振動(dòng)測(cè)試與數(shù)據(jù)處理3

1、研究生課程南京航空航天大學(xué)振動(dòng)工程研究所南京航空航天大學(xué)振動(dòng)工程研究所01( , )lim( ) ()TxiiTR ix t x tdtT 例如信號(hào) 的自相關(guān)函數(shù)為 時(shí)間歷程 自相關(guān)函數(shù)圖形 正弦波 正弦波加隨機(jī)噪聲 窄帶隨機(jī)噪聲 寬帶隨機(jī)噪聲 常見(jiàn)四種典型信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)的典型應(yīng)用包括：（1）檢測(cè)信號(hào)回聲（反射）。若在寬帶信號(hào)中存在著帶時(shí)間延遲 的回聲，那么該信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)將在 處也達(dá)到峰值（另一峰值在 處），這樣可根據(jù) 確定反射體的位置，同時(shí)自相關(guān)系數(shù)在 處的值 將給出反射信號(hào)相對(duì)強(qiáng)度的度量。（2）檢測(cè)淹沒(méi)在隨機(jī)噪聲中的周期信號(hào)。由于周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍是周期性的，而隨機(jī)噪聲

2、信號(hào)隨著延遲增加，它的自相關(guān)函數(shù)將減到零。因此在一定延遲時(shí)間后，被干擾信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)中就只保留了周期信號(hào)的信息，而排除了隨機(jī)信號(hào)的干擾。互相關(guān)函數(shù)最常見(jiàn)的應(yīng)用有以下幾種：（1）確定時(shí)間延遲。假如某信號(hào)從A點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)B點(diǎn)，那么在兩點(diǎn)拾取的信號(hào)x(t)和y(t)之間的互相關(guān)函數(shù) ，將在相當(dāng)于兩點(diǎn)之間時(shí)間延遲的位置上出現(xiàn)一個(gè)峰值。（2）識(shí)別傳輸路徑。假如信號(hào)從A點(diǎn)到B點(diǎn)有幾個(gè)傳輸路徑，則在互相關(guān)函數(shù)中就有幾個(gè)峰值，每個(gè)峰值對(duì)應(yīng)于延遲了時(shí)間 的一個(gè)路徑，例如用于聲源和聲反射路徑的識(shí)別。 （3）檢測(cè)淹沒(méi)在外來(lái)噪聲中的信號(hào)。假如信號(hào)s(t)受到外界的干擾形成復(fù)合信號(hào)a(t)和b(t)，即a(t)=s

3、(t)+n(t)，b(t)=s(t)+m(t)，（s(t)是有用信號(hào)，可以是確定性的或者隨機(jī)的，而n(t)和m(t)是互不相關(guān)的噪聲），那么互相關(guān)函數(shù) 將僅含有a(t)和b(t)中的相關(guān)部分s(t)的信號(hào)，而排除了外來(lái)噪聲的干擾。（4）系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的測(cè)定。在隨機(jī)激勵(lì)試驗(yàn)中，假如以隨機(jī)白噪聲作為試驗(yàn)信號(hào)輸入被測(cè)系統(tǒng)，則輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的互相關(guān)函數(shù) 就是被測(cè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。這種測(cè)量方法的優(yōu)點(diǎn)可以在系統(tǒng)正常工作過(guò)程中測(cè)量。測(cè)量時(shí)，其他信號(hào)都與試驗(yàn)信號(hào)無(wú)關(guān)，因而對(duì)互相關(guān)函數(shù)沒(méi)有影響，不影響脈沖響應(yīng)的測(cè)量。dxxpxxEx)(222dxxpxxExxx)()()(222nnnbaarctg狄里赫利條件

4、狄里赫利條件 在任意周期內(nèi)，函數(shù)必須是絕對(duì)可積的，即 在一周期內(nèi)，函數(shù)有有限個(gè)極大值和極小值。 在任意有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)。Tttttf00d)(Ot)(tfOt)(tfOt)(tfnnnnabarctg-00頻譜圖的頻率軸不僅有正半軸，而且有負(fù)半軸，這樣的頻譜圖稱(chēng)為雙邊頻譜圖。頻譜圖的頻率軸不僅有正半軸，而且有負(fù)半軸，這樣的頻譜圖稱(chēng)為雙邊頻譜圖。他的幅值是復(fù)數(shù)，包含了幅值和相位信息，稱(chēng)為復(fù)幅值。單邊譜的幅值是雙邊他的幅值是復(fù)數(shù)，包含了幅值和相位信息，稱(chēng)為復(fù)幅值。單邊譜的幅值是雙邊頻譜幅值的二倍。頻譜幅值的二倍。典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換門(mén)函數(shù)門(mén)函數(shù)2, 02,

