（即平移或np p 轉(zhuǎn)動(dòng)）無關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)）無關(guān)。2) 單剛性質(zhì)單剛性質(zhì)ymxk26ij13) 單剛列式推導(dǎo)的另一方法單剛列式推導(dǎo)的另一方法yui , (Ui)ixvi , (Vi)ujjvjummvm由單元平衡條件導(dǎo)出由單元平衡條件導(dǎo)出物理方程物理方程幾何方程幾何方程位移模式位移模式虛功方程虛功方程f =N e =B e =S e ，S=DBFe=k e，k=BT DBtA結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移 位移位移 應(yīng)變應(yīng)變 應(yīng)力

15、應(yīng)力 結(jié)點(diǎn)力結(jié)點(diǎn)力 e f Fe虛功原理虛功原理eeAeTTeeTeATeTeyxtBDBFyxtFdd)()(dd)(eATeyxtBDBkdd令：eeekF 應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)力關(guān)系式：應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)力關(guān)系式：yui , (Ui)ixvi , (Vi)ujjvjummvm假設(shè)單元發(fā)生虛位移假設(shè)單元發(fā)生虛位移 結(jié)點(diǎn)力虛功結(jié)點(diǎn)力虛功=單元虛變形能單元虛變形能列式列式2.3.6 單元等效結(jié)點(diǎn)荷載單元等效結(jié)點(diǎn)荷載將非結(jié)點(diǎn)荷載等效移置到結(jié)點(diǎn)上：將非結(jié)點(diǎn)荷載等效移置到結(jié)點(diǎn)上：dddPNRstqNRyxtpNRRRRTePSTeqATepeqepeeeyXiixYiXjjYjXmmYmPxPyP可用虛功原理導(dǎo)得可用

16、虛功原理導(dǎo)得2.3.7 整體剛度矩陣整體剛度矩陣建立整體剛度矩陣的方法建立整體剛度矩陣的方法 1) 由最小勢(shì)能原理建立：由最小勢(shì)能原理建立：K= (Ge)Tk e Ge 2) 由結(jié)點(diǎn)平衡條件建立：由結(jié)點(diǎn)平衡條件建立：eieiRFeijijkKK的集成方法：的集成方法：對(duì)號(hào)入座對(duì)號(hào)入座 K= (Ge)Tke Ge 。13245(1)(3)(2)Rx3Ry3U3V33RK 總剛總剛K的集成的集成 例例 1: E, t, =常數(shù)常數(shù)1) 離散離散 4個(gè)單元，個(gè)單元，6個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)結(jié)點(diǎn) 單元編號(hào)：?jiǎn)卧幪?hào)：(1)(4)； 結(jié)點(diǎn)編號(hào)：結(jié)點(diǎn)編號(hào)：1 62) 建立局部建立局部-整體編碼關(guān)系整體編碼關(guān)系(1) (

17、2) (4)(3)i j mijmyx1kN/m1m1m1m1m123456(1)(2)(3)(4)Local No.Global No.Element(1)(2)(3)(4)ijm3125242536353) 計(jì)算各單剛計(jì)算各單剛k)4()2() 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 ( ,kkkkkkkkkkkkmmmjmijmjjjiimijii(1) (2) (4)(3)i j mijmyx1kN/m1m1m1m1m123456(1)(2)(3)(4)4) 換碼，對(duì)號(hào)入座，形成總剛換碼，對(duì)號(hào)入座，形成總剛(1) (2) (4)(3

18、)i j mijmyx1kN/m1m1m1m1m123456(1)(2)(3)(4) 1()3() 1() 1()3() 1()3()2() 1() 1() 1() 1() 1(iimiimijimmiiijjmmmjjijmjjkkkkkkkkkkkkkK)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk對(duì)一總剛元素有貢獻(xiàn)的單剛：對(duì)一總剛元素有貢獻(xiàn)的單剛：(1) (2) (4)(3)i j mijmyx1kN/m1m1m1m1m123456(1)(2)(3)(4)4()3()2(55)4()3(53)(,mmjjiimjjme

19、eijpqkkkKkkKkK例例 2: E, t=常數(shù)，常數(shù)， =0；l12=l13=l35=1m，形成，形成 K。(1)(3)i j m(2)ijm13245(1)(3)(2)232121121232112121002110Symm.1021)1 (22)3()2()1(Etkkkk75. 025. 025. 005 . 025. 075. 025. 05 . 0025. 025. 00025. 05 . 000.5 . 0025. 0SymmEtk(1)(3)i j m(2)ijm13245(1)(3)(2)ijmi j m5 . 125. 025. 05 . 1025. 025. 002

20、5. 025. 005 . 0)3()2()1(33)2()1(32)1(31mmiijjijjijmkkkKkkKkK( =0)5 . 00025. 025. 025. 000005 . 00005 . 0000025. 125. 00 . 125. 025. 000025. 00 . 125. 05 . 025. 05 . 0005 . 125. 0025. 025. 025. 025. 05 . 125. 0005 . 075. 005 . 0075. 025. 025. 0Symm.75. 025. 075. 0EtK(1)(3)i j m(2)ijm13245(1)(3)(2) 整體