5、 1)(tttgt22O)(tg1門(mén)函數(shù)的傅里葉變換門(mén)函數(shù)的傅里葉變換2Sa2sin2jeejede1de )()j (2j2j22j22jjttttttfF2Sa)(tgFT典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換門(mén)函數(shù)的頻譜門(mén)函數(shù)的頻譜2Sa)j (FO246246典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)tO0),(ett10),(e)(ttft典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換arctan j220)j(0jj1j1jedeede )()j (etttfFttttj1)(etFTt0典型信號(hào)及其傅里

6、葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜1221)j (aFOaarctan)(22O典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換偶雙邊指數(shù)函數(shù)偶雙邊指數(shù)函數(shù))0(0,e0,ee)(1tttfttttO1)(1tf典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換偶雙邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換偶雙邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換220)j(0)j(0j0jj12j1j1jejedeedeede )()j (tttttttttttfF222etFT典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換偶雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜圖偶雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜圖O2212)j (F典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里

7、葉變換奇雙邊指數(shù)函數(shù)奇雙邊指數(shù)函數(shù))0(0,e0,e)(2tttftttO1)(2tf1典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換奇雙邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換奇雙邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換220)j(0)j(0j0jj22jj1j1jejedeedeede )()j (tttttttttttfF222j)()(teteFTtt典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換奇雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜圖奇雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜圖O2222j)j (F典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換4.4.3 奇異函數(shù)的傅里葉變換奇異函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)的頻譜沖激函數(shù)的頻譜1)(tFT)(ttO1O1)(tFT1d

8、e )()(jtttFTt均勻譜，或白色頻譜典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換單位直流信號(hào)單位直流信號(hào)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，但其傅里葉變換存在。單位直流信號(hào)的傅里葉變換單位直流信號(hào)的傅里葉變換因?yàn)橛筛道锶~變換的唯一性可知：ttf, 1)()(2 1 FT1de )(221)(jttfFT 1 2 ()典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換單位直流信號(hào)的頻譜單位直流信號(hào)的頻譜1 2 () O)(2 1 FTO1t1)(tf典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換單位符號(hào)函數(shù)單位符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)為奇雙邊指數(shù)函數(shù)的極限符號(hào)函數(shù)為奇雙邊指數(shù)函數(shù)的極限0, 10, 00, 1)sgn(

9、tttttO1)sgn(t1tO1)(2tf10)0(0,e0,e)(2tttftt典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換是奇雙邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換是奇雙邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換之極限變換之極限0, 00,j22jlim)j (lim22020aFO)j (2FOj2j2)sgn(tFT典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換階躍函數(shù)階躍函數(shù)階躍函數(shù)可表示成直流信號(hào)與符號(hào)函數(shù)之和階躍函數(shù)可表示成直流信號(hào)與符號(hào)函數(shù)之和)sgn(2121)(tttO)sgn(21t2121)(t1OtOt21典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換階躍函數(shù)的傅里葉

10、變換階躍函數(shù)的傅里葉變換j1)()sgn(2121)(tFTFTtFT)(Oj1)(OOj1j1)()(tFT典型信號(hào)及其傅里葉變換典型信號(hào)及其傅里葉變換4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)線(xiàn)性線(xiàn)性奇偶性奇偶性對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性尺度變換尺度變換時(shí)移特性時(shí)移特性頻移特性頻移特性卷積定理卷積定理時(shí)域微分和積分時(shí)域微分和積分頻域微分和積分頻域微分和積分傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)a1 f1(t) + a2 f2(t) a1F1( j) + a2F2( j)f *(t) F *( j)F( j t) 2 f ( )aFaatfj1)()j (e)(0j0Fttft)( j )(0j0Fetft)j

11、()j ()()(2121FFtftf)j(jd)(dFttf)()0()j(j1d)(FFft2( )( )xEx t dtSf df( ) ( )( )xyEx t y t dtSf df小結(jié)：小結(jié)：用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換運(yùn)算時(shí)，要求 （1）時(shí)、頻域均為離散的； （2）時(shí)、頻域的點(diǎn)數(shù)均為有限的。 1、連續(xù)時(shí)間、離散頻率、連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)(FS)2、連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率、連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率傅立葉變換傅立葉變換(FT)3、離散時(shí)間、離散頻率、離散時(shí)間、離散頻率離散傅立葉級(jí)數(shù)離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)4、離散時(shí)間、連續(xù)頻率、離散時(shí)間、連續(xù)頻率序列的傅立葉變換序列的傅立葉變換(D