21、剛度元素整體剛度元素Kpq的物理意義：的物理意義： 結(jié)構(gòu)第結(jié)構(gòu)第q個(gè)結(jié)點(diǎn)位移為單位位移（其它結(jié)點(diǎn)位個(gè)結(jié)點(diǎn)位移為單位位移（其它結(jié)點(diǎn)位移移=0）時(shí)，所引起的第）時(shí)，所引起的第p個(gè)結(jié)點(diǎn)力。個(gè)結(jié)點(diǎn)力。 K的性質(zhì)：的性質(zhì)： (1) 對(duì)稱性對(duì)稱性 (Kpq= Kqp), 主對(duì)角元素必為正主對(duì)角元素必為正； (2) 稀疏性，且一般為帶狀分布；稀疏性，且一般為帶狀分布； 平面問題最大半帶寬平面問題最大半帶寬= 2 (單元結(jié)點(diǎn)號(hào)之差最大值單元結(jié)點(diǎn)號(hào)之差最大值+1) (3) 引入約束條件后為正定矩陣。引入約束條件后為正定矩陣。 利用利用對(duì)稱性對(duì)稱性、帶狀稀疏性帶狀稀疏性， K可用半帶寬存儲(chǔ)?？捎冒霂挻鎯?chǔ)。 12

22、3456789101112對(duì)稱69686658575655474544363533252423221412110000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK02.3.8 位移邊界條件的引入位移邊界條件的引入1.直接引入法（矩陣縮小法）直接引入法（矩陣縮小法）K =R Kaa a=Ra Kab b bababbbaabaaRRKKKK未知結(jié)點(diǎn)位移向量未知結(jié)點(diǎn)位移向量已知已知結(jié)點(diǎn)位移向量結(jié)點(diǎn)位移向量解出未知量解出未知量破壞原矩陣，計(jì)算機(jī)分析中很少采用。破壞原矩陣，計(jì)算機(jī)分析中很少采用。5 . 00025. 025. 025. 000005 . 00005 . 0000025. 125. 00

23、. 125. 025. 000025. 00 . 125. 05 . 025. 05 . 0005 . 125. 0025. 025. 025. 025. 05 . 125. 0005 . 075. 005 . 0075. 025. 025. 0Symm.75. 025. 075. 0EtK(1)(3)i j m(2)ijm13245(1)(3)(2)5 . 00025. 025. 025. 05 . 00005 . 025. 125. 00 . 125. 00 . 125. 05 . 0Symm5 . 125. 05 . 1EtK(1)(3)i j m(2)ijm13245(1)(3)(2)

24、劃行（劃行（1-4行）劃列（行）劃列（1-4列）：列）：2. 對(duì)角元素改對(duì)角元素改1法（零位移邊界）法（零位移邊界） i=0 Kii=1 , Kij=0, Kji=0（j i）, Ri=0 NNiNNNNNNRRRKKKKKKKKK0001000021212122221112113. 乘大數(shù)法乘大數(shù)法 i= i Kii= (大數(shù)大數(shù))，Ri= Kii iNiiiNiNNNiNNiNiiiiNiNiRKRRKKKKKKKKKKKKKKKK21212121222221111211第第i個(gè)方程：個(gè)方程： 等價(jià)于：等價(jià)于：iiNiNiiiiiKKKKK2211ii2.3.9 位移模式與解答的收斂準(zhǔn)則位

25、移模式與解答的收斂準(zhǔn)則完備性條件完備性條件協(xié)調(diào)性條件協(xié)調(diào)性條件完備性條件完備性條件 = 解答收斂的必要條件解答收斂的必要條件完備完備 + 協(xié)調(diào)協(xié)調(diào) = 解答收斂的充分條件解答收斂的充分條件(1) 位移模式必須能反映單元的剛體位移位移模式必須能反映單元的剛體位移(2) 位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變(3) 位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性1. 收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則 三結(jié)點(diǎn)三角形單元的完備性和協(xié)調(diào)性三結(jié)點(diǎn)三角形單元的完備性和協(xié)調(diào)性(1) 反映剛體位移：反映剛體位移：平面問題的剛體位移表達(dá)式：平面問題的剛體位移表達(dá)式：u=u0 w wy，

26、v=v0+w wx(2) 反映常量應(yīng)變：反映常量應(yīng)變： x= 2， y= 6， xy= 2+ 3 滿足完備性條件滿足完備性條件xxyvyyxu2222353564353521(3) 位移連續(xù)性：位移連續(xù)性： 單元內(nèi)：?jiǎn)沃颠B續(xù)；單元內(nèi)：?jiǎn)沃颠B續(xù)； 相鄰單元間：相鄰單元間： uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？ij邊的方程邊的方程：y=ax+b，則則 uij= 1+ 2 x+ 3(ax+b)= cx+d uij(1)、uij(2)均為坐標(biāo)的線性函數(shù)，故可由均為坐標(biāo)的線性函數(shù)，故可由i、j兩兩點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移唯一確定。點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移唯一確定。 滿足連續(xù)性條件滿足連續(xù)性條件yx(2)i

27、jmp(1)2. 多項(xiàng)式位移模式的選擇多項(xiàng)式位移模式的選擇 (1) 一般規(guī)則：與一般規(guī)則：與局部坐標(biāo)選取無關(guān)局部坐標(biāo)選取無關(guān) 幾何各向同性幾何各向同性 x、y各階項(xiàng)對(duì)稱：各階項(xiàng)對(duì)稱： xmyn xnym (2) 選擇方法選擇方法從從Pascal三角形三角形中選項(xiàng)：中選項(xiàng)： 1 x y x2 xy y2 x3 x2y x y2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 3. 位移元解答位移元解答位移元：位移元：最小勢(shì)能原理建立的有限元最小勢(shì)能原理建立的有限元 基本未知量：結(jié)點(diǎn)位移基本未知量：結(jié)點(diǎn)位移 位移元近似解位移元近似解=精確解下限精確解下限 2.4.1 高精度三角形單元高精度三角形單元1