12、TFT)傅立葉分析小結(jié)：傅立葉分析小結(jié)：1. 周期為周期為T(mén)0的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)ntnenXtx0j0)()(dtetxTnXtnT00j00)(1)(頻譜特點(diǎn)：離散非周期譜2. 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：連續(xù)非周期譜deXtxt j)j (21)(dtetxXt j)()j (傅立葉分析小結(jié)：傅立葉分析小結(jié)：3.離散非周期序列信號(hào)離散非周期序列信號(hào)頻譜特點(diǎn)：周期為2的連續(xù)譜1( )( )2jnx nXed( )( )jnnXx ne傅立葉分析小結(jié)：傅立葉分析小結(jié)：4. 周期為周期為N 的離散周期信號(hào)的離散周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：周期為N的離散譜21-j0( )

13、DFS ( )( )NnkNnX kx nx ne 注：DFS變換對(duì)公式表明，一個(gè)周期序列雖然是無(wú)窮長(zhǎng)序列，但是只要知道它一個(gè)周期的內(nèi)容（一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無(wú)窮長(zhǎng)序列實(shí)際上只有N個(gè)序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。傅立葉分析小結(jié)：傅立葉分析小結(jié)：21j01( )IDFS( )( )NknNkx nX kX keN5. 有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列的DFT)(kX1N主值序列)(nx主值序列)(kX1NDFT變換對(duì)DFS變換對(duì)0)(nxnk0傅立葉分析小結(jié)：傅立葉分析小結(jié)：5. 有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列的DFT210210( ) (

14、)( )011( )( )( )01NjknNnNjknNkX kDFT x nx n ekNx nIDFT X kX k enNNx(n) 與 X(k) 是一個(gè)有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換對(duì)，已知 x(n) 就能唯一地確定 X(k) ，同樣已知 X(k) 也就唯一地確定 x(n) ，實(shí)際上 x(n) 與 X(k) 都是長(zhǎng)度為 N 的序列（復(fù)序列）都有N個(gè)獨(dú)立值，因而具有等量的信息。注：有限長(zhǎng)序列隱含著周期性。傅立葉分析小結(jié)：傅立葉分析小結(jié)： DFT信號(hào)譜分析原理示意圖信號(hào)譜分析原理示意圖傅立葉分析小結(jié)：傅立葉分析小結(jié)：2.3 數(shù)字信號(hào)處理中的抗混濾波和加窗數(shù)字信號(hào)處理中的抗混濾波和加窗 采樣信號(hào)

15、的頻譜 量化：量化：將采樣將采樣保持后的信號(hào)幅值轉(zhuǎn)化成某個(gè)最小數(shù)量單保持后的信號(hào)幅值轉(zhuǎn)化成某個(gè)最小數(shù)量單位（量化間隔）的整數(shù)倍。位（量化間隔）的整數(shù)倍。（1）確定量化間隔：）確定量化間隔： nV2LSB1FSV分割數(shù)模擬輸入電壓范圍例：如有一模擬信號(hào)，幅值范圍為例：如有一模擬信號(hào)，幅值范圍為01V，要轉(zhuǎn)化為，要轉(zhuǎn)化為3位二位二進(jìn)制代碼，則其量化間隔為進(jìn)制代碼，則其量化間隔為1LSB=1/8V 。得到得到8個(gè)量化電平分別為個(gè)量化電平分別為0V、1/8V7/8V。 量化的量化的 過(guò)程：過(guò)程： 經(jīng)量化后的信號(hào)幅值均為的整數(shù)倍，在量化過(guò)程中會(huì)經(jīng)量化后的信號(hào)幅值均為的整數(shù)倍，在量化過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生誤差，稱(chēng)為

16、產(chǎn)生誤差，稱(chēng)為量化誤差量化誤差。最大量化誤差。最大量化誤差 =1/8V。方式一：只舍不入量化方式（截?cái)嗔炕绞剑┓绞揭唬褐簧岵蝗肓炕绞剑ń財(cái)嗔炕绞剑┤绻绻?VvI1/8V 則量化為則量化為0 =0V； 1/8VvI2/8V 則量化為則量化為1 =1/8V； 7/8VvI1V 則量化為則量化為7 =7/8V。（2）將連續(xù)的模擬電壓近似成分散的量化電平）將連續(xù)的模擬電壓近似成分散的量化電平 經(jīng)量化后的信號(hào)幅值均為的整數(shù)倍，在量化過(guò)程中會(huì)經(jīng)量化后的信號(hào)幅值均為的整數(shù)倍，在量化過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生誤差，稱(chēng)為產(chǎn)生誤差，稱(chēng)為量化誤差量化誤差。最大量化誤差。最大量化誤差 =1/8V。如果如果 0VvI1/16

17、V 則量化為則量化為0 =0V； 1/16VvI3/16V 則量化為則量化為1 =1/8V； 3/16VvI5/16V 則量化為則量化為2 =2/8V； 13/16VvI15/16V 則量化為則量化為7 =7/8V。取兩個(gè)離散電平中的相近值作為量化電平。取兩個(gè)離散電平中的相近值作為量化電平。方式二：四舍五入量化方式（舍入量化方式）方式二：四舍五入量化方式（舍入量化方式） 在實(shí)際的在實(shí)際的ADC中，大多采用舍入量化方式。中，大多采用舍入量化方式。量化誤差隨著量化誤差隨著ADC的位數(shù)增加而減小。的位數(shù)增加而減小。量化誤差為量化誤差為1/2 =1/16V一卷積定義（一卷積定義（Convolution

18、）積分和設(shè)有兩個(gè)函數(shù)),()(21tftf d21tfftf tftftftftftf2121)(或，記為，記為的卷積積分，簡(jiǎn)稱(chēng)卷積的卷積積分，簡(jiǎn)稱(chēng)卷積和和稱(chēng)為稱(chēng)為)()(21tftf利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 thtfthtfty卷積復(fù)習(xí)卷積復(fù)習(xí)二卷積計(jì)算二卷積計(jì)算卷積復(fù)習(xí)卷積復(fù)習(xí)反轉(zhuǎn)，平移，相乘，求和反轉(zhuǎn)，平移，相乘，求和三卷積特性三卷積特性卷積復(fù)習(xí)卷積復(fù)習(xí)時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理頻域卷積定理頻域卷積定理1 1、時(shí)域卷積定理、時(shí)域卷積定理給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù) 已知：已知：)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f

19、 f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F FT T1 1( (w w) )F F( (w w) )F F( (t t) )f f( (t t) )f f2 21 1F FT T2 21 1 則：則：時(shí)域卷積時(shí)域卷積頻域相乘。頻域相乘。即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積。即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積。卷積復(fù)習(xí)卷積復(fù)習(xí)即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積。即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積。時(shí)域卷積定理證明：時(shí)域卷積定理證明：根據(jù)卷積定義根據(jù)卷積定義dtfftftf)()()(*

20、)(2121則：則：)()()()()()()()()()()(*)(211221212121wFwFdefwFdewFfddtetffdtedtfftftfjwjwjwtjwtFT 卷積復(fù)習(xí)卷積復(fù)習(xí)即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積。即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積。2 2、頻域卷積定理、頻域卷積定理給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)已知：已知：)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F FT T1 1( (t t) )f f( (t t) )f f

21、2 21 1( (w w) )F F( (w w) )F F2 21 1I IF FT T2 21 1 則：則：頻域卷積頻域卷積時(shí)域相乘。時(shí)域相乘。即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的卷積等效于各個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積（乘即：兩個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的卷積等效于各個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積（乘以系數(shù)）。以系數(shù)）。2 21 1矩形窗：B=4/N A=-13dB D=-6dB/oct三角窗：B=8/N A=-27dB D=-12dB/oct漢寧窗：B=8/N A=-32dB D=-18dB/oct海明窗：B=8/N A=-43dB D=-6dB/oct布萊克曼窗：B=12/N A=-58dB D=-18dB/oct幾種很常用的窗函數(shù)的

22、優(yōu)缺點(diǎn)：幾種很常用的窗函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)：如何選擇窗函數(shù)如何選擇窗函數(shù)對(duì)于窗函數(shù)的選擇，應(yīng)考慮被分析信號(hào)的性質(zhì)與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號(hào)，且有較強(qiáng)的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；對(duì)于隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來(lái)提高信噪比。 B：主瓣寬度；：主瓣寬度；A：旁瓣最大峰值；：旁瓣最大峰值；D:旁瓣峰值漸進(jìn)衰減速度旁瓣峰值漸進(jìn)衰減速度0246810120500100015002000frequency(Hz)powerf1=2.58, f2=3.28, f