28、. 六結(jié)點(diǎn)三角形單元（二次單元六結(jié)點(diǎn)三角形單元（二次單元T6） 位移模式位移模式（完整二次式完整二次式）：u= 1+ 2x+ 3 y + 4 x2 + 5 xy+ 6 y2v= 1+ 2 x + 3 y + 4 x2 + 5 xy+ 6 y2 滿足：滿足： 協(xié)調(diào)單元。協(xié)調(diào)單元。2.4 高精度的三角形單元、矩形單元高精度的三角形單元、矩形單元yxijm312完備性條件完備性條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件2.4.1 高精度三角形單元高精度三角形單元 (續(xù)續(xù))2. 十結(jié)點(diǎn)三角形單元（三次單元十結(jié)點(diǎn)三角形單元（三次單元T10） 位移模式位移模式（完整完整三三次式次式）：u= 1+ 2x+ 3y+ 4x2+

29、5xy+ 6y2+ 7x3 8x2y+ 9xy2+ 10y3v= 1+ 2x+ 3y+ 4x2+ 5xy+ 6y2+ 7x3 8x2y+ 9xy2+ 10y3 滿足：滿足： 協(xié)調(diào)單元。協(xié)調(diào)單元。完備性條件完備性條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件yxijm3. 面積坐標(biāo)表達(dá)的形函數(shù)面積坐標(biāo)表達(dá)的形函數(shù) 定義：定義： 三角形單元內(nèi)任一點(diǎn)三角形單元內(nèi)任一點(diǎn)P的無量綱面積坐標(biāo)：的無量綱面積坐標(biāo)： Li= Ai / A （i, j, m） 3結(jié)點(diǎn)三角形單元結(jié)點(diǎn)三角形單元 (T3單元單元)： Ni=Li （i, j, m） 6結(jié)點(diǎn)三角形單元結(jié)點(diǎn)三角形單元 (T6單元單元)： Ni=(2Li 1) Li （i, j,

30、 m） N1=4Lj Lm （1, 2, 3；i, j, m）i(1,0,0)Pj(0,1,0)m(0,0,1)AiAjAm 面積坐標(biāo)的性質(zhì)面積坐標(biāo)的性質(zhì) (1) 三角點(diǎn)的面積坐標(biāo)：三角點(diǎn)的面積坐標(biāo)： i (1,0,0)、j (0,1,0)、m (0,0,1) (2) 三條邊的方程：三條邊的方程： jm邊：邊：Li=0， mi邊：邊：Lj=0， i j邊：邊：Lm=0。 (3) 三個(gè)面積坐標(biāo)不獨(dú)立：三個(gè)面積坐標(biāo)不獨(dú)立： Li+ Lj + Lm =1i(1,0,0)Pj(0,1,0)m(0,0,1)AiAjAm 面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系: i(1,0,0)Pj(0

31、,1,0)m(0,0,1)AiAjAmyxyxcbacbacbaALLLmmmjjjiiimji121mjimjimjiLLLyyyxxxyx1111或(1) 位移位移模式模式 雙線性位移模式：雙線性位移模式：u= 1+ 2 x+ 3 y+ 4 xyv= 1+ 2 x + 3 y+ 4 xy 滿足：滿足： 協(xié)調(diào)單元。協(xié)調(diào)單元。 結(jié)點(diǎn)位移表示的結(jié)點(diǎn)位移表示的位移模式：位移模式：2.4.2 四結(jié)點(diǎn)矩形單元（四結(jié)點(diǎn)矩形單元（R4單元）單元）完備性條件完備性條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件1yx234o4141,iiiiiivNvuNu 形函數(shù)的構(gòu)造形函數(shù)的構(gòu)造： 設(shè)：設(shè)：N1=A A1(x-x2 ) (y-

32、y3 ) 令令：(N1)1 =1 可得：可得：)1)(1 (414141003211byyaxxbyyaxxNabA4141,iiiiiivNvuNu1yx234 o2a2b)1)(1 (41)1)(1 (41)1)(1 (41004003002byyaxxNbyyaxxNbyyaxxN，(2) 局部坐標(biāo)下的形函數(shù)局部坐標(biāo)下的形函數(shù) 建立局部坐標(biāo)系建立局部坐標(biāo)系 (自然坐標(biāo)自然坐標(biāo)) o ， 坐標(biāo)變換式：坐標(biāo)變換式：byyaxx00，1yx234 o2a2b1234 o = -1 =1 = -1 =1 四角點(diǎn)坐標(biāo)：四角點(diǎn)坐標(biāo)：1(-1, -1)， 2(1, -1) 3(1, 1)， 4(-1,

33、 1) 位移模式：位移模式：4141,iiiiiivNvuNu(2) 局部坐標(biāo)下的形函數(shù)局部坐標(biāo)下的形函數(shù))1)(1 (41),1)(1 (41)1)(1 (41),1)(1 (414321NNNN)4 , 3 , 2 , 1()1)(1 (41iNiii1234 o = -1 =1 = -1 =1 位移模式：位移模式： 形函數(shù)：形函數(shù)： 形函數(shù)統(tǒng)一式：形函數(shù)統(tǒng)一式：4141,iiiiiivNvuNu(3) 單元應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣單元應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣 單元應(yīng)變：?jiǎn)卧獞?yīng)變： =B e， B=B1 B2 B3 B41234 o = -1 =1 = -1 =1 單元應(yīng)力：?jiǎn)卧獞?yīng)力： =S e=DB

34、 e S= S1 S2 S3 S4，Si=D Bi )4, 3, 2, 1(00100iNbNaNaNbabxNyNyNxNBiiiiiiiii2.5 C0連續(xù)型單元形函數(shù)的構(gòu)造連續(xù)型單元形函數(shù)的構(gòu)造矩形單元類型矩形單元類型Lagrange矩形單元矩形單元 Serendipity矩形單元矩形單元Lagrange單元單元各網(wǎng)格交點(diǎn)均布置結(jié)點(diǎn)各網(wǎng)格交點(diǎn)均布置結(jié)點(diǎn)Serendipity單元單元僅單元邊界布置結(jié)點(diǎn)僅單元邊界布置結(jié)點(diǎn)2.5 C0連續(xù)型單元形函數(shù)的構(gòu)造連續(xù)型單元形函數(shù)的構(gòu)造（續(xù)）續(xù)）2.5.1 Lagrange矩形單元矩形單元1. 一維一維Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 ), 2 ,

35、 1()(, 1)1(nixxxxxlnijjjijni表示多項(xiàng)式次數(shù)表示多項(xiàng)式次數(shù)xx1x2x3xnxil1(x)曲線：過曲線：過n個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)結(jié)點(diǎn)例：例：n=2，則，則若令若令x1=0，x2= l，則，則 l1(1)(x)=(l-x)/l， l2(1)(x)=x/l 。121)1(2212)1(1)(,)(xxxxxlxxxxxl可作形函數(shù)可作形函數(shù), 即即Ni (x)= li(n-1)(x)2. Lagrange矩形單元的形函數(shù)矩形單元的形函數(shù)水平向：水平向：r +1個(gè)結(jié)點(diǎn)，個(gè)結(jié)點(diǎn)，豎直向：豎直向：p +1個(gè)結(jié)點(diǎn)。個(gè)結(jié)點(diǎn)。第第I列列J行結(jié)點(diǎn)行結(jié)點(diǎn)i的形函數(shù)：的形函數(shù)：Ni= NIJ =lI(

36、r)( ) lJ(p)( ) (0, 0)(r, p)1lI ( ) 1lJ ( )i (I, J)(,)()(,)(0, 0)(0, 0)(byylaxxlpIjjjJjpJrIjjjIjrINi 能保證邊界位移的唯一性和協(xié)調(diào)性。能保證邊界位移的唯一性和協(xié)調(diào)性。Lagrange矩形單元的優(yōu)缺點(diǎn)：矩形單元的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：形函數(shù)容易構(gòu)造；為完備協(xié)調(diào)單元。優(yōu)點(diǎn)：形函數(shù)容易構(gòu)造；為完備協(xié)調(diào)單元。缺點(diǎn)：?jiǎn)卧杂啥容^多；內(nèi)部結(jié)點(diǎn)不能有效提高精度。缺點(diǎn)：?jiǎn)卧杂啥容^多；內(nèi)部結(jié)點(diǎn)不能有效提高精度。3 3結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)Lagrange單元形函數(shù)包含的項(xiàng)數(shù)單元形函數(shù)包含的項(xiàng)數(shù)：1x yx2 xy y2 x3 x2y

37、xy2 y3x3y x2y2 xy3x3y2 x2y3 x3y32.5.2 Serendipity矩形單元矩形單元1. 單元特點(diǎn)單元特點(diǎn)只在邊界上布置結(jié)點(diǎn)，只在邊界上布置結(jié)點(diǎn)，不同邊界上結(jié)點(diǎn)數(shù)目可不同。不同邊界上結(jié)點(diǎn)數(shù)目可不同。2. 形函數(shù)構(gòu)造方法形函數(shù)構(gòu)造方法R4單元：?jiǎn)卧篟5單元：?jiǎn)卧篟4單元單元 o1243)4 , 3 , 2 , 1()1)(1 (41iNiii o15243R5單元單元)1)(1 (2125N進(jìn)行修正，對(duì)4321NNNN2.5.2 Serendipity矩形單元矩形單元2. 形函數(shù)構(gòu)造方法（續(xù)）形函數(shù)構(gòu)造方法（續(xù)）R5單元：?jiǎn)卧哼M(jìn)行修正，對(duì)4321NNNN o1

38、5243R5單元單元)1)(1 (2125N51121NNN1N51/21011N443352221NNNNNNN，；對(duì)對(duì)R8單元：?jiǎn)卧篟8單元單元 o15247386)1)(1 (21),1)(1 (21)1)(1 (21),1)(1 (2128272625NNNN87447633652285112121,21212121,2121NNNNNNNNNNNNNNNN)4 , 3 , 2 , 1(),(41444iNNNNjjjjiii或2.6 平面等參平面等參數(shù)單元數(shù)單元規(guī)則形狀單元規(guī)則形狀單元2.6.1 四結(jié)點(diǎn)四邊形等參單元四結(jié)點(diǎn)四邊形等參單元 在單元內(nèi)建立局部坐標(biāo)在單元內(nèi)建立局部坐標(biāo) 使

39、局部坐標(biāo)邊界取值為常量使局部坐標(biāo)邊界取值為常量采用局部坐標(biāo)的雙線性位移模式采用局部坐標(biāo)的雙線性位移模式復(fù)雜形狀單元復(fù)雜形狀單元坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換等參數(shù)變換：等參數(shù)變換：變換函數(shù)變換函數(shù)=單元形函數(shù)單元形函數(shù)等參數(shù)單元：通過等參變換得到的單元等參數(shù)單元：通過等參變換得到的單元1yx234 1234 o = -1 =1 = -1 =1x, y的雙線性位移模式的雙線性位移模式不滿足協(xié)調(diào)性不滿足協(xié)調(diào)性2. 局部局部-整體坐標(biāo)映射：整體坐標(biāo)映射： 映射的有效性驗(yàn)證：映射的有效性驗(yàn)證：1) 四個(gè)結(jié)點(diǎn)四個(gè)結(jié)點(diǎn)給出整體坐標(biāo)；給出整體坐標(biāo)； 2) 四條邊四條邊給出整體直線方程。給出整體直線方程。 12邊：邊：1y

40、x234 1234 o = -1 =1 = -1 =1基本單元（母單元）基本單元（母單元） 實(shí)際單元（子單元）實(shí)際單元（子單元） 4141,iiiiiiyNyxNx212143212121,21210),1 (21),1 (211yyyxxxNNNN，2.6 平面等參平面等參數(shù)單元（續(xù)）數(shù)單元（續(xù)）利用等參變換利用等參變換，可構(gòu)造更高次四邊形曲邊單元：，可構(gòu)造更高次四邊形曲邊單元： 8結(jié)點(diǎn)四邊形曲邊等參單元結(jié)點(diǎn)四邊形曲邊等參單元； 12結(jié)點(diǎn)四邊形曲邊等參單元結(jié)點(diǎn)四邊形曲邊等參單元； 20結(jié)點(diǎn)四邊形曲邊等參單元結(jié)點(diǎn)四邊形曲邊等參單元8結(jié)點(diǎn)四邊形等參曲邊單元結(jié)點(diǎn)四邊形等參曲邊單元 o1524738

41、6yx152473862.6.2 局部與整體坐標(biāo)的微分和積分變換式局部與整體坐標(biāo)的微分和積分變換式根據(jù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：yyxxyyxxyxyxyxyxJ矩陣形式矩陣形式 miiimiiimiiimiiiyNxNyNxNyxyx1111J雅可比雅可比(Jacobi)矩陣矩陣m平面等參單元平面等參單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)目的結(jié)點(diǎn)數(shù)目2.6.2 局部與整體坐標(biāo)的微分和積分變換式局部與整體坐標(biāo)的微分和積分變換式反變換：反變換：面積微分的變換：面積微分的變換：dA=dxdy=|J |d d xxyyyx|11JJ*|1222112111JJJJJJJij*J元素元素Jij 的代數(shù)余子式的代數(shù)

42、余子式|J|雅可比雅可比(Jacobi)行列式行列式2.6.3 單元?jiǎng)偠染仃?、單元等效結(jié)點(diǎn)荷載向量單元?jiǎng)偠染仃嚒卧刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載向量單元應(yīng)變向量：?jiǎn)卧獞?yīng)變向量： =B e單元應(yīng)變矩陣：?jiǎn)卧獞?yīng)變矩陣： B=B1 B2 Bm 單元應(yīng)力向量：?jiǎn)卧獞?yīng)力向量： =S e =DB e單元?jiǎng)偠染仃嚕簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕?, 2, 1(00mixNyNyNxNBiiiii 1111dd | ddJtBDByxtBDBkTATe單元等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣單元等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣：?jiǎn)卧吔缇€微分：?jiǎn)卧吔缇€微分： eeSTeqTATepeqepestqNRJtpNyxtpNRRRRddd|dd1111面力：體力：)(dd)()(

43、d)(dd)()(d2/1222/122常數(shù)常數(shù)syxssyxs積分式常用積分式常用Newton-Cotes或或Gauss數(shù)值積分計(jì)算數(shù)值積分計(jì)算積分在母單元中進(jìn)行，可用標(biāo)準(zhǔn)程序?qū)崿F(xiàn)。積分在母單元中進(jìn)行，可用標(biāo)準(zhǔn)程序?qū)崿F(xiàn)。2.6.4 等參變換的應(yīng)用條件等參變換的應(yīng)用條件母單元母單元 實(shí)際單元實(shí)際單元：一一對(duì)應(yīng)關(guān)系一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 局部局部整體坐標(biāo)變換式：整體坐標(biāo)變換式：J非奇異或非奇異或|J | 0為確保坐標(biāo)變換一一對(duì)應(yīng)，應(yīng)避免：為確保坐標(biāo)變換一一對(duì)應(yīng)，應(yīng)避免： 1) 任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)退化為一個(gè)，而使任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)退化為一個(gè)，而使|d |=0或或|d |=0; 2) 單元過于歪斜，而導(dǎo)致單元過于歪斜，而

44、導(dǎo)致d 與與d 共線。共線。 123,4 = 1 =1 = 1 =1o o 123 = 1 =1 = 1 =1o o42.6.5 例題分析例題分析懸臂平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)懸臂平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)2m，高，高1m。E=常數(shù)，常數(shù)， =0.3。方法方法1：利用三結(jié)點(diǎn)三角形單元進(jìn)行分析利用三結(jié)點(diǎn)三角形單元進(jìn)行分析12346(1)(2) (3)5(4)yxP jmi(1)(3) jmi(2)(4)1) 集成整體剛度矩陣集成整體剛度矩陣;2) 引進(jìn)位移邊界條件。引進(jìn)位移邊界條件。2.6.5 例題分析（續(xù)）例題分析（續(xù)）分析步驟：分析步驟：劃分單元，結(jié)點(diǎn)編號(hào)；劃分單元，結(jié)點(diǎn)編號(hào)；單元編號(hào)，各單元結(jié)點(diǎn)號(hào)；單元編號(hào)，各單元結(jié)

45、點(diǎn)號(hào)；計(jì)算單元等效結(jié)點(diǎn)荷載；計(jì)算單元等效結(jié)點(diǎn)荷載；計(jì)算單剛參數(shù)計(jì)算單剛參數(shù)bi , ci等，形成單剛；等，形成單剛；集成整體剛度矩陣集成整體剛度矩陣;引進(jìn)位移邊界條件；引進(jìn)位移邊界條件；解線性代數(shù)方程；解線性代數(shù)方程；計(jì)算單元應(yīng)力、應(yīng)變；計(jì)算單元應(yīng)力、應(yīng)變；計(jì)算結(jié)果整理、插值、輸出等。計(jì)算結(jié)果整理、插值、輸出等。12346(1)(2) (3)5(4)yxP三角形單元?jiǎng)澐謶?yīng)注意的問題三角形單元?jiǎng)澐謶?yīng)注意的問題:1. 單元大小及疏密單元大小及疏密根據(jù)精度、計(jì)算能力綜合根據(jù)精度、計(jì)算能力綜合. . 主要部位、應(yīng)力（位移）變化大的部位劃細(xì)主要部位、應(yīng)力（位移）變化大的部位劃細(xì) 應(yīng)力誤差與單元尺寸成正比

46、應(yīng)力誤差與單元尺寸成正比 位移誤差與位移誤差與(單元尺寸單元尺寸)2成正比成正比2. 三邊盡量接近三邊盡量接近應(yīng)力、位移誤差反比最小內(nèi)角之正弦應(yīng)力、位移誤差反比最小內(nèi)角之正弦. .3. 尺寸或材料突變處劃作單元邊界，附近單元?jiǎng)澬?；尺寸或材料突變處劃作單元邊界，附近單元?jiǎng)澬。?. 荷載突變或集中荷載處布置結(jié)點(diǎn)，附近單元?jiǎng)澬?。荷載突變或集中荷載處布置結(jié)點(diǎn)，附近單元?jiǎng)澬?。可?yīng)用于其他類型單元，如四邊形單元可應(yīng)用于其他類型單元，如四邊形單元.2.6.5 例題分析（續(xù)）例題分析（續(xù)）懸臂平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)懸臂平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)2m，高，高1m。E, =常數(shù)常數(shù)。方法方法2：利用四結(jié)點(diǎn)矩形單元進(jìn)行分析利用四結(jié)點(diǎn)矩形單

47、元進(jìn)行分析12346(1)(2)5yxP1) 集成整體剛度矩陣集成整體剛度矩陣;2) 引進(jìn)位移邊界條件。引進(jìn)位移邊界條件。懸臂平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)懸臂平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)2m，高，高1m。 E, =常數(shù)常數(shù)。方法方法3：利用：利用四結(jié)點(diǎn)四邊形等參單元四結(jié)點(diǎn)四邊形等參單元計(jì)算步驟：計(jì)算步驟： 離散化離散化;求求 ，J，|J|，J-1；求求B在各積分點(diǎn)的數(shù)值在各積分點(diǎn)的數(shù)值Big；利用高斯積分計(jì)算并形成利用高斯積分計(jì)算并形成k；集成集成K、P；引進(jìn)位移邊界條件。引進(jìn)位移邊界條件。12346(1)(2)5yxP0.75m 1.25m1.25m 0.75m)4 , 3 , 2 , 1(,iNNii懸臂平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)懸臂

48、平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)2m，高，高1m。 E, =常數(shù)常數(shù)。四結(jié)點(diǎn)四邊形等參單元四結(jié)點(diǎn)四邊形等參單元單元分析書面作業(yè)單元分析書面作業(yè)（單獨(dú)完成）（單獨(dú)完成） :求求(1)、(2)單元內(nèi)單元內(nèi)( =0, =0)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 (x, y)坐標(biāo)坐標(biāo);已知各結(jié)點(diǎn)已知各結(jié)點(diǎn)ui , vi (i=3, 4, 5, 6)，求，求(x=0.625, y=0)處的位移。處的位移。12346(1)(2)5yxP0.75m 1.25m1.25m 0.75m懸臂平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)懸臂平面結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)2m，高，高1m。 E, =常數(shù)常數(shù)。方法方法4：利用八結(jié)點(diǎn)等參單元進(jìn)行分析利用八結(jié)點(diǎn)等參單元進(jìn)行分析136813(1)(2)11yxP

49、245712910上機(jī)作業(yè)上機(jī)作業(yè):（單獨(dú)完成，與編程作業(yè)任選一）（單獨(dú)完成，與編程作業(yè)任選一） 重力壩問題重力壩問題三層框架三層框架-樓板體系樓板體系 (1) 對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析、比較；對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析、比較； (2) 分別加密網(wǎng)格，分析、比較結(jié)果的改進(jìn)情況。分別加密網(wǎng)格，分析、比較結(jié)果的改進(jìn)情況。2.7 有限元程序?qū)崿F(xiàn)有限元程序?qū)崿F(xiàn)有限元程序有限元程序 前處理程序前處理程序生成網(wǎng)格及數(shù)據(jù)文件生成網(wǎng)格及數(shù)據(jù)文件主體分析程序主體分析程序核心計(jì)算分析核心計(jì)算分析后處理程序后處理程序結(jié)果處理，生成結(jié)果文件結(jié)果處理，生成結(jié)果文件2.7.1 程序設(shè)計(jì)一般步驟程序設(shè)計(jì)一般步驟算法描述和列式推導(dǎo)算法描述

50、和列式推導(dǎo)框圖設(shè)計(jì)框圖設(shè)計(jì)代碼編寫代碼編寫上機(jī)調(diào)試、考核上機(jī)調(diào)試、考核編寫應(yīng)用說明編寫應(yīng)用說明修改、補(bǔ)充、完善修改、補(bǔ)充、完善 2.7 有限元程序?qū)崿F(xiàn)有限元程序?qū)崿F(xiàn)（續(xù)）（續(xù)）程序設(shè)計(jì)一般要求程序設(shè)計(jì)一般要求 功能較齊全功能較齊全通用性通用性、可移植性較強(qiáng)可移植性較強(qiáng)較好可擴(kuò)充性較好可擴(kuò)充性良好可讀性良好可讀性足夠可靠性足夠可靠性良好的適應(yīng)性良好的適應(yīng)性2.7.2 輸入數(shù)據(jù)及分類輸入數(shù)據(jù)及分類1. 控制數(shù)據(jù)：控制數(shù)據(jù)：結(jié)點(diǎn)總數(shù)、單元總數(shù)、約束總數(shù)、結(jié)點(diǎn)總數(shù)、單元總數(shù)、約束總數(shù)、 荷載總數(shù)、問題類型數(shù)荷載總數(shù)、問題類型數(shù)等等;2. 幾何數(shù)據(jù)：幾何數(shù)據(jù)：結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、單元信息結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、單元信息 (各單

51、元的結(jié)點(diǎn)各單元的結(jié)點(diǎn) 編號(hào)編號(hào))、約束條件、單元類型數(shù)約束條件、單元類型數(shù)(E, , 厚度不同為一類厚度不同為一類);3. 物性數(shù)據(jù)：物性數(shù)據(jù)：E、 、t（厚度）（厚度）4. 荷載數(shù)據(jù)：荷載數(shù)據(jù)：荷載類型荷載類型（集中、分布）、（集中、分布）、位置、位置、 方向、大小方向、大小等等.2.7.3 程序設(shè)計(jì)方法程序設(shè)計(jì)方法1. 模塊化方法模塊化方法1個(gè)主程序個(gè)主程序+若干子程序；若干子程序；2. 動(dòng)態(tài)數(shù)組存儲(chǔ)技術(shù)：動(dòng)態(tài)數(shù)組存儲(chǔ)技術(shù)：數(shù)組共享、覆蓋技術(shù)數(shù)組共享、覆蓋技術(shù) 編程作業(yè)編程作業(yè):（1-3人分組完成，與上機(jī)作業(yè)任選一）人分組完成，與上機(jī)作業(yè)任選一） 編制平面問題的四結(jié)點(diǎn)或八結(jié)點(diǎn)等參單元分析程

52、序，編制平面問題的四結(jié)點(diǎn)或八結(jié)點(diǎn)等參單元分析程序，提交源程序和提交源程序和2個(gè)算例。個(gè)算例。2.8 平面平面桿件桿件結(jié)構(gòu)的有限元結(jié)構(gòu)的有限元2.8.1 等截面直梁?jiǎn)卧ê雎约羟凶冃危┑冉孛嬷绷簡(jiǎn)卧ê雎约羟凶冃危?1. 基本方程基本方程幾何關(guān)系：幾何關(guān)系：內(nèi)力內(nèi)力-位移關(guān)系：位移關(guān)系：22dd,ddxvxux22dd00dd,xxLfLx矩陣形式矩陣形式 22dd,ddxvEIEIMxuEAEANxEIEADDMN00,矩陣形式矩陣形式 xyp(x)q(x)2.8.1 等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)1） 1. 基本方程基本方程平衡關(guān)系：平衡關(guān)系：邊界條件：邊界條件：)(dddd,dddd

53、),(dd223322xqxMxQxvEIxMQxpxuEA00:;,)(00:;,)(00:;,)(MQMMQQMvMMvvvdxdvvvssssss，自由如，簡(jiǎn)支如，固支如2. 離散化離散化將一平面桿件結(jié)構(gòu)離散為將一平面桿件結(jié)構(gòu)離散為ne個(gè)單元，個(gè)單元，n個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)結(jié)點(diǎn)2.8.1 等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)2） 2. 離散化離散化離散為離散為ne個(gè)單元，個(gè)單元，n個(gè)結(jié)點(diǎn)：個(gè)結(jié)點(diǎn)： 結(jié)點(diǎn)位移向量：結(jié)點(diǎn)位移向量： =u1 v1 1 u2 v2 2 un vn nT 結(jié)點(diǎn)力向量：結(jié)點(diǎn)力向量： F=U1 V1 M1 U2 V2 M2 Un Vn MnT 3. 位移模式位移模式局部坐標(biāo)下局部

54、坐標(biāo)下 單元結(jié)點(diǎn)位移向量：?jiǎn)卧Y(jié)點(diǎn)位移向量： 單元結(jié)點(diǎn)力向量：?jiǎn)卧Y(jié)點(diǎn)力向量：TjjjiiieTjjjiiieMQNMQNFvuvuxyxyviuivjuj i j 2.8.1 等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)3）3. 位移模式位移模式結(jié)點(diǎn)荷載下：結(jié)點(diǎn)荷載下：梁軸向位移沿梁軸呈線性分布，梁軸向位移沿梁軸呈線性分布， 橫向位移呈三次曲線分布。橫向位移呈三次曲線分布。位移模式：位移模式： u= 1+ 2x v= 3+ 4 x+ 5 x2+ 6 x3 或或 u=N1ui+N4 uj v=N2vi+ N3 i+ N5vj+ N6 j23263322542323332221,23,2,231,1lx

55、lxNlxlxNlxNlxlxxNlxlxNlxN2.8.1 等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)4）3. 位移模式位移模式 矩陣表達(dá)式：矩陣表達(dá)式： u、v獨(dú)立插值，獨(dú)立插值， 不獨(dú)立插值不獨(dú)立插值要求要求C1連續(xù)。連續(xù)。653241000000NNNNNNNNvufe2.8.1 等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)5）4. 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧獞?yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣單元應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣f =Ne代入代入幾何方程幾何方程=Be代入代入物理方程物理方程=DBeexBfL22dd00dd,xxLNLBEIEAD002.8.1 等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)6）4. 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)?/p>

56、度矩陣局部坐標(biāo)下局部坐標(biāo)下:lTxBDBkdlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk4602606120612000002604606120612000002223232223232.8.1 等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)等截面直梁?jiǎn)卧ɡm(xù)7）5. 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換結(jié)點(diǎn)位移向量：結(jié)點(diǎn)位移向量： e=TT e結(jié)點(diǎn)力向量：結(jié)點(diǎn)力向量： Fe =TTFe剛度矩陣：剛度矩陣： k =TTkT1000cossin0sincos,0066tttT坐標(biāo)變換矩陣：坐標(biāo)變換矩陣： 反變換：反變換：eeeeFTFT

57、, xyxyviuivjuj i j 2.8.2 考慮剪切變形的梁?jiǎn)卧紤]剪切變形的梁?jiǎn)卧炯俣ǎ浩浇孛妫淮怪庇谧冃魏筝S線。基本假定：平截面，不垂直于變形后軸線。撓度計(jì)算：撓度計(jì)算：v=vb+vs； 桿軸線斜率：桿軸線斜率：dv/dx= + 。lxNlxN87,1dxdx截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角 剪應(yīng)變剪應(yīng)變 xyq(x)dx1. 在經(jīng)典梁?jiǎn)卧A(chǔ)上引入剪切變形影響在經(jīng)典梁?jiǎn)卧A(chǔ)上引入剪切變形影響vb用三次式插值；用三次式插值；vs用線性插值：用線性插值： vs= N7vsi + N8vsj，1. 在經(jīng)典梁?jiǎn)卧A(chǔ)上引入剪切變形影響在經(jīng)典梁?jiǎn)卧A(chǔ)上引入剪切變形影響單元?jiǎng)偠染仃嚕簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕篸

58、x)1 ()4()1 (60)1 ()2()1 (60)1 (120)1 (6)1 (12000)1 ()4)1 (60)1 (1202232323lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEAk（對(duì)稱212GAlEIk2. Timoshenko梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?特點(diǎn)特點(diǎn)對(duì)對(duì)u、v、 均均獨(dú)立插值：獨(dú)立插值： u=N1u1+N2 u2位移模式：位移模式： v= N1v1+ N2v2 =N1 1+ N2 2 1c2l/2l/22,)(2),1 (21),1 (212121xxxlxxNNcc320620102100000320100100100000000010000

59、222lllllllklGAIAIAIAlEIkkksb對(duì)稱對(duì)稱2. Timoshenko梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧獌?yōu)勢(shì)：位移模式簡(jiǎn)單；優(yōu)勢(shì)：位移模式簡(jiǎn)單；缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：l /h 時(shí)時(shí), 只能得到零解只能得到零解剪切自鎖剪切自鎖(Shear locking) 原因：原因：v、 同階插值，同階插值，dv/dx與與 不同階不同階 =dv/dx- =0不能滿足，除非不能滿足，除非 =常數(shù)。常數(shù)。解決方法：解決方法：減縮積分減縮積分?jǐn)?shù)值積分時(shí)采用比精確積分要求少的積分?jǐn)?shù)值積分時(shí)采用比精確積分要求少的積分點(diǎn)數(shù)，例如對(duì)兩結(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧捎靡稽c(diǎn)積分。點(diǎn)數(shù)，例如對(duì)兩結(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧捎靡稽c(diǎn)積分。假設(shè)剪切應(yīng)變假設(shè)剪切應(yīng)變對(duì)剪應(yīng)變對(duì)剪應(yīng)變

60、g另行假定插值形式；另行假定插值形式；替代插值函數(shù)替代插值函數(shù)對(duì)對(duì) 采用低一階的插值函數(shù)，如兩結(jié)點(diǎn)采用低一階的插值函數(shù)，如兩結(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧洳逯岛瘮?shù)為常數(shù)梁?jiǎn)卧洳逯岛瘮?shù)為常數(shù)1/2，即，即:2211NN2. Timoshenko梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?兩結(jié)點(diǎn)兩結(jié)點(diǎn)Timoshenko梁?jiǎn)卧毫簡(jiǎn)卧?1) 包含橫向剛體位移包含橫向剛體位移 (v=c)、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體轉(zhuǎn)動(dòng) ( =dv/dx =c); 2) 包含常剪切應(yīng)變包含常剪切應(yīng)變 ( =0，dv/dx = =c); 3) 不包含常彎曲應(yīng)變的位移狀態(tài)不包含常彎曲應(yīng)變的位移狀態(tài) ( =cx，v=0.5cx2) 不能分析純彎問題（伴隨剪切應(yīng)變）。不能分析純彎