23、3=5.38(Hz),N=10002468101205001000150020002500frequency(Hz)powerL=N+50024681012050010001500200025003000frequency(Hz)powerL=N+100024681012050010001500200025003000frequency(Hz)powerL=N+150s=sin(2*pi*2.58*t)+sin(2*pi*3.28*t)+sin(2*pi*5.38*t);N=100,100+50,100+100,100+150210210( ) ( )( )011( )( )( )01Njkn

24、NnNjknNkX kDFT x nx n ekNx nIDFT X kX k enNN4.2.1直接計(jì)算直接計(jì)算DFT的特點(diǎn)及減少的特點(diǎn)及減少運(yùn)算量的基本途徑運(yùn)算量的基本途徑10: ( ) ( )( )NnkNnDFTX kDFT x nx n W10:1 ( )( )( )NnkNkIDFTx nIDFT X kX k WN( )Nx n點(diǎn)有限長(zhǎng)序列1. DFT的運(yùn)算量及特點(diǎn)的運(yùn)算量及特點(diǎn)2jnknkNNWe運(yùn)算量運(yùn)算量復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)加法一個(gè)一個(gè)X X( (k k) )N NN N 1 1N N個(gè)個(gè)X X( (k k) )( (N N點(diǎn)點(diǎn)DFT)DFT)N N 2 2N N

25、( (N N 1)1)實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)加法實(shí)數(shù)加法一次復(fù)乘一次復(fù)乘4 42 2一次復(fù)加一次復(fù)加2 2一個(gè)一個(gè)X X ( (k k) )4 4N N2 2N N+2 (+2 (N N 1)=2 (21)=2 (2N N 1)1)N N個(gè)個(gè)X X ( (k k) )( (N N點(diǎn)點(diǎn)DFT)DFT)4 4N N 2 22 2N N (2(2N N 1)1)10( )NnkNnx n Wajbcjdacbdj adcbnkNW 的特性*()() ()nknkN n kn N kNNNNWWWW對(duì)稱(chēng)性()() nkN n kn N kNNNWWW周期性 nkmnkNmNWW可約性/nknk mNN

26、mWW0/2(/2) 11Nk NkNNNNWWWW 特殊點(diǎn)：2jnknkNNWeNknkNNWWnNnkNNWW2jmnkmNe221NjjNee FFTDFTDFTDFTDFT算法的基本思想： 利用系數(shù)的特性，合并運(yùn)算中的某些項(xiàng)， 把長(zhǎng)序列短序列，從而減少其運(yùn)算量。設(shè)序列點(diǎn)數(shù)設(shè)序列點(diǎn)數(shù) N N = 2= 2M M，M M 為整數(shù)。若不滿(mǎn)足，則補(bǔ)零為整數(shù)。若不滿(mǎn)足，則補(bǔ)零 12221xrx rxrxr0,1,.,/2 1rN將序列將序列x(n)x(n)按按n n的奇偶分成兩組：的奇偶分成兩組：N N為為2 2的整數(shù)冪的的整數(shù)冪的FFTFFT算法稱(chēng)算法稱(chēng)基基-2FFT-2FFT算法算法。n n

27、為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí): :n n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí):0,1,.,/ 2 1rN2. FFT算法原理算法原理則則x x( (n n) )的的DFT:DFT: 111000NNNnknknkNNNnnnX kx n Wx n Wx n Wn為偶數(shù)n為奇數(shù)/2 1/2 121200221NNrkrkNNrrxr WxrW /2 1/2 1221200NNrkrkkNNNrrx rWWxrW /2 1/2 11/22/200NNrkkrkNNNrrx r WWxr W 12kNXkW Xk,0,1,./ 2 1r kN22222222111100112200( )( )(2 )( )( )(21)NNNNN

28、NNNrkrkrrrkrkrrXkx r Wxr WXkx r WxrW其中,a,兩點(diǎn)結(jié)論: (1) X (k),X (k) (1) X (k),X (k)均為均為N/2N/2點(diǎn)的點(diǎn)的DFTDFT。 (2) X(k)=X (k)+W X (k)(2) X(k)=X (k)+W X (k)只能確定出只能確定出 X(k)X(k)的的k= k= 個(gè)；個(gè)；即即前一半前一半的結(jié)果。的結(jié)果。1 21 220,1,1NkN 同理, 這就是說(shuō),X1(k),X2(k)的后一半,分別 等于其前一半的值。b.X(k)b.X(k)的后一半的確定的后一半的確定222()NNNrkrkWW2222211()111100(

29、)( )( )( )2NNNNNrkrkrrNXkx r Wx r WX k由于 （周期性）（周期性）, ,所以:22()( )2NXkXk 可見(jiàn)見(jiàn), ,X(k)的后一半，也完全由的后一半，也完全由X1(k), , X2 (k)的前的前一半所確定。一半所確定。 * * N N點(diǎn)的點(diǎn)的DFTDFT可由兩個(gè)可由兩個(gè)N/2N/2點(diǎn)的點(diǎn)的DFTDFT來(lái)計(jì)算。來(lái)計(jì)算。22()NNkkkNNNNWW WW212()()()222NkNNNNX kXkWXk122( )( ), 0,1,1kNNXkW Xkk又由于所以：實(shí)現(xiàn)上式運(yùn)算的流圖稱(chēng)作蝶形運(yùn)算實(shí)現(xiàn)上式運(yùn)算的流圖稱(chēng)作蝶形運(yùn)算 前一半c.c.蝶形運(yùn)算蝶形

30、運(yùn)算 后一半（N/2個(gè)蝶形)(前一半)(后一半)1 1 11-1-11212( )( )( )( )( )( )kNkNX kX kW X kX kX kW X k22(0,1,1)(,1)NNkkN12( )( )( )kNX kX kW X k12()( )( )2kNNXkX kW X k1( )X k2( )X kkNW由X1(k)、X 2(k)表示X(k)的運(yùn)算是一種特殊的運(yùn)算-碟形運(yùn)算蝶形運(yùn)算符號(hào) CABA BCA BC x1(0)=x(0) x1(1)=x(2) N/2點(diǎn) x1(2)=x(4) DFT x1(3)=x(6) x2(0)=x(1) x2(1)=x(3) N/2點(diǎn) x

31、2(2)=x(5) DFT x2(3)=x(7) X X1(0)(0)X X1(1)(1)X X1(2)(2)X X1(3)(3)X X2(0)(0)X X2(1)(1)X X2(2)(2)X X2(3)(3)WN2WN1WN0WN3-1-1-1-1X(0)X(0)X(1)X(1)X(2)X(2)X(3)X(3)X(4)X(4)X(5)X(5)X(6)X(6)X(7)X(7)d.d.對(duì)對(duì)X1 (k)X1 (k)和和X2 (k)X2 (k)進(jìn)行蝶形運(yùn)算進(jìn)行蝶形運(yùn)算前半部為前半部為 X(0)- X(3),后半部分為后半部分為X(4)- X(7) 整個(gè)過(guò)程如下圖所示整個(gè)過(guò)程如下圖所示:e. N/2e

32、. N/2分解后的運(yùn)算量：分解后的運(yùn)算量：復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)加法一個(gè)一個(gè)N N / 2/ 2點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT( (N N / 2)/ 2)2 2N N / 2 (/ 2 (N N / 2 / 2 1)1)兩個(gè)兩個(gè)N N / 2/ 2點(diǎn)點(diǎn)DFTDFTN N 2 2 / 2/ 2N N ( (N N / 2 / 2 1)1)一個(gè)蝶形一個(gè)蝶形1 12 2N N / 2/ 2個(gè)蝶形個(gè)蝶形N N / 2/ 2N N總計(jì)總計(jì)22/ 2/ 2/ 2NNN2/ 2 1/ 2N NNN運(yùn)算量減少了近一半 由于由于N=2 M ,所以所以 N/2仍為偶數(shù)仍為偶數(shù), ,可以進(jìn)一步把每個(gè)可以進(jìn)一步把每個(gè)N/2點(diǎn)的序列再按其奇偶部分分解為兩個(gè)點(diǎn)的序列再按其奇偶部分分解為兩個(gè)N/4的子序列。的子序列。例如，例如，n n為偶數(shù)時(shí)的為偶數(shù)時(shí)的 N/2點(diǎn)分解為點(diǎn)分解為: :f N/4f N/4點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT1, 1 , 0),()2(431Nlxlx1, 1 , 0),() 12(441Nlxlx進(jìn)行進(jìn)行N/4N/4點(diǎn)的點(diǎn)的DFT,DFT,得到得到444411233/41/